導數(shù)的幾何意義問題（解析版）-2022年新高考數(shù)學提分精練（新高考地區(qū)專用）

專題19導數(shù)的幾何意義問題

一、單選題

1.函數(shù).f(x)=(2e，-x)-cosx的圖象在尤=0處的切線方程為()

A.x-2y+l=0B.x-y+2=0

C.x+2=0D.2x-y+l=0

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函數(shù)的導數(shù)r(x)=(2e'-l)-cosx-(2e'-x)-sinx,求得/'(0)J(0)的值，結合直線的

點斜式方程，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/*)=(2e、-x)?cosx,nI得/'(x)=(2e、-1)?cosx-(2ev-犬)sinx,

所以廣(0)=(2e°-l)-cos0-(2e°-0)-sin0=l,/(0)=(2e°-0)?cos0=2,

所以/(x)在x=0處的切線方程為y-2=x-0,即x—y+2=0.

故選：B.

2.若存在兩條過點(-1,1)的直線與曲線y=2x-@相切，則實數(shù)”的取值范圍為()

x

A.(-<?,-4)o(l,+oo)B.(T?,T)U(4,+OO)

C.(-0)53,+oo)D.(-8,-3)50,+(?)

【答案】C

【解析】

【分析】

設切點A(f,2r-9,則由導數(shù)的幾何意義求出切線方程>=(2+])(犬-。+2/-7，再將點

(-1,1)的坐標代入化簡得3『+2at+a=0,則由△>0可求出答案

【詳解】

/(X)=2+4.設切點A?,2f-與，則曲線y=/(x)在點A處的切線方程為

廠t

y=(2+—)(x-r)+2r——，

tt

切線過點(-U),Bpi=(2+4)(-l-0+2r--,

tt

化簡得3r+2〃+。=0，

由題意可得方程有兩個不同的根，

所以And/-12a>0，"0或。>3.

故選：C

3.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且函數(shù)y=/(x+l)-l是奇函數(shù)，當時，

/(x)=ln(l-2x),則曲線y=/(x)在x=2處的切線方程是()

A.y=x-4B.y=xC.y=-2x+2D.y=-2x+6

【答案】D

【解析】

【分析】

求出f(x)在(|,|)上的解析式后可求切線方程.

【詳解】

令g(x)=/(x+l)T,因為g(x)為奇函數(shù)，故g(r)=—g(x),

故/(_x+l)_l=_/(x+l)+l即/(_x+l)+/(x+l)=2.

B|J/(x)=2-/(2-x),

當詞時,2Tm)，

故/(2—x)=In[1—2(2—%)]=ln(2x—3),

故時，/(x)=2-ln(2x-3),

2

此時，(x)=-kJ,故/⑵=一2,而〃2)=2

2x-3

故切線方程為：y=-2x+6,

故選：D.

4.曲線/(x)=cosn+］在x=g處的切線方程為()

A.x+y-l=OB.7rx+y-7r=0

C.乃x+y-l=OD.x+y-7r=0

【答案】B

【解析】

【分析】

求得導數(shù)/'(力=fsing,求得/'(；),/(；)的值，結合直線的點斜式方程，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=cosn+],可得/'(x)=-4sin;rx,

71

可得廣I

所以曲線“X）在X=g處的切線方程為y-1=5

,g|JTCX+y-K=Q.

故選:B.

5.函數(shù)〃x）=2/'（l>x+xlnx在x=l處的切線方程為（）

A.y=2x-2B.y=2x+lC.y=-x-\D.y=x—\

【答案】C

【解析】

【分析】

求出導函數(shù)/（X），從而可得了'（1），然后根據(jù)導數(shù)的兒何意義即可求解.

【詳解】

解:因為尸(X)=2。'⑴+1F1X+1,所以廣(1)=2/(1)+1,即/'(1)=-1,

所以"1)=2/'⑴=-2,

所以切線方程為y=_(x_i)_2=_*_i,

故選：C.

6.曲線/（工）=4*3_1在x=］處的切線傾斜角是（）

A冗21

AD.

-6-Ic棉T

【答案】B

【解析】

【分析】

計算出了'⑴的值,即可求得切線的傾斜角.

