數(shù)學(xué)自主練習(xí)：導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標(biāo)1.設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時，底面邊長為（）A。B.C.D.思路解析:設(shè)底面邊長為x，則表面積S=（x＞0),S′=（x3—4V）,令S′=0,得唯一極值點x=.答案：C2.在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形,使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時,其梯形的上底長為（）A.B.C。D。r思路解析：設(shè)梯形的上底長為2x，高為h，面積為S.∵h(yuǎn)=，∴S==(r+x）·。∴令S′=.令S′=0，得x=,h=，當(dāng)x∈（0,）時，S′＞0；當(dāng)＜x＜r時，S′＜0.∴當(dāng)x=時，S取極大值，當(dāng)梯形的上底長為r時，它的面積最大.答案:D3.以長為10的線段AB為直徑作半圓,則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為（）A.10B。15C.25思路解析：如下圖,設(shè)∠NOB=θ,則矩形面積S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ。故Smax=25.答案:C4。有一長為16米的籬笆，要圍成一個矩形場地，則此矩形場地的最大面積為___________.思路解析：設(shè)矩形長為x，則寬為8—x，矩形面積S=x（8—x）(x＞0)，令S′=8-2x=0,得x=4.此時S最大=42=16。答案:165。函數(shù)y=的值域為______________。思路解析：f′(x）=。令f′（x)=0,得x=，又定義域為［—1，1],且f(±1)=0，f（）=。答案:［0，］6。將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段變成圓形一段彎成正方形,問如何截能使正方形與圓面積之和最小，并求出最小面積.思路分析:設(shè)其中一段長為x,然后列出S關(guān)于x的函數(shù)式。解:設(shè)彎成圓的一段長為x,則另一段為100-x。設(shè)正方形與圓的面積之和為S,則S=π·（）2+(）2（0＜x＜100）.S′=（100-x）。令S′=0，得x=≈44(cm)。由于在（0，100）內(nèi)函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為0的點，故當(dāng)x=時，S最小。此時S=,即截成圓形的一段長為時面積之和最小,最小值為.我綜合我發(fā)展7。設(shè)A、B兩地相距30千米(如圖1-4-4),在它們之間鋪設(shè)一條鐵路,A、B兩地到x軸的距離為5千米，由于地質(zhì)條件不同,在y＞0地質(zhì)鋪設(shè)費用為105元/千米,而y＜0地質(zhì)為6×104元/千米。求最經(jīng)濟的鋪設(shè)線路.圖1-4—4思路分析：建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將鋪設(shè)費用表示成關(guān)于變式θ的函數(shù)式.解:由圖及對稱性,研究y軸一側(cè)即可，CD=5cotθ,AC=，設(shè)鋪設(shè)費用為p，則p=(15—5cotθ)×6×104+×105.∴p′=3×105·.令p′=0，則cosθ=，CD=.∴在x軸上取點C(,0）和點E(，0),則AC→CE→EB為最佳經(jīng)濟線路.8.某生產(chǎn)飲品的企業(yè)擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計年銷量θ(萬件）與廣告費x（萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為θ=（x≥0)，已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元，若每年售價為“年平均每件成本的150％"與平均每件所占廣告費的50%之和；（1)試將利潤y(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù);如果年廣告費投入100萬元，企業(yè)是虧損還是盈利？(2)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？思路分析：年利潤=(年收入）-(年成本）-（年廣告費)，找出x與y的關(guān)系式（注意定義域)。解：（1）由題意,每年產(chǎn)銷θ萬件，共計成本為(32θ+3)萬元。銷售價是（32θ+3)·150%+x·50%。∴年利潤y=(32θ+3-x）=(32×+3-x）=（x≥0).∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=（x≥0）。當(dāng)x=100時,y＜0，即當(dāng)年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損.(2)由y=（x≥0）可得y′=.令y′=0,則x2+2x—63=0?！鄕=—9（舍)或x=7。又x∈（0,7)時，f′（x)＞0;x∈（7，+∞）時，f′(x）＜0，∴f(x）極大值=f(7）=42.又∵在（0，+∞）上只有一個極值點，∴f(x)max=f(x）極大值=f(7)=42.∴當(dāng)年廣告費投入7萬元時,企業(yè)年利潤最大.9.隨著我國加入WTO，某地方企業(yè)決定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種進行投資生產(chǎn)，打入國際市場，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下:（資金單位:萬美元）年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價每年最多可生產(chǎn)件數(shù)甲產(chǎn)品20a10200乙產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)件數(shù)無關(guān)，a為常數(shù),且3≤a≤8.另外,年銷售x件乙產(chǎn)品時需上交0。05x2萬美元的特別關(guān)稅.在不考慮其他因素的情況下:(1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤y1、y2與相應(yīng)生產(chǎn)件數(shù)x（x∈N*）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2)分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤;（3)如何選擇投資方案可獲較大年利潤？思路分析:本題仍然是考查導(dǎo)數(shù)求最值在實際生活中的應(yīng)用，按照一般解應(yīng)用題的幾個步驟求解即可.解：(1)y1=（10—a)x-20(1≤x≤20,x∈N＊），y2=-0。05x2+10x—40（1≤x≤120,x∈N*）.（2）當(dāng)x=200時，y1獲得最大值S1=1980—200a（萬美元）,y2′=—0.1x+10，由y′=0，得x=1