13.2 命題與證 同步練習(xí)

第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2命題與證明基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1命題及其分類(lèi)1.(2023安徽合肥廬陽(yáng)月考)下列語(yǔ)句屬于命題的是()A.你今天打卡了嗎? B.請(qǐng)戴好口罩!C.畫(huà)出兩條相等的線(xiàn)段 D.同位角相等2.(2023安徽蚌埠蚌山期中)下列命題中，為真命題的是()A.兩個(gè)銳角之和一定為鈍角 B.相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角C.同位角相等 D.垂線(xiàn)段最短知識(shí)點(diǎn)2命題的結(jié)構(gòu)3.將下列命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式，并分別指出命題的條件與結(jié)論.(1)直角都相等；(2)末位數(shù)字是5的整數(shù)能被5整除；(3)三角形的內(nèi)角和是180°；(4)同角的余角相等；(5)不相等的角不是對(duì)頂角.知識(shí)點(diǎn)3互逆命題4.(2022江蘇無(wú)錫中考)請(qǐng)寫(xiě)出命題“如果a>b，那么b-a<0”的逆命題：.

知識(shí)點(diǎn)4反例5.(2023安徽安慶迎江期中)對(duì)于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能說(shuō)明它是假命題的反例是()A.∠1=∠2=45° B.∠1=50°，∠2=50°C.∠1=50°，∠2=40° D.∠1=40°，∠2=40°知識(shí)點(diǎn)5定理與證明6.佳伊在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D.猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. (1)佳伊閱讀題目后，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠B、∠C的度數(shù)求∠EAD的度數(shù)，得到下面幾組對(duì)應(yīng)值：∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度302015a30上表中a=；

(2)猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)佳伊突發(fā)奇想，將B、C兩個(gè)字母的位置交換，如圖2，過(guò)EA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)F作FD⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，當(dāng)∠ABC=80°，∠C=20°時(shí)，∠F=°.

知識(shí)點(diǎn)6三角形的外角及三角形內(nèi)角和定理的推論7.(2023安徽安慶迎江期中)如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=30°，∠2=50°，則∠3的度數(shù)是()A.50° B.30° C.20° D.15°8.(2023安徽安慶懷寧期中)如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=108°，則∠DAC的度數(shù)為()A.78° B.80° C.82° D.84°9.(2022安徽安慶石化一中期中)將一副直角三角板按如圖所示的方式放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為.

10.(2023安徽安慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)補(bǔ)充下列證明過(guò)程，并填上推理的依據(jù).已知：如圖，∠BEC=∠B+∠C.求證：AB∥CD.證明：延長(zhǎng)BE交DC于點(diǎn)F，則∠BEC=∠EFC+∠C()，∵∠BEC=∠B+∠C，∴∠B=，(等量代換)

∴AB∥CD().能力提升全練11.(2022廣西梧州中考改編)下列命題中，是假命題的是()A.-2的絕對(duì)值是-2 B.對(duì)頂角相等C.三角形的內(nèi)角和是180° D.如果直線(xiàn)a∥c，b∥c，那么直線(xiàn)a∥b12.(2020湖北宜昌中考)能說(shuō)明“銳角α，銳角β的和是銳角”是假命題的例證圖是() A B C D13.(2023安徽安慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)下列四個(gè)命題中，真命題有()①內(nèi)錯(cuò)角一定相等；②如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2；③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角；④若a2=b2，則a=b.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)14.(2023安徽合肥包河期中)已知命題：“三角形三條高線(xiàn)所在直線(xiàn)的交點(diǎn)一定不在三角形的外部”.小冉想舉一反例說(shuō)明它是假命題，則下列選項(xiàng)中符合要求的反例是()A.等邊三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形15.(2019北京中考)用三個(gè)不等式a>b，ab>0，1a<1A.0 B.1 C.2 D.316.(2023安徽六安舒城月考)命題“兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)”是命題.(填“真”或“假”)

17.(2020浙江杭州中考)如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)B，F(xiàn).若∠E=30°，∠EFC=130°，則∠A=.

18.(2022安徽亳州利辛期中)如圖，三角形ABC中，AC⊥BC，F(xiàn)是邊AC上的點(diǎn)，連接BF，作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥EF，交BF于點(diǎn)D.求證：∠1+∠2=180°.完成以下證明.證明：∵AC⊥BC(已知)，∴∠ACB=90°(垂直的定義).∵EF∥BC(已知)，∴∠AFE==90°().

∵DE⊥EF(已知)，∴∠DEF=90°(垂直的定義).∴∠AFE=∠DEF(等量代換).∴∥().

∴∠2=∠EDF().又∵∠EDF+∠1=180°(鄰補(bǔ)角互補(bǔ))，∴∠1+∠2=180°(等量代換).19.(2022安徽安慶石化一中期中)如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE、CD相交于點(diǎn)O.(1)若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度數(shù)；(2)試猜想∠BOC與∠A+∠B+∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.素養(yǎng)探究全練20.概念學(xué)習(xí)：已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn).理解應(yīng)用：(1)判斷以下兩個(gè)命題是不是真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線(xiàn)上寫(xiě)“真命題”；若不是真命題，則寫(xiě)“假命題”.①內(nèi)角分別為30°、60°、90°的三角形存在等角點(diǎn)，；

②任意的三角形都存在等角點(diǎn)，.

