2.1 二次函數(shù)的定義（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.1二次函數(shù)的定義學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021·安徽九年級(jí)月考）以x為自變量的函數(shù)：①；②；③；④．是二次函數(shù)的有（）A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：①，符合二次函數(shù)的定義，故①是二次函數(shù)；②，符合二次函數(shù)的定義，故②是二次函數(shù)；③，符合二次函數(shù)的定義，故②是二次函數(shù)；④，不符合二次函數(shù)的定義，故④不是二次函數(shù)．所以，是二次函數(shù)的有①②③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次二次函數(shù)的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川涼山九年級(jí)月考）若是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（）A． B．且m≠0 C． D．【答案】D【分析】利用二次函數(shù)的定義得出其系數(shù)不為0，次數(shù)為2，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)，

∴m2+m≠0，m2-2m-1=2，

解得：m1≠0，m2≠-1，m3=-1，m4=3，

故m=3．

故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確解一元二次方程是解題關(guān)鍵．3．（2021·山東博山九年級(jí)一模）根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入的x的值為3或－4時(shí)，輸出的y值互為相反數(shù)，則b等于（）A．－30 B．－23 C．23 D．30【答案】D【分析】先分別求解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再利用相反數(shù)的含義列方程，再解方程可得答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合題意可得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一次函數(shù)值與二次函數(shù)值，相反數(shù)的含義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·北京海淀九年級(jí)二模）如圖，一架梯子AB靠墻而立，梯子頂端B到地面的距離BC為，梯子中點(diǎn)處有一個(gè)標(biāo)記，在梯子頂端B豎直下滑的過程中，該標(biāo)記到地面的距離y與頂端下滑的距離x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系【答案】B【分析】過梯子中點(diǎn)O作地面于點(diǎn)D．由題意易證，即得出．由O為中點(diǎn)，，，即可推出，即．即可選擇．【詳解】如圖，過梯子中點(diǎn)O作地面于點(diǎn)D．∴，又∵，∴，∴，根據(jù)題意O為中點(diǎn)，，．∴，整理得：．故y與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．作出輔助線構(gòu)成相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021·重慶市江津中學(xué)校九年級(jí)月考）函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為____________________．【答案】3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，即可求解．【詳解】由題意得：，，解得：故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是注意二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0．6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市九年級(jí)期末）點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，則的值為__________【答案】6【分析】把點(diǎn)代入即可求得值，將變形，代入即可．【詳解】解：∵點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上，