【詳解】

設曲線/（幻=弓/-1在X=1處的切線傾斜角為a,

71

因為/'（x）=&2,則廣⑴=有,因為04￡?萬,因此,a--

3

故選：B.

7.已知直線y=2x與曲線y=e'+a相切，則。的值為（)

A.2B.2(ln2+l)C.In2+1D.2(ln2-l)

【答案】D

【解析】

【分析】

設切點為(％,2%),根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得e”=2,再利用切點也在丫=廿+?！苟?，即可求

解.

【詳解】

設切點為(毛，2%),

y'=ev

...々=川4%=6"=2,故X0=ln2

x

又2x0=e0+a,

解得a=21n2-2,

故選：D

8.若曲線〃x)=e*-x在點(為"■))處的切線方程為丫=丘+"則女+力的最大值為()

A.e—1B.1C.e+1D.e

【答案】A

【解析】

【分析】

利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，結合題設可得"=e：T,再根據(jù)目標式構造

W=e%l-x。)

^(x)=e'(2-x)-l,利用導數(shù)求其最大值即可.

【詳解】

由題設,fr(x)=ex-l,則尸(%)=e%—1,而f(x°)=e?—%,

所以(%，/(%))處的切線方程為y=(e*-l)(x-Xo)+e&-X。，

女=e"—]

則<,故％+b=e&-l+e"(l—%)=eF(2—x0)-l,

/>=e'?(l-x0)

令g(x)=e*(2-x)-l,Pl!!g'(x)=e*(l-x),

當x<l時，g'(x)>0,即g(x)遞增；當x>l時,g'(x)〈O,即g(x)遞減；

所以g(x)4g(l)=e-1,故1+匕的最大值e—1.

故選：A

9.已知"x)=f+lnx在x=l處的切線傾斜角為6,則cos2。—sin2。的值為()

7

A.7B.——C.5D.-3

5

【答案】B

【解析】

【分析】

由導數(shù)的幾何意義求出切線斜率得出lan6=3,再由：倍角的正余弦公式及同角三角函數(shù)的

基本關系化簡求值即可.

【詳解】

因為r(x)=2x+g,

所以A:=/'(l)=tan，=3,

c八.-ccos2^-sin20-2sin0cos0

所以cos20-sin20=---------------------------

1

cos『，一sin。，-2sindcos，1-tan20-2tan07

cos2。+sin2。l-i-tan2/95

故選：B

10.設曲線y=d-6近在處切線的斜率為/（左），則（）

A.</(log29)B.f23</(log29)<

(2

<f25

C./(log29)</D./(log29)</23<f

【答案】B

【解析】

【分析】

求導y'=3/-6Z,得到/（々）=3（々—1）2-3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

因為丫=%3-6日,

所以y'=3x2-6k,貝U/(Z)=3V-6Z=3(Z-l)2-3,

所以〃。在（f,l）上遞減，在（1,招>）上遞增,

又因為1<23<2,=/(4),3<log29<4,

所以|</(log29)

故選：B

11.若曲線y=lnx+d+l在點（1,2）處的切線與直線依+）-1=0平行，則實數(shù)。的值為

()

A.—4B.—3C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用切線的斜率列方程，化簡求得。的值.

【詳解】

1

y=-+2x,y1=3,

X

所以-a=3,a=_3.

故選：B

12.拋物線C：x2=2py(p>0),若直線/：y=x+?與C交于4,B(左側為4,右側為

B)兩點，則拋物線C在點A處的切線的斜率為()

A.-3B.1C.3D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】

利用解方程組法求出點4的坐標，結合導數(shù)的幾何意義進行求解即可.

【詳解】

x2=2py

直線/與拋物線C方程聯(lián)立，得［3〃=x=-P或x=3/，，

y=x-\■-—

I2

因為左側為A,右側為8,p>0,

所以A(-p,O),由/=2/?yny=J—=>y'=-x,

2Pp

所以拋物線C在點A處的切線的斜率為▲?(-P)=-1,

p

故選：D

13.拋物線C:x2=2py(p>0),直線/:y=x+稱與C交于AB(左側為A,右側為B)兩

點，若拋物線C在點A處的切線經(jīng)過點N(3,~6),貝lJP=()

A.24B.12C.8D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

直線與拋物線方程聯(lián)立可求得A點坐標，利用導數(shù)可求得拋物線在點A處的切線斜率，由切

線斜率可構造方程求得P.

【詳解】

x=-px=3p/

…+芟￡

聯(lián)立《解得：P或，9,-p,

y=~p<

犬=2P.y

12，i,|

由拋物線方程得:y=—???>=丁，?3e=t

2P

-6-P

2一,解得：P=6.

3+p

故選：D.

14.曲線〃x)=d-3x在點(-2,〃-2))處的切線方程為y=+"則實數(shù)b=()

A.-16B.16C.-20D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

直接求出切線方程，即可得到答案.

【詳解】

函數(shù)〃”={-3了的導數(shù)為制x)=3/-3.

所以/(_2)=(—2)3—3*(_2)=_2,/(力=3(—2)2—3=9.

所以在點(-2,f(-2))處的切線方程為y=9x+16.故b=16.

故選：B

15.已知過點P(a,l)可以作曲線y=lnx的兩條切線，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-co,e)B.(0,e)

C.[0,e)D.(O,e-l)

【答案】B

【解析】

【分析】

設出曲線上的切點，求出導數(shù)，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線

方程，可得切點坐標的關系式，整理得到關于一個坐標變量的方程，借助于函數(shù)的最值及其

圖象，即可得到“的范圍.

【詳解】

設曲線N=Inx與其切線交于A(x(p%)

切線方程/：y=kx+b,

由導數(shù)與切線方程斜率關系可得k=y'L*=-……①

又?.?切線過點P3D

???要保證過點P(a,DUJ'以作曲線y=InX的兩條切線，可得尸伍,1)不能在曲線y=InX上

x?wa

?,4=5②

x0-a

???點A在曲線y=lnx上，故%=lnxO……③

1Inx-1_1

由①②③式可得:0

x0-a*oXQ—ax0

天(ln$-l)=x()-a,解得a=2x()-/?In/

令/(x)=2x-xlnx

貝！|fXx)=2-A:---ln.r=l-lnx

x

令/'(x)=0,故l-Inx=O

故當尤=e時，/,(x)=0；

當xe(O,e)時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當xe(e,+oo)時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

即/(x)在x=e時取得極大值，故/(*)儂=/(e)=2e-e/ne=e

得a僅在(0,e)范圍內(nèi)由2個對應的x值

即aw(0,e)時，有2個解，此時存在2條切線方程

綜上所述，4的取值范圍為(0,e)

故選：B.

16.已知直線丫=履+〃是曲線y=J7+1的切線，貝以2+〃-26的最小值為()

A.—B.0C.一D.3

24

【答案】A

【解析】

【分析】

對曲線求導，求出其在即口+1)(%20)處的切線方程，從而得到了切線中〃力的關系

^-1)=7,然后將所求&2+〃-2/，進行構造，與已知條件建立聯(lián)系，再用均值不等式求

4

解最小值即可.

【詳解】

設直線y="+b與曲線丫=4+1相切于點[(),后+1)520),

當/=0時，直線y=b不是曲線y=&+l的切線，故%>0,

由y=+1得V所以切線方程為y-(H+i)=￡7=(x-x。),即

)所以/(萬一1)=—,所以女2+￡>2—2匕=/+(/>-1)2—122&(Z>—1)—1=—,

42

當且僅當氏=人一1=:即％=1時，等號成立，

2

所以％2+從一2萬的最小值為

2

故選：A

17.已知函數(shù)〃x)=lnx-B，直線丁=如+〃是曲線y=〃x)的一條切線，則〃?+2〃的取值

范圍是()

A.[-3,+oo)B.[-21n2-4,+oo)

(e-3]「「51

C.ID.ln2--,+ooI

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得加+2〃表達式，再求其取值范圍即可解決.

