27.3 垂徑定理（作業(yè)）（解析版）

27.3垂徑定理（作業(yè)）一、單選題1．（2020·上海崇明·初三一模）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在的圓的圓心為圖中的()A．M B．P C．Q D．R【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過Q，所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也常用來確定圓心的方法．2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）下列命題中，假命題是（）A．如果一條直線平分弦和弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；B．如果一條直線平分弦所對的兩條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；C．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且平分弦，那么該直線平分這條弦所對的弧，并且垂直于這條弦；D．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對的?。敬鸢浮緾【分析】利用垂徑定理及其推論逐個(gè)判斷即可求得答案．【詳解】A．如果一條直線平分弦和弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦，正確，是真命題；B．如果一條直線平分弦所對的兩條弧，那么這條直線一定經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦，正確，是真命題；C．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且平分弦，那么該直線不一定平分這條弦所對的弧，不一定垂直于這條弦，例如：任意兩條直徑一定互相平分且過圓心，但不一定垂直．錯(cuò)誤，是假命題；D．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對的弧，正確，是真命題．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及其推論，對于一個(gè)圓和一條直線來說如果一條直線具備下列，①經(jīng)過圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對的優(yōu)弧，⑤平分弦所對的劣弧，五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備其他三個(gè)．3．（2018·上海普陀·初三一模）如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為點(diǎn)M、N，BA、DC的延長線交于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)OP．下列四個(gè)說法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如圖連接OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正確∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正確，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正確，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正確，故選D．二、填空題4．（2018·上海靜安·初三二模）如圖，已知⊙O中，直徑AB平分弦CD，且交CD于點(diǎn)E，如果OE=BE，那么弦CD所對的圓心角是_________度．【答案】120．【解析】連接OC，∵直徑AB平分弦CD，∴AB⊥CD，∵OE=BE，∴OE=，在Rt△OCE中，OE=，∴cos∠COE=，∴∠OEB=60°，∴弦CD所對的圓心角是60°×2=120°.故答案為120.5．（2018·上海浦東新·）已知一個(gè)弓形所在圓的直徑10厘米，弓形的高為2厘米，那么這個(gè)弓形的弦長為_____厘米．【答案】8分析：連接弓形所在圓的圓心及弓形弦的一端，過圓心作弓形弦的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，可根據(jù)圓的半徑和弓形的高求出弓形弦的弦心距，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出弓形的弦長．詳解：如圖，弓形AB的高CD=2厘米，連接OA，Rt△OAD中，OA=5cm，OD=OC-CD=3cm，根據(jù)勾股定理，得AD=4cm，故AB=2AD=8cm．即這個(gè)弓形的弦長是8厘米．故答案為8.點(diǎn)睛：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．（2018·上海嘉定·中考模擬）已知弓形的高是1厘米，弓形的半徑長是13厘米，那么弓形的弦長是_____厘米．【答案】10試題解析：如圖，過圓心O作OD⊥AB，交弧于C．則CD=1，連接OA．

在直角△AOD中，OA=13，OD=13-CD=12，

則AD==5，

∴AB=2AD=10．

故答案是：10．7．（2019·上海嘉定·初三一模）如圖，在圓O中，AB是弦，點(diǎn)C是劣弧AB的中點(diǎn)，連接OC，AB平分OC，連接OA、OB，那么∠AOB＝_____度．【答案】120【分析】連接AC．證明△AOC是等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：連接AC．∵AC＝∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC，∵AB平分OC，∴AB是線段OC的垂直平分線，∴AO＝AC，∵OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°．故答案為120．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2020·上海市建平中學(xué)西校初三月考）如圖，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半徑為cm，且經(jīng)過點(diǎn)B、C，那么線段AO=____cm．【答案】3或5【分析】分兩種情況考慮：①如圖所示，由AB=AC，OB=OC，利用線段垂直平分線逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長，利用勾股定理求出OD的長，由AD+DO即可求出AO的長；②同理由AD-OD即可求出AO的長，綜上，得到所有滿足題意的AO的長．【詳解】分兩種情況考慮：①如圖所示，∵AB=AC，OB=OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，∴BD=3，根據(jù)勾股定理得：AD==4，在Rt△BDO中，OB=，BD=3，根據(jù)勾股定理得：OD==1，則AO=AD+OD=4+1=5；②如圖所示，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，∴點(diǎn)O在AD上，連接OB，在Rt△ABD中，cosB==，∴BD=5×=3，∴AD==4，在Rt△BOD中，OD==1，∴OA=AD?OD=4?1=3．綜上，OA的長為3或5．故答案為3或5．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，垂徑定理等知識(shí)，這道題用到的知識(shí)點(diǎn)有解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理及勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2019·上海市上外民辦勁松中學(xué)初三二模）如圖，已知是的外接圓，圓心在的外部，，，求的半徑.【答案】4【分析】已知△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，作于點(diǎn)，則直線為的中垂線，直線過點(diǎn)，在Rt△OBH中，用半徑表示出OH的長，即可用勾股定理求得半徑的長．【詳解】作于點(diǎn)，則直線為的中垂線，直線過點(diǎn)，，，，即，.【點(diǎn)睛】考查垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.10．（2020·上海崇明·初三一模）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，（1）求⊙O的半徑；（2）求O到弦BC的距離．【答案】（1）5；（2）.【分析】（1）連結(jié)OB，設(shè)半徑為r，則OE=r－2，運(yùn)用垂徑定理和勾股定理即可求解；（2）利用S△BCO＝BCOF＝OCBE即可求解.【詳解】（1）連結(jié)OB，設(shè)半徑為r，則OE=r－2，∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，∴BE＝DE＝4，在Rt△OBE中∵OE2+BE2=OB2，∴(r－2)2＋42＝r2，∴r=5；（2）∵r＝5，∴AC＝10，EC＝8∴BC＝4；∵OF⊥BC，∴S△BCO＝BCOF＝OCBE∴4OF＝5×4∴OF＝.【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長．11．（2018·上海楊浦·初三三模）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH=5，CD=，點(diǎn)E在弧AD上，射線AE與CD的延長線交于點(diǎn)F．（1）求圓O的半徑；（2）如果AE=6，求EF的長．【答案】(1)圓的半徑為4.5；(2)EF=．【分析】（1）連接OD，根據(jù)垂徑定理得：DH=2，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論；（2）過O作OG⊥AE于G，證明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的長，從而得EF的長．【詳解】（1）連接OD，∵直徑AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2，在Rt△ODH中，AH=5，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，解得：r=4.5，則圓的半徑為4.5；（2）過O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確添加輔助線并熟練掌握垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì).12．（2018·上海中考模擬）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)F，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)E，CE=2．（1）求AB的長；（2）求⊙O的半徑．【答案】（1）AB=4；（2）⊙O的半徑是．試題分析：（1）由，得，，結(jié)合可證.從而AF=CE，故可求得AB的長；（2）由垂徑定理得B