2.4線段、角的對稱性（一~二）（原卷版）

2.4線段、角的對稱性（一~二）【推本溯源】1.如圖，直線PQ是線段AB的垂直平分線，PQ與AB交于點O，把OA沿直線PQ翻折，可得OA與OB重合。幾何語言：∵直線PQ是線段AB的垂直平分線∴∠1=∠2=90°，OA=OB因此，線段是圖形；它得對稱軸是和。2.如圖，線段AB的垂直平分線l交AB于點O，點P是l上任意一點，PA與PB相等嗎？為什么？通過證明，你發(fā)現(xiàn)了什么？用語言描述你得到的結(jié)論．科網(wǎng)ZXXK]因此線段垂直平分線的性質(zhì)定理幾何語言：3.如圖，若點Q是線段AB外任意一點，且QA＝QB，那么點Q在線段AB的垂直平分線上嗎？為什么？因此線段垂直平分線的判定定理是幾何語言：4.如圖：已知AC=AD，BC=BD，求證：AB垂直平分CD。5.你用尺規(guī)畫出任一條線段的垂直平分線嗎？作法：1.分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C、D。2.過C、D兩點作直線。直線CD就是線段AB的垂直平分線。6.在直線AB外任取一點C，用該方法作出線段BC、AC的垂直平分線，你會發(fā)現(xiàn)什么？【解惑】例1：如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點，的周長是，則的長為（

）

A． B． C． D．例2：如圖，是的角平分線，、分別是和的高，求證：垂直平分．例3：如圖：在中，點是的中點，點，分別在，邊上，且．(1)猜想：（填上“”、“”或“”）；(2)證明你的猜想．例4：到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（

）A．三條高的交點 B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點例5：已知：兩條相交公路與形成的區(qū)域內(nèi)部有兩個居民小區(qū)，可近似的看作點D與點E．為了給居民提供便利，社區(qū)要在內(nèi)部區(qū)域內(nèi)選擇一處地址修建快遞柜，使選址點P到兩個居民區(qū)和兩條公路距離均相等．請用尺規(guī)作圖法作出點P的位圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．【摩拳擦掌】1．（2023春·廣東河源·八年級校聯(lián)考期中）到三角形各頂點距離相等的點是三角形三條（

）A．中線的交點B．三邊垂直平分線的交點C．角平分線的交點 D．高線的交點2．（2023·河北保定·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，點D為上一點．甲、乙兩人按圖中的作法，都得到了全等．下列判斷錯誤的是（

）

甲通過作的垂直平分線得到點P、Q乙通過過點D作的平行線得到點P、Q甲證明全等的依據(jù)是 乙證明全等的依據(jù)是3.（2022秋·廣東河源·八年級?？计谀┤鐖D，是中邊上的垂直平分線，如果，，則的周長為（

）A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm4．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，中，是的垂直平分線，cm，的周長為13cm，的周長為______cm．5．（2021春·廣東清遠(yuǎn)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點，，，則的周長為______．6．（2022秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，線段CD與線段BE互相垂直平分，，，則______．7．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知甲工廠靠近公路a，乙工廠靠近公路b，為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，甲、乙兩工廠準(zhǔn)備合建一個倉庫，經(jīng)協(xié)商，倉庫必須滿足以下兩個要求：①到兩工廠的距離相等；②在內(nèi)，且到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定倉庫的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）8．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考一模）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，交于點P，交于點Q．（要求：先用鉛筆作圖，再用黑色筆把它涂黑，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，，，求的周長．9．（2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點．(1)求證：；(2)求證：點在線段的垂直平分線上．【知不足】1．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知，，有下列結(jié)論：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①2．（2021秋·廣東汕尾·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于點，交的延長線于點，于點，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③平分；④；其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個3．（2023春·全國·八年級期中）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，則△BCD的周長是________cm．4．（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，若，過點A作于點D，在上取一點，使，則＝______．5．（2023春·浙江臺州·九年級臺州市書生中學(xué)校考期中）如圖中，，請依據(jù)尺規(guī)作圖的作圖痕跡計算_____．6．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，有三幢公寓樓分別建在點A、點B、點C處，是連接三幢公寓樓的三條道路，要修建一超市P，按照設(shè)計要求，超市要在的內(nèi)部，且到A、C的距離必須相等，到兩條道路的距離也必須相等，請利用尺規(guī)作圖確定超市P的位置．（不要求寫出作法、證明，但要保留作圖痕跡）．7．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，已知，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）．

(1)如圖1，在邊上確定一點，使得；(2)如圖2，在正方形中，點為邊上一點，在邊上作出一點，使得的周長為線段的長．8．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，請補(bǔ)充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長到點E，使在和中∵（已作）（對頂角相等）____________（中點定義）∴（____________）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)與之間的關(guān)系，探究得出的取值范圍是____________；【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．(3)【問題解決】如下圖，中，，，是的邊上的中線，，，且，求的長．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰的底邊的長為6，面積是18，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點．若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則的周長的最小值為（

）

A．6 B．8 C．9 D．102．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，D為中點，作交于E，交于F，連接，，則的取值范圍是_______．3．（2023·黑龍江牡丹江·?？寄M預(yù)測）在中，，，點到的距離是，到的距離是，則等于__________線分別與的兩邊交于，兩點，為中點，過作的垂線交于點，，則____．5．（2023春·七年級單元測試）如圖所示，是的角平分線，分別是和的高，則與的關(guān)系為_________．6．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知，P為邊上一點，請用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點E，使得的周長等于（保留作圖痕跡，不寫作法）7．（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，兩公路與相交于點O，兩公路內(nèi)側(cè)有兩工廠C和D，現(xiàn)要修建一貨站使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）8．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，的垂直平分線交于點，交于點，與相交于點，的周長為．請你解答下列問題：(1)求的長；(2)試判斷點是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．9．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平分的外角，于點D，于點E，．(1)求證：點P在線段的垂直平分線上；(2)求證：．10．（2022秋·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，為的中點，連接、，，延長交的延長線于點F.(1)求證：；(2)求證：；(3)若四邊形的面積為32，，求點E到邊的距離.11．（2023春·山東濟(jì)南·八年級?？计谥校┤鐖D，，點為的中點，平分，過點作，垂足為，連結(jié)、．(1)求證：是的平分線．(2)求證：線段垂直平分．12．（2022春·七年級單元測試）如圖，在中，點D在邊上，，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)如圖①請你添加一個條件，使，你添加的條件是______，并證明；(2)如圖②，為的平分線，當(dāng)有一點G從點D向點A運動時，，垂足分別為E，F(xiàn)，這時，是否垂直于？(3)如圖③，為的平分線，當(dāng)點G在線段的延長線上運動時，其他條件不變，這時，是否垂直于？13．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，的平分線與的垂直平分線交于點，過作于點，，交的延長線于點．求證：．

14．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，已知在中，點D在邊上，且．請用尺規(guī)作圖法，在上求作一點P，使得．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

15．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，在中，若，，求邊上的中線