【詳解】

設切點為尸(，,〃，))，r(x)=：+&，k=f()=；+5

曲線y=/(x)在切點尸(r，〃。)處的切線方程為y—/(r)=/'(r)(xT)，

整理得y=(；+5)x+lnf-,

所以相+2”=二+2In1—3—2.

rt

令g(x)=5+21nx-，-2(x>0),則8，四二2二"2

當0<x<g時，g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當x>g時，g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增.故ga)*=g(g)=-21n2-4,

則〃任2〃的取值范圍是[一2In2-4,+。。).

故選：B

18.若點P是曲線y=]Y-21nx上任意一點，則點P到直線y=x-3的距離的最小值為()

A.述B.延C.V2D.>/5

42

【答案】A

【解析】

【分析】

求出平行于直線V=x-3且與曲線y=]丁-2Inx相切的切點坐標，再利用點到直線的距離

公式，即可求解.

【詳解】

設平行于直線y=x-3且與曲線y=；d-21nx相切的切線對應切點為P(x,y),

X

解得犬=1或》=-2;(舍去)，

故點P的坐標為

1---3廠

故點尸到直線y=x-3的最小值為：27技

&一4

故選：A.

19.設函數(shù)”外在R上存在導函數(shù)r(x),/(x)的圖象在點”(1J⑴)處的切線方程為

y=gx+2,那么八1)+/[1)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

求出/(l)J'(l)即得解.

【詳解】

解：由題得/⑴=；xl+2=|,-⑴=g，

所以/⑴+/⑴=|+；=3.

故選：C

20.過點P作拋物線C:/=4y的切線//,切點分別為M,N,若APMN的重心坐標為(3,4),

且P在拋物線八:丁=以上，則￡＞的焦點坐標為()

【答案】A

【解析】

【分析】

利用導數(shù)求出切線方程，聯(lián)立方程求出2(土產(chǎn)，竽)再由重心坐標公式的得出「(3,-3),

最后由。求出。的焦點坐標.

【詳解】

設仞號)，P(x,y),由C:*2=4y可得丫=&2,>，=/

1*2][1*2]I*2

故4:y-才（x-xj,UPy=-x]x--^-@f同理4:y=~x2x--^-②

聯(lián)立①②可得X=土產(chǎn),y=牛，則P（美上，竽）

X.+x0X：羽XX,X]+%=6

解得%/=-12

所以122二34442

——，X1+中2=48

故P(3,-3),則。=：=3,力的焦點坐標為

故選：A

21.當a>0時，過點伍,。+方)均可以作曲線y=lnx的兩條切線，則6的取值范圍是()

A.(-<20,—1)B.(—oo,-l]C.(—1,+°°)D.[-1,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】

設過點3，。+3的切線與>=In*相切于(見〃)，根>0,把題意轉(zhuǎn)化為關于m的方程

〃=q+lnwj-a-l有兩解.令％=。,%=g+111》-〃-1,(%>0).作出/與%的圖像，有兩個交

mx

點求出8>lna-a.記g(a)=lnq-a,(a>0),利用導數(shù)求出g(a)的最大值，即可求出匕>一1.

【詳解】

設過點(a，a+。)的切線與y=lnx相切于加>0,

n=\nm

則有<1"一(a+b),消去〃得：l-@=ln機一(4+。).

tnm-a

因為過點(4M+份均可以作曲線y=InX的兩條切線,

所以關于的方程1-@=111//!-(.+。)有兩解.

m

艮|J〃=0+1口加一。一1有兩解.

m

令,=瓦%=，+如x-aT，(x>。)?只需，與其有兩個交點.

對于必=幺+心工_〃_1,(1>0),則y2=-4+-=-^-(-x-^).

XXXX

令必‘>。，解得：x>a;令為，<0,解得：0<x<a.

所以內(nèi)在(。，0上單調(diào)遞減，在(。,+8)單調(diào)遞增.

作出力的草圖如圖所示：

要使M與約有兩個交點，只需b>ln?！?/p>

記g(a)=ln〃_aM>0),g,(a}=--l=-(l-aY

aa

令g，(a)>。，解得0<a<l;令g'(a)<0,解得a>l；

所以g(〃)=lna-a在(0,1)上單調(diào)遞增，在(I,")單調(diào)遞增.

所以g(a)的最大值為g(l)=lnl-1=-1,

所以6>-1.

