山東省莒縣2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

山東省莒縣2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.62．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C D.3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或4．變量，滿足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.55．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.6．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)．以O(shè)為圓心a為半徑的圓與相切于點(diǎn)M，且，則該雙曲線的漸近線為（）A. B.C. D.7．已知，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是B.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是D.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（）A.4862 B.4962C.4852 D.49529．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）A.2 B.C.1 D.10．已知數(shù)列滿足，則（）A.32 B.C.1320 D.11．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.1212．圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10.拋物線的方程為_____________；準(zhǔn)線方程為_______14．某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考，依據(jù)以往成績(jī)估算該同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目等級(jí)中達(dá)的概率分別為假設(shè)各門科目考試的結(jié)果互不影響，則該同學(xué)等級(jí)考至多有1門學(xué)科沒有獲得的概率為___________.15．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇16．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側(cè)面積為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個(gè)家庭，獲得第個(gè)家庭的月收入(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計(jì)算得，，，（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲(chǔ)蓄之間的變化情況，并預(yù)測(cè)當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲(chǔ)蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值18．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形是菱形，求該菱形周長(zhǎng)的最大值20．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應(yīng)用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.21．（12分）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點(diǎn)為，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B（1）求雙曲線C的方程；（2）過右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值22．（10分）冬奧會(huì)的全稱是冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在中國(guó)北京和張家口舉行．為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，廣安市某中學(xué)校從全校隨機(jī)抽取50名學(xué)生參加冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，并根據(jù)這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D2、C【解析】由函數(shù)的圖象可知其單調(diào)性情況，再由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先增后減，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)，故排除AB；當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先減后增，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，故排除D.故選：C.3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.4、A【解析】根據(jù)不等式組，作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可求z的最小值.【詳解】根據(jù)不等式組作出可行域如圖，，則直線過A(－1，0)時(shí)，z取最小值.故選：A.5、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，，則錯(cuò)誤；，即，則錯(cuò)誤；，即，則錯(cuò)誤；，即，則正確；故選：.6、A【解析】連接、，利用中位線定理和雙曲線定義構(gòu)建參數(shù)關(guān)系，即求得漸近線方程.【詳解】如圖，連接、，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，且，根據(jù)雙曲線的定義，得，∴，∵與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得雙曲線的漸近線方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用和漸近線的求法，屬于中檔題.7、D【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因分別是直線的方向向量，且，直線所成的角為，則，A正確；對(duì)于B，D，因分別是直線l的方向向量與平面的法向量，且，直線l與平面所成的角為，則有，B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因分別是平面的法向量，且，平面所成的角為，則不大于，，C正確.故選：D8、D【解析】根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進(jìn)一步即可得到的值【詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項(xiàng)減前項(xiàng)可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D9、B【解析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得，解之得故選：B10、A【解析】先令，求出，再當(dāng)時(shí)，由，可得，然后兩式相比，求出，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相除可得，所以，所以，故選：A11、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長(zhǎng)為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個(gè)正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B12、D【解析】公切線條數(shù)與圓與圓的位置關(guān)系是相關(guān)的，所以第一步需要判斷圓與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以兩圓的心心距為，所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】由題意得：拋物線焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線方程為y=﹣．因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10，所以根據(jù)拋物線的定義得到方程，得到該拋物線的準(zhǔn)線方程【詳解】∵拋物線方程∴拋物線焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線方程為y=﹣，又∵點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10，∴根據(jù)拋物線的定義，得9+=10，∴p=2，拋物線∴準(zhǔn)線方程為故答案為:,.14、【解析】考慮3門或者2門兩種情況，計(jì)算概率得到答案.【詳解】.故答案為：.15、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.16、【解析】由已知求得母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式求解【詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長(zhǎng)l=,∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=2π故答案為2π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法,側(cè)面積公式S=πrl.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關(guān)（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進(jìn)而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.【小問2詳解】因?yàn)椋宰兞縴的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).【小問3詳解】將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).18、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯(cuò)位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時(shí)，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出，即可（2）設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長(zhǎng)公式，求得，，運(yùn)用菱形和橢圓的對(duì)稱性可得，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合菱形的對(duì)角線垂直和向量數(shù)量積為0，可得，設(shè)菱形的周長(zhǎng)為，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最大值【小問1詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，又，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓設(shè)曲線的方程為，，，曲線的方程為【小問2詳解】設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，聯(lián)立可得，由可得，化簡(jiǎn)可得，①，，，同理可得，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以，又因?yàn)椋裕?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以且，所以，，，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，可得，即，即，即，可得，化?jiǎn)可得，設(shè)菱形的周長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，滿足①，所以菱形的周長(zhǎng)的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在處理此類直線與橢圓相交問題中，一般先設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得出，，再具體問題具體分析，一般涉及弦長(zhǎng)計(jì)算問題，運(yùn)算比較繁瑣，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，屬于難題。20、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解析】（1）用語(yǔ)言描述正弦定理，并用公式表達(dá)正弦定理（2）利用“大角對(duì)大邊”的性質(zhì)，并根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化即可【詳解】（1）正弦定理：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值之比相等且等于這個(gè)三角形外接圓的直徑，即.（2）是充要條件.證明如下：充分性：又故有：必要性：又綜上，是的充要條件21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設(shè)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法即證【小問1詳解】由題意可知在雙曲線C中，，，，解得所以雙曲線C的方程為；【小問2詳解】證法一：由題可知，設(shè)直線，，，由，得，則，，∴，，；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí).