2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章三角形中的邊角關(guān)系命題與證明練素養(yǎng)1.三角形角的關(guān)系的八種常見題型習(xí)題課件新版滬科版

滬科版八年級(jí)上第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)1.三角形角的關(guān)系的八種常見題型

三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)是解決角的有關(guān)

計(jì)算及推理論證問題時(shí)經(jīng)常使用的理論依據(jù).利用三角形內(nèi)

角和與外角的性質(zhì)求角的度數(shù)時(shí)，要通過內(nèi)角和外角相互轉(zhuǎn)

化，將未知轉(zhuǎn)化為已知，進(jìn)而求出角的度數(shù).1.[新趨勢(shì)·學(xué)科綜合2023·山西]如圖，一束平行于主光軸的

光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心

O

的光

線相交于點(diǎn)

P

，點(diǎn)

F

為焦點(diǎn).若∠1＝155°，∠2＝30°，

則∠3的度數(shù)為(

C

)A.45°B.50°C.55°D.60°C題型1

三角形內(nèi)角和定理在求角度中的應(yīng)用12345678題型2

三角形內(nèi)角和定理在折疊中的應(yīng)用2.

如圖①②③④，兩次折疊三角形紙片

ABC

，先使點(diǎn)

B

與

點(diǎn)

C

重合，折痕為

DE

，展平紙片；再使

AC

落在

BC

上，

折痕為

CF

，展平紙片.若∠

A

＝66°，∠

B

＝44°，求

∠

COE

的度數(shù).12345678

12345678題型3

三角形內(nèi)角和定理在類比思想中的應(yīng)用3.

如圖，在△

ABC

中，點(diǎn)

P

是∠

ABC

，∠

ACB

的平分線的

交點(diǎn).(1)若∠

A

＝60°，求∠

BPC

的度數(shù).12345678

12345678

【解】正確.理由如下：∵

BP

，

CP

分別為∠

ABC

，∠

ACB

的平分線，

12345678題型4

三角形內(nèi)角和定理在轉(zhuǎn)化思想中的應(yīng)用4.

如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度數(shù).12345678【解】連接

CG

，

DF

.

∵在△

COG

和△

AOB

中，∠

COG

＝∠

AOB

，∴∠6＋∠7＝∠

OCG

＋∠

OGC

.

∵在四邊形

CDFG

中，∠

OCG

＋∠2＋∠

CDF

＋∠

DFG

＋∠3＋∠

OGC

＝360°，∴∠2＋∠3＋∠6＋∠7＋∠

CDF

＋∠

DFG

＝360°.又∵在△

DEF

中，∠

EDF

＋∠

EFD

＋∠5＝180°，∴∠

EDF

＋∠

CDF

＋∠

EFD

＋∠

DFG

＋∠2＋∠3＋∠5

＋∠6＋∠7＝540°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°.12345678【點(diǎn)方法】連接

CG

，

DF

，利用

轉(zhuǎn)化思想

，將求∠1＋∠2＋

∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求四邊形

CDFG

的內(nèi)角和與△

DEF

的內(nèi)角和之和.【點(diǎn)方法】連接

CG

，

DF

，利用

轉(zhuǎn)化思想

，將求∠1＋∠2＋

∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求四邊形

CDFG

的內(nèi)角和與△

DEF

的內(nèi)角和之和.12345678題型5三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在探究角的關(guān)系中的應(yīng)用5.

如圖，在△

ABC

中，點(diǎn)

O

是外角∠

DBC

的平分線與外角

∠

ECB

的平分線的交點(diǎn).判斷∠

BOC

與∠

A

的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.12345678

12345678題型6三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在折角中的應(yīng)用6.

探索歸納：(1)如圖①，已知△

ABC

為直角三角形，∠

A

＝90°，若

沿圖中虛線剪去∠

A

，則∠1＋∠2等于(

C

)CA.90°B.135°C.270°D.315°12345678(2)如圖②，已知在△

ABC

中，剪去∠

A

后得到四邊

形

BCEF

，試探究∠1＋∠2與∠

A

的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.12345678【解】∠1＋∠2＝∠

A

＋180°.理由如下：∵∠1，∠2為△

AEF

的外角，∴∠1＝∠

A

＋∠

AEF

，∠2＝∠

A

＋∠

AFE

.

∴∠1＋∠2＝∠

A

＋∠

A

＋∠

AEF

＋∠

AFE

.

又∵∠

A

＋∠

AEF

＋∠

AFE

＝180°，∴∠1＋∠2＝∠

A

＋180°.12345678(3)若沒有將∠

A

剪掉，而是把它折成如圖③的形狀，試

探究∠1＋∠2與∠

A

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.12345678【解】∠1＋∠2＝2∠

A

.

理由如下：∵△

EFP

是由△

EFA

折疊得到的，∴∠

AFE

＝∠

PFE

，∠

AEF

＝∠

PEF

.

∴∠1＝180°－2∠

AFE

，∠2＝180°－2∠

AEF

.

∴∠1＋∠2＝360°－2(∠

AFE

＋∠

AEF

).又∵∠

AFE

＋∠

AEF

＝180°－∠

A

，∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠

A

)＝2∠

A

.

12345678題型7三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在方程思想中的應(yīng)用7.

如圖，

AD

平分∠

BAC

，∠

EAD

＝∠

EDA

.

(1)求證：∠

EAC

＝∠

B

；【證明】∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

CAD

.

又∵∠

EAD

＝∠

EDA

，∴∠

EAC

＝∠

EAD

－∠

CAD

＝∠

EDA

－∠

BAD

＝∠

B

.

12345678(2)若∠

B

＝50°，∠

CAD

∶∠

E

＝1∶3，求∠

E

的度數(shù).【解】設(shè)∠

CAD

＝

x

，則∠

BAD

＝

x

，∠

E

＝3

x

.由(1)知∠

EAC

＝∠

B

＝50°，∴∠

EAD

＝∠

EDA

＝

x

＋50°.在△

EAD

中，∵∠

E

＋∠

EAD

＋∠

EDA

＝180°，∴3

x

＋2(

x

＋50°)＝180°，解得

x

＝16°.∴∠

E

＝48°.12345678題型8三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在整體思想中的應(yīng)用8.

[2024·衡水五中模擬]如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

，

∠

ACB

的平分線交于點(diǎn)

O

，點(diǎn)

D

是外角∠

ACH

與內(nèi)角

∠

ABC

平分線的交點(diǎn)，∠

BOC

＝120°.(1)求∠

A

的度數(shù)；12345678【解】∵∠

BOC

＝120°，∴∠

OBC

＋∠

OCB

＝60°.∵∠

ABC

，∠

ACB

的平分線交于點(diǎn)

O

，∴∠

ABC

＋∠

ACB

＝2∠

OBC

＋2∠

OCB

＝2(∠

OBC

＋∠

OCB

)＝120°.∴∠

A

＝60°.12345678(2)求∠

D