故選：C

【點睛】

導數(shù)的應用主要有：

(1)利用導函數(shù)幾何意義求切線方程；

(2)利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值(最值)；

(3)利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍；

(4)利用導數(shù)研究零點.

22.已知4方為正實數(shù)，直線y=x-￡與曲線>=ln/x+M|相切，則上的取值范圍是()

2I4-/?

A.(-8,0)B.C.[1,-KO)D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)構造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】

解：函數(shù)y=+的導函數(shù)為二令解得x=所以切點為

I2)x+2x+22

(1-g,O)，代入y=x,，得a+Z?=2,

???。、人為正實數(shù)，.xeeZ，

則工=A，

4一62+a

令g(a)=S，?e(O,2),貝

則函數(shù)g⑷在(0,2)上單調(diào)遞增,所以0=g(0)<g(〃)<g⑵=1,即g(a)e(0,l),

4-b''

故選：D.

23.若兩曲線y=lnx-l與丫=奴2存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2e]B.-e3,+oo^C.''D.[2e,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

設公切線與曲線的切點為(馬,應)，利用導數(shù)的幾何意義分別求y=lnx-l和

y=af上的切線方程，由所得切線方程的相關系數(shù)相等列方程求參數(shù)關系，進而構造函數(shù)

并利用導數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.

【詳解】

設公切線與曲線N=lnx-1和y=a?的交點分別為(5,inX[一1),(々,竭)，其中芭>0,

對于y=lnx-l有y=L則y=lnx-l上的切線方程為=即

Xx\

y

y=一+(lnX|-2),

對于y=有y'=2ax,則y=上的切線方程為y-泥=2辦2(*一七)，即丁=2奴2%一〃石，

1

—=231lee/、

所以T1",有一五點=In石一2,即“=2e一%lnX](M>0),

1nxi-2=-渥

令g(x)=2x2-x2Inx,g'(x)=3x-2xlnx=x(3-21nx),

令g?%)=0，得x=￡，

<3、

當xe0,一時,g?x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

\/

/3\

當xee2,+oo時，g?x)<：0,g(x)單調(diào)遞減，

(3\J11]

所以g(x)a=ge2=-e3,ao<—<-e\BPa>-e-\

IJ24a22

故選：B.

【點睛】

關鍵點點睛：應用導數(shù)幾何意義求兩條曲線的含參切線方程，由公切線對應系數(shù)相等得到相

關參數(shù)方程，進而構造函數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.

24.下列直線中，既不是曲線G：y=e'的切線，也不是曲線G：y=lnx的切線的是()

A.y=x+iB.y=x~1c.尸低D.y=e(x-2)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)切線的斜率為1或e進行分析，從而確定正確選項.

【詳解】

對于曲線C-y=e',

若e*=l,貝1]x=0,y=l,切線方程為y—l=lx(x—0),y=x+l,A選項正確.

若e*=e,則x=l,y=e,切線方程為y-e=e(x-l),y=er,C選項正確.

對于曲線G，y=--

X

若』=1,則x=l,y=0,切線方程為產(chǎn)x-1,B選項正確.

X

若1=e,則x=Ly=ln2=-l,切線方程為y+l=e(x-』],y=ex-2,D選項錯誤.

xee\ey

故選：D

25.已知曲線y=lnx在》=一處的切線為/，點M（-lJ）到切線/的距離為乩則d的最大值

為（）

1+e_

A.1B.2C."、、D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

由y=lnx求導，由導數(shù)的幾何意義求得切線/的方程，然后利用點到直線的距離公式得到

</=4==,最后利用基本不等式求HI"的最大值.

Ve2,+1

【詳解】

對y=lnx求導，得；/=',

X

所以切線/的斜率為e-,

又乂z=[ne，=f，

所以切線/的方程為yT=e[x—e'）,即x—e'y+Q—l）e'=0,

當且僅當f=0時取等號，

故〃的最大值為收.

故選：D.

26.將曲線6：“=2（》>0）上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮小為原來的得到曲線G，

則C,上到直線x+16y+2=0距離最短的點坐標為（）

A.（&JB.詞C.屋）D.（4,1]

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用函數(shù)圖象的變換得到曲線G對應函數(shù)，將曲線G上點到直線x+16y+2=0的最短距

離轉(zhuǎn)化為曲線G在某點處的切線和所給直線平行，再利用導數(shù)的幾何意義進行求解.

