2025屆吉林省長春市田家炳實驗中學高一數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆吉林省長春市田家炳實驗中學高一數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點，，，則的面積為（）A.5 B.6C.7 D.82．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，3．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間t（單位：月）的關系為，關于下列說法不正確的是（）A.浮萍每月的增長率為2B.浮萍每月增加的面積都相等C.第4個月時，浮萍面積超過D.若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時間分別是，、，則4．已知，則的值為A. B.C. D.5．在同一坐標系中，函數(shù)與大致圖象是（）A. B.C. D.6．的值是A. B.C. D.7．已知向量，，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.8．設實數(shù)滿足，函數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.69．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.10．直線的傾斜角為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，且，則的值為______12．已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是__________13．已知tanα=3，則sin14．已知點角終邊上一點，且，則______15．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，終邊經(jīng)過點，則___________.16．已知點為角終邊上一點，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點、在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上．若，（）求向量，夾角的正切值（）問點在什么位置時，向量，夾角最大？18．已知函數(shù)的最小正周期為（1）求圖象的對稱軸方程；（2）將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域19．已知x∈R,集合A中含有三個元素3,x,x2-2x.(1)求元素x滿足的條件;(2)若-2∈A,求實數(shù)x.20．如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，過點作交于點.（1）證明：平面；（2）證明：平面；（3）求三棱錐的體積.21．已知函數(shù)，其中（1）若的最小值為1，求a的值；（2）若存在，使成立，求a取值范圍；（3）已知，在（1）的條件下，若恒成立，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】設AB邊上的高為h，則S△ABC＝|AB|·h，根據(jù)兩點的距離公式求得|AB|，而AB邊上的高h就是點C到直線AB的距離，由點到直線的距離公式可求得選項【詳解】設AB邊上的高為h，則S△ABC＝|AB|·h，而|AB|＝，AB邊上的高h就是點C到直線AB的距離AB邊所在的直線方程為，即x＋y－4＝0.點C到直線x＋y－4＝0的距離為，因此，S△ABC＝×2×＝5.故選：A2、B【解析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，判斷即可.【詳解】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論可得，命題“”的否定為：.故選：B.3、B【解析】先利用特殊點求出函數(shù)解析式為，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出正誤【詳解】解：圖象可知，函數(shù)過點，，函數(shù)解析式為，浮萍每月的增長率為，故選項A正確，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，是曲線型函數(shù)，浮萍每月增加的面積不相等，故選項B錯誤，當時，，故選項C正確，對于D選項，，，，，又，，故選項D正確，故選：B4、C【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關系把原式的分母“1”變?yōu)閟in2α+cos2α，然后給分子分母求除以cos2α，把原式化為關于tanα的關系式，把tanα的值代入即可求出值【詳解】因為tanα＝3，所以故選C【點睛】本題是一道基礎題，考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值的能力，做題的突破點是“1”的靈活變形5、B【解析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，只有B滿足.故選：B.6、B【解析】由余弦函數(shù)的二倍角公式把等價轉(zhuǎn)化為，再由誘導公式進一步簡化為，由此能求出結(jié)果詳解】，故選B【點睛】本題考查余弦函數(shù)的二倍角公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意誘導公式的靈活運用，屬于基礎題.7、C【解析】結(jié)合平面向量線性運算的坐標表示求出，然后代入模長公式分別求出和，進而根據(jù)平面向量的夾角公式即可求出夾角的余弦值，進而求出結(jié)果.【詳解】，，，，從而，且，記與的夾角為，則又，，故選：8、A【解析】將函數(shù)變形為，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.詳解】解：由題意，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：A【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方9、C【解析】由解出范圍即可.【詳解】由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C.10、B【解析】設直線x﹣y+3=0的傾斜角為θ由直線x﹣y+3=0化為y=x+3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴θ=60°故選B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系，利用結(jié)合兩角和的余弦公式即可求出【詳解】，，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)的關系，兩角和的余弦公式，屬于中檔題.已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值，角的變換是解題的關鍵12、【解析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化簡為，再利用函數(shù)在上的單調(diào)性即可轉(zhuǎn)化為，然后求得的范圍.【詳解】因為為R上偶函數(shù)，則，所以，所以，即，因為為上的減函數(shù)，，所以，解得，所以，的范圍為.【點睛】1.函數(shù)值不等式的求法：（1）利用函數(shù)的奇偶性、特殊點函數(shù)值等性質(zhì)將函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為與大小比較的形式：；（2）利用函數(shù)單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為自變量大小比較的形式，再求解不等式即可.

偶函數(shù)的性質(zhì)：；奇函數(shù)性質(zhì)：；

若在D上為增函數(shù)，對于任意，都有；若在D上為減函數(shù)，對于任意，都有.13、3【解析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得要求式子的值【詳解】∵tanα=3，∴sinα?cosα=sin故答案為310【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題14、【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，即可求得m值【詳解】點角終邊上一點，，則，故答案為【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題15、【解析】利用三角函數(shù)定義求出、的值，結(jié)合誘導公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.16、5【解析】首先求，再化簡，求值.【詳解】由題意可知.故答案為：5【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義和關于的齊次分式求值，意在考查基本化簡和計算.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析：（）設向量與軸的正半軸所成的角分別為，則向量所成的夾角為，由兩角差的正切公式可得向量夾角的正切值為；（）由（1）知，利用基本不等式即可的結(jié)果.詳解：（1）由題意知，A的坐標為A（0，6），B的坐標為B（0，4），C（x，0），x＞0設向量，與x軸的正半軸所成的角分別為α，β，則向量，所成的夾角為|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函數(shù)的定義知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夾角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夾角的正切值為tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值為時，夾角|α﹣β|的值也最大，當x=時，取得最大值成立，解得x=2，故點C在x的正半軸，距離原點為2，即點C的坐標為C（2，0）時，向量，夾角最大點睛：本題主要考查利用平面向量的夾角、兩角差的正切公式以及基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.18、（1）；（2）【解析】（1）先由誘導公式及倍角公式得，再由周期求得，由正弦函數(shù)的對稱性求對稱軸方程即可；（2）先由圖象平移求出，再求出，即可求出在上的值域【小問1詳解】，則，解得，則，令，解得，故圖象的對稱軸方程為.【小問2詳解】，，則，，則在上的值域為.19、（1）x≠-1,且x≠0,且x≠3（2）x=-2.【解析】(1)由集合中元素的互異性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.故元素x滿足的條件是x≠-1,且x≠0,且x≠3.(2)若-2∈A,則x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0無解,所以x=-2.點睛：已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值．具體解法：(1)確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值．(2)互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗20、（1）見解析；（2）見解析；（3）.【解析】（1）連接交于點，連接，利用中位線定理得出∥，故平面；（2）由⊥底面，得，結(jié)合得平面，于是，結(jié)合得平面，故而，結(jié)合，即可得出平面；；（3）依題意，可得試題解析：（1）連接交于點，連接∵底面是正方形，∴點是的中點又為的中點，∴∥又平面，平面，∴∥平面.（2）∵⊥底面，平面，∴∵底面是正方形，∴．又，平面，平面，∴平面．又平面，∴∵，是的中點，∴．又平面，平面，，∴平面．而平面∴.又，且，又平面，平面，∴平面.（Ⅲ）∵是的中點，.【點睛】本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算.正確運用定理是證明的關鍵.21、