∴則．∴

故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求待定系數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．（2019·始興縣馬市中學(xué)九年級(jí)月考）當(dāng)m____________時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)．【答案】不等于和3【分析】我們一般把形如(為常數(shù))的函數(shù)稱之為二次函數(shù)，其中二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，據(jù)此進(jìn)一步求解即可.【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得：，即：，∴，且，即當(dāng)不等于和3時(shí)，原函數(shù)為二次函數(shù)，故答案為：不等于和3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.8．（2019·安徽合肥九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，，過線段上的點(diǎn)，則的函數(shù)關(guān)系式為________________.【答案】【分析】判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE，然后表示出PE、QE，再過點(diǎn)Q作于F，利用△QEF與△BEA相似表示出QF，然后根據(jù)三角形的面積公式表示出y與x的關(guān)系式即可．【詳解】解：由BE平分∠ABC可得，△ABE為等腰三角形，∴，在Rt△ABE中，，∴，，∵QP∥BD，∴∠EQP=∠EBD，∠EPQ=∠EDB，又∵EB=DE，∴∠EBD=∠EDB，∴∠EQP=∠EPQ，∴，作于F，則△QEF∽△BEA，∴，即，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題中求函數(shù)表達(dá)式，涉及的知識(shí)比較綜合，熟練掌握等腰直角三角形、平行線性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題9．（2021·吉林長(zhǎng)春市九年級(jí)期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ、MQ為鄰邊作矩形PQMN，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）用含t的代數(shù)式表示線段QM的長(zhǎng)；（3）設(shè)矩形PQMN與重疊部分圖形的面積為S（S＞0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）連結(jié)QN，當(dāng)QN與的一邊平行時(shí)，直接寫出t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）（＜＜），（＜）；（4）或．【分析】（1）由，利用勾股定理求解即可；（2）先求解，分兩種情況討論，當(dāng)＜＜時(shí)，當(dāng)＜時(shí)，利用線段的和差可得答案；（3）分兩種情況討論，當(dāng)＜＜時(shí)，分別求解：利用矩形的面積公式即可得到答案，當(dāng)＜時(shí)，分別求解：，利用直角梯形的面積公式即可得到答案；（4）分兩種情況討論，當(dāng)＜＜時(shí)，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)證明：，再列方程求解即可，當(dāng)＜時(shí)，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵,∴（2）由題意得：由時(shí)，當(dāng)＜＜時(shí)，；的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：而的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：，當(dāng)＜時(shí)，同理：（3）當(dāng)＜＜時(shí)，如圖，由四邊形為矩形，當(dāng)＜時(shí)，同理可得：（4）如圖，當(dāng)＜＜時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)＜時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得：由四邊形為矩形，綜上，當(dāng)或，QN與的一邊平行【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)三角形相似的判定與性質(zhì)，重疊部分的面積，列二次函數(shù)關(guān)系式，分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．10．（2021·吉林九臺(tái)九年級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，連結(jié)BD．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB－BD－DC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與矩形ABCD的頂點(diǎn)重合時(shí)，以AP為對(duì)角線作正方形AEPF（點(diǎn)F在直線AP的右側(cè)）．設(shè)正方形AEPF的面積為S（平方單位），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)，并寫出t的取值范圍；（2）當(dāng)AP⊥BD時(shí)，求t的值；（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）當(dāng)直線BF將正方形AEPF分成的兩部分圖形面積相等時(shí)，直接寫出t的值．【答案】（1），；（2）或；（3）；（4）8或【分析】（1）先求出BD的值，再用含t的式子表示PB，即可；（2）當(dāng)AP⊥BD時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，②當(dāng)P在DC上時(shí)，利用三角函數(shù)的定義，列出方程，即可求解；（3）分3種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別用t表示正方形的面積，即可；（4）當(dāng)直線BF將正方形AEPF分成的兩部分圖形面積相等時(shí)，BF過正方形對(duì)角線的交點(diǎn)G，畫出圖形，即可得到答案．【詳解】解：（1）在Rt△ABD中，．當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，．t的取值范圍為．（2）當(dāng)AP⊥BD時(shí)，分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，如圖①．∵，∴，即．∴BP＝．∴．解得：．當(dāng)P在DC上時(shí)，如圖②．∵，∴．又∵，∴．∴．∴，即．∴DP＝．∴．解得：．（3）當(dāng)時(shí)，如圖③．．當(dāng)時(shí)，如圖④．過點(diǎn)P作PM⊥AB于M．，，．∴，當(dāng)時(shí)，如圖⑤，則，．綜上所述：；（４）如圖⑥，當(dāng)直線BF將正方形AEPF分成的兩部分圖形面積相等時(shí)，BF過正方形對(duì)角線的交點(diǎn)G時(shí)，此時(shí)AE=PE，∠AEB=∠PEB，BE=BE，∴△AEB≌△PEB，∴BP=BA=4，∴t=4+4=8；同理，如圖⑦，BP=BA=4，∴，∴；綜上所述：或；【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，求二次函數(shù)解析式，熟練掌握正方形的性質(zhì)，畫出圖形，是解題的關(guān)鍵．11．（2021·河南焦作市九年級(jí)期末）已知，如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C以每秒1cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t＜6），回答下列問題：（1）直接寫出線段AP、AQ的長(zhǎng)（含t的代數(shù)式表示）：AP＝______，AQ＝______；（2）設(shè)△APQ的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時(shí)間t，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）2t，；（2）；（3）存在，t＝4時(shí)，四邊形是菱形．【分析】（1）根據(jù)∠A＝60°，AB＝12cm，得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AP＝2t，．（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．由AP＝2t，AH＝t，得出，從而求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，根據(jù)菱形的性質(zhì)得PQ＝PC，則可得出求得t即可．【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，∴AC＝6，∴由題意知：AP＝2t，故答案為：（2）如圖①過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．∵∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，∴∠B＝30°，∴∠HPA＝30°，∵AP＝2t，AH＝t，∴∴（3）當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形PQP′C是菱形，理由如下：證明：如圖②過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，∵CQ＝t，由（2）可知，AM＝AP＝t，∴QC＝AM，由對(duì)折可得：當(dāng)PC＝PQ時(shí)，四邊形是菱形，CM＝MQ＝AQ＝AC＝2，當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，列二次函數(shù)關(guān)系式，菱形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇宿遷市九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以為邊在軸上方作正方形和正方形，連接交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中（包含兩點(diǎn)），試求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑圖象的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；（3）連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在和相似，若存在，試求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在；．【分析】（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)E和F的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線EF的解析式，根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)C（a，0）（-4≤a≤4），確定直線EF的解析式：y=-ax+4，將x=a代入可得結(jié)論；（3）由（2）知：設(shè)C（a，0），分兩種情況：①當(dāng)△EDP∽△ECF時(shí)，②當(dāng)△EDP∽△FCE時(shí)，列比例式可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），∴AC=4-2=2，BC=4+2=6，∵四邊形ACDE和四邊形BCGF都是正方形，∴AE=AC=2，BF=BC=6，∴E（-4，2），F(xiàn)（4，6），設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線EF的解析式為：y=x+4，當(dāng)x=-2時(shí)，y=×(?2)+4=3，∴P（-2，3）；（2）設(shè)C（a，0）（-4≤a≤4），∴AC=AE=a+4，BC=BF=4-a，∴E（-4，a+4），F(xiàn)（4，4-a），同理得直線EF的解析式為：y=-ax+4，當(dāng)x=a時(shí)，y=-a2+4（-4≤a≤4）；（3）由（2）