【詳解】

2

將個=2化為y=一，

則將曲線G上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮小為原來的；，

2）

得到曲線C,:2y=*,即C,:y=—（x>0）,

xx

要使曲線C?上的點到直線x+16y+2=0的距離最短，

只需曲線<^2上在該點處的切線和直線x+16y+2=0平行，

設曲線G上該點為PS-），

a

因為丫'=-3,且x+16y+2=0的斜率為一二，

x16

所以--y=—^,解得。=4或。=-4（舍），

a216

即該點坐標為「（4，!）.

4

故選：B.

27.已知函數(shù)/（力=-丁+3左，則過點（-3,-9）可作曲線y=/（x）的切線的條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

設切點為+3”）,根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得在切點+3。）處的切線方程，再將

（-3,-9）代入，求得。的值，即可得解.

【詳解】

解：因為〃x）=—d+3x,所以/'（X）=-3X2+3,

設切點為（。,一/+3。）,

所以在切點（4-。3+3”）處的切線方程為y=-3（/_l）（x-4）-a3+3a,

又（一3,—9）在切線上，所以一9=-3（/-1）（-3-。）一。3+3〃，

即-9=3（/-1）.（3+4）_/+34,

整理得2a3+9〃=0,解得q=（）或的=-］，

所以過點（-3,-9）可作曲線y=f（x）的切線的條數(shù)為2.

故選：C.

28.已知x>0,yeR,(x-y)2+(x2-lnx+2-y，的最小值為()

A.&B.2C.迪D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】

設A(x,x2-lnx+2)是函數(shù)f(x)=/-lnx+2圖象上的點，B(y,y)是函數(shù)尸*上的點，把

(x-y)2+(V-lnx+2-y)2看成利用幾何法判斷出當與直線平行旦與/(?的圖

象相切時.，切點到直線歹=犬的距離為IA8I的最小值，即可求解.

【詳解】

(x-y)2+(x2-lnx+2-疔可以轉(zhuǎn)化為：A(x,x?-lnx+2)是函數(shù)/(x)=f-lnx+2圖象上的

點，B(y,y)是函數(shù)y=x上的點，IAB|2=(x-y)2+(x2-lnx+2-)；)2.

當與直線y=X平行且與fM的圖象相切時，切點到直線y=X的距離為IAB|的最小值.

令尸(x)=2x-g=l,解得》=1或工=_；,(舍去)，又/(1)=3,

所以切點C(l,3)到直線V=x的距離即為IA81的最小值.

所以|42舄=嶗=也，所以IAB0=2.

故選：B.

【點睛】

方法點睛：

距離的計算方法有兩類：

(1)幾何法：利用幾何圖形求最值；

(2)代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.

29.已知*<0,直線y=%(x-2)與曲線y=x-21nx相切，則()

A.—B.—1C.—2D.一e

2

【答案】B

【解析】

【分析】

因為直線y=&(x-2)與曲線y=x-21nx相切，則可設切點為(如%-21嘰)，求出在切點處

的切線方程等同于直線卜=%(犬-2),即切線方程過點(2,0),代入切線方程求出％,從而求

出&值.

【詳解】

因為直線y=/(x-2)與曲線y=x-21nr相切，所以設切點為(不，為-21叫)，

2

則)'1=1一一=k,因為女<0,所以0</<2,

“0

(2、

則切線方程為：了一/+21-=1(x-x0),因為過點(2,0),代入可得：

kxo7

2XQ-2-x0Inx0=0.

令〃x)=2x-2-xlnx(O<x<2),則/(x)=l-lnx>0在(0,2)上恒成立，所以f(x)在(0,2)

上單調(diào)遞增，且f(l)=0,所以切點為(1,1),則后=l-j=T.

故選：B.

30.若僅存在一條直線與函數(shù)/(x)="lnx(。>0)和g(x)=—的圖象均相切，則實數(shù)。=

()

A.eB.人C.2eD.2品

【答案】C

【解析】

【分析】

分別求出函數(shù)/(x)上切點(w，aln&)處的切線方程和g(x)上切點[謫)處的切線方程，消

去玉，得。=4x；-4/In%,該問題轉(zhuǎn)化為々有唯一的值時，求。值，即可通過導數(shù)研究函

數(shù)〃仁)=4后-4石Inx2的單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】

設直線與g(x)=/的切點為(芯片),

由g，(x)=2x可知，該直線的斜率為2X，即該直線的方程為y-X=2x/x-x),

即為y=2*x-x：,

設直線與/(x)=alnx的切點為(w,alnw),

由f'(x)=3可知，該直線的斜率為色，即該直線的方程為y-"lnx2=q(x-X2),

X工2*2

即為y=￡-x+a(lnx2-l),

“2

???僅存在一條直線與函數(shù)/(x)=〃lnx(。>0)和g(x)=f的圖象均相切，

a

2x}=—

S%,/.即a=4彩一Inx2,

a[]nx2-1)=-xf

令〃（W）二4只一4工;In%2，則"（W）=8w—8X2ln%2-4x2=4x2（1-21nx2）,

當4々。一21n&）＞0時，即0＜W＜五，當49（1—21n%）＜0時，即五＜七，

即人（々）在（0,五）上單調(diào)遞增，在（五,+8）匕單調(diào)遞減，則/?（々）在》=五處取得最大值,

/?(\/^)=4e-4exg=2e,圖像為

???切線只有一條，即巧的值唯一，，只有a=2e,

故選：C.

31.已知〃x）=/?ie*-2d,曲線y=/（x）在不同的三點（石"（再）），（乙（七,，（%3））

處的切線均平行于x軸，則根的取值范圍是（）

A.倍收）B.（?？蒀.仔,+。D.（0,邕

【答案】D

【解析】

【分析】

由f'（x）=〃爐-6f=0得〃?="，令g"）="，求導分析單調(diào)性與極值，依題意得

ee

機=6吟r~有三個不同解，即可求解.

e

【詳解】

由fr^=fnex-6x2=0得機=^-

令g(x)=竽，則g'(x)=l^”

當x<0或x>2時g'(x)<0,當0cx<2時g'(x)>0,

所以g（x）在（①，0）和⑵y）上單調(diào)遞減，在（0,2）上單調(diào)遞增,

R.g(0)=0,g(2)=-；

因為曲線y=/（x）在不同的三點。/&））,（孫〃培,卜3，〃W））處的切線均平行于X

軸

所以,〃=竽有三個不同解，故機

故選：D

32.若函數(shù)丫=加與y=lnx存在兩條公切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

A-(0B.(嗓)C.[*)D.C

【答案】D

【解析】

【分析】

設切線與曲線y=lnx相切于點(f』nf),利用導數(shù)寫出曲線y=lnx在點(f,Inf)處的切線方程,

將切線方程與函數(shù)y=a%2的解析式聯(lián)立，由△=()可得出直線y=J-與曲線

有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)g(r)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結合可得出關于實數(shù)。的不等式,

由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

設切線與曲線V=In尤相切于點億In。，對函數(shù)y=Inx求導得y，=1,

所以，曲線y=lnx在點處的切線方程為=即y=；x+ln/-l,

聯(lián)立<1可得ar?--x+1-lnr=0,

y=-x+\nt-\t

由題意可得a工0且△=方一4。(1一In。=。，可得一廠Inf,

令g(r)=*-/in/,其中，>0,510^(r)=2r-(2/lnr+r)=/(l-21nr).

當0</<6時,g'⑺>0,此時函數(shù)g⑺單調(diào)遞增,

當f>6時，g'(f)<0,此時函數(shù)g(f)單調(diào)遞減，所以，g(/)a=g(五)=]?

且當0<t<e時，g(，)>0,當時，g(f)<0,如下圖所示:

由題意可知，直線y=」-與曲線y=g(t)有兩個交點，則0<；<：,解得

4a4a22e

故選：D.

33.若過點(。,加可以作曲線>=lnx的兩條切線，則()

A.a<InB.b<lnaC.lnt><aD.\na<b

【答案】D

【解析】

【分析】

設切點坐標為(%，%),由切點坐標求出切線方程，代入坐標(。,力，關于與的方程有兩個不

同的實數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)(構造新函數(shù))圖象有兩個交點，由導數(shù)確定函數(shù)的

性質(zhì)后可得.

【詳解】

設切點坐標為(%,%),由于y'=1，

X

因此切線方程為y-Inx0=—(x-x0),又切線過點(a,b),

X。

,..ci—xa...a

貝—=-----,/?-I-1=Inx0+—,

x。

設f(x)=lnx+@,函數(shù)定義域是(0,+8),

X

則直線y="l與曲線f(x)=lnx+g有兩個不同的交點,

X

Jx.,^/)。，

XX'x~

當aMO時，/'(x)>0恒成立，/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意;

當a〉0時，0<x<a時.r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

。時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以/(x)1nhi=/(a)=lna+1,

由題意知〃+1〉Inq+l,即b>ln。.

故選：D.

34.已知函數(shù)/(x)=-d+3x,P為曲線y=/(x)在點(2J(2))處的切線上的一個動點，Q

為圓C:(x-3y+(y—1『=看上的一個動點，則|PQ|的最小值為()

.8屈D7短06痘c5屈

41414141

【答案】D

【解析】

【分析】

利用導數(shù)求得曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程，求得圓c的圓心到切線的距離，III

此求得|尸0的最小值.

【詳解】

因為〃x)=-/+3x,所以〃2)=-2,r(x)=-3x2+3,/'(2)=-9,

所以曲線y=/(x)在點(2"(2))處的切線方程為y+2=-9(x-2),即9x+y-16=0.

圓C的圓心坐標為(3,1),故圓心到直線9x+y-16=0的距離為⑹%丁=羞=嚕^,

所以歸。的最小值為返-返=返.

414141

故選：D

35.動直線/分別與直線y=2x-l,曲線y=》2-]nx相交于AB兩點，則|4目的最小值為

A.@B.好C.1D.75

1()5

【答案】A

【解析】

【分析】

當點8處的切線和直線y=2x-l平行時，|AB|的值最小，結合導數(shù)和解析式求得點8,再由

點到直線距離公式即可求解.

【詳解】

設點A是直線y=2x-1上任意一點，點B是曲線y=]x2-inx上任意一點，當點B處的切線

和直線y=2x-l平行時，這兩條平行線間的距離的值最小，

因為直線y=2x-]的斜率等于2，

曲線y=3一如％的導數(shù)/，=3“一1」令V=2,

2x

可得x=l或x=-g(舍去)，故此時點B的坐標為(I,AM2-1--

2一直，

一10

故選：A.

36.若直線y=改+6與曲線y=相切，則〃+方的最大值為()

A.—1B.e+1C.，D.€—\

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，設切點為(加，"-加)，進而求出y=d-》的導數(shù)，可得切線的斜率d”-l=a,從

而得出利=ln(a+l),再由切點：(加,""-加)也在切線方程上，并化簡得出

6=(a+l)[l-ln(a+l)],從而得出a+6=4+(“+1)口—皿。+1)],通過構造函數(shù)g(a)并利

用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而可求出a+6的最大值.

【詳解】

解:設直線y=與曲線y=e*_x相切于點

y=e'-x,y'=ex-\,

可得切線的斜率為e"—1=a,則e"="+l,所以，〃=ln(a+l),

乂切點也在直線y=匕則<7〃?+Z?=e"'-〃z,

:.b=e"'-m-arn=a+l-(a+l)ln(“+1)=(a+l)[l-ln(a+l)],

.,.d+i>=a+(a+l)[l-In(a+l)],

設g(a)=a+(a+l)[l-ln(a+l)],a>-l,

.-.g,(?)=l-ln(a+l),

當時，g'(a)>0,g(“)單調(diào)遞增，

當a>e-l時，g,(a)<0,g(a)單調(diào)遞減,

可得g(a)的最大值為g(e-l)=e-1,

即a+方的最大值為e-1.

故選：D.

37.已知,“x)=xlnx,若過一點(，〃,")可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下列選項一定成立

的是()

2

A.n<m\nmB.n>m\nmC.—e<w<0D.m<\