(2)如圖a，點(diǎn)P是銳角△ABC的等角點(diǎn)，若∠BAC=∠PBC，探究圖a中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.解決問(wèn)題：(3)如圖b，在△ABC中，∠BAC<∠ABC<∠ACB，若△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn)，求△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù). 圖a 圖b21.△ABC中，∠C=80°，點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.(1)若點(diǎn)P在邊AB上，且∠α=50°，如圖1，則∠1+∠2=；

(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?猜想并說(shuō)明理由.

第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2命題與證明答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D選項(xiàng)A，是問(wèn)句，未做判斷，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，是祈使句，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，是描述性語(yǔ)句，未做判斷，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，符合命題的概念，故本選項(xiàng)正確.2.D選項(xiàng)A，∵40°角，40°角是銳角，40°+40°=80°，80°角也是銳角，∴兩個(gè)銳角之和一定為鈍角是假命題；選項(xiàng)B，相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，故是假命題；選項(xiàng)C，兩直線(xiàn)平行，同位角相等，故是假命題；選項(xiàng)D，垂線(xiàn)段最短，是真命題.3.解析(1)改寫(xiě)成：如果幾個(gè)角是直角，那么這幾個(gè)角相等.這里的條件是“幾個(gè)角是直角”，結(jié)論是“這幾個(gè)角相等”.(2)改寫(xiě)成：如果一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是5，那么該整數(shù)能被5整除.這里的條件是“一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是5”，結(jié)論是“該整數(shù)能被5整除”.(3)改寫(xiě)成：如果一個(gè)圖形是三角形，那么它的內(nèi)角和是180°.這里的條件是“一個(gè)圖形是三角形”，結(jié)論是“它的內(nèi)角和是180°”.(4)改寫(xiě)成：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等.這里的條件是“兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角”，結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”.(5)改寫(xiě)成：如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角不是對(duì)頂角.這里的條件是“兩個(gè)角不相等”，結(jié)論是“這兩個(gè)角不是對(duì)頂角”.4.答案如果b-a<0，那么a>b解析命題“如果a>b，那么b-a<0”的逆命題是“如果b-a<0，那么a>b”.5.A選項(xiàng)A，滿(mǎn)足條件，不滿(mǎn)足結(jié)論，故本選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)B，不滿(mǎn)足條件，也不滿(mǎn)足結(jié)論，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)C，滿(mǎn)足條件∠1+∠2=90°，也滿(mǎn)足結(jié)論∠1≠∠2，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)D，不滿(mǎn)足條件，也不滿(mǎn)足結(jié)論，故本選項(xiàng)不符合題意.6.解析(1)20.(2)猜想：∠EAD=12(∠C-∠理由：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-∠C.∵AE平分∠BAC，∠BAC=180°-∠B-∠C，∴∠EAC=12∠BAC=90°-12∠B-1∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-12∠B-12∠C-(90°-∠C)=12(∠(3)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于H.∵AH⊥CD，F(xiàn)D⊥CD，∴AH∥DF，∴∠F=∠EAH，由(2)可知∠EAH=12(∠ABC-∠C)，∴∠F=12(∠ABC-∠C)=故填30.7.C如圖，∵直尺的上、下兩邊平行，∠2=50°，∴∠4=∠2=50°.∵∠4=∠1+∠3，∠1=30°，∴∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°.8.D設(shè)∠1=∠2=x，∴∠3=∠4=∠1+∠2=2x.∵∠DAC+∠3+∠4=180°，∴∠DAC=180°-4x.∵∠BAC=108°，∴x+180°-4x=108°，∴x=24°，∴∠DAC=180°-4×24°=84°.9.答案75°解析如圖，易知∠DMC=30°，∴∠AMF=30°，∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°.10.答案三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；∠EFC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行能力提升全練11.A-2的絕對(duì)值是2，故選項(xiàng)A是假命題，符合題意；對(duì)頂角相等，故選項(xiàng)B是真命題，不符合題意；三角形的內(nèi)角和是180°，故選項(xiàng)C是真命題，不符合題意；如果直線(xiàn)a∥c，b∥c，那么直線(xiàn)a∥b，故選項(xiàng)D是真命題，不符合題意.12.CC選項(xiàng)中∠α、∠β都為銳角且∠α+∠β>90°，可以證明題中的命題為假命題.13.B兩條平行直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，所以①是假命題；如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2，所以②是真命題；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，所以③是真命題；若a2=b2，則a=±b，所以④是假命題.故真命題有2個(gè).14.D根據(jù)鈍角三角形的三條高線(xiàn)所在直線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形的外部，可知選項(xiàng)D符合題意.15.D命題①，如果a>b，ab>0，那么1a<1∵a>b，∴a-b>0，又∵ab>0，∴a?bab>0，整理得1a<命題②，如果a>b，1a<1∵1a<1b，∴1a-1命題③，如果ab>0，1a<1∵1a<1b，∴1a-1∴b<a.∴命題③是真命題.綜上，真命題的個(gè)數(shù)為3.16.答案真解析設(shè)兩個(gè)連續(xù)整數(shù)分別為n，n+1，(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1.∵2n+1是奇數(shù)，∴命題“兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)”是真命題.17.答案20°解析∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC=180°，∴∠ABF=180°-∠EFC=50°，∵∠ABF=∠A+∠E，∠E=30°，∴∠A=20°.18.答案∠ACB；兩直線(xiàn)平行，同位角相等；DE；AC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等19.解析(1)∵∠A=50°，∠C=30°，∴∠BDO=∠A+∠C=80°.∵∠BOD=70°，∴∠B=180°-∠BDO-∠BOD=30°.(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C.理由：∵∠BEC=∠A+∠B，∴∠BOC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.素養(yǎng)探究全練20.解析(1)①真命題.②假命題.(2)∠BPC=∠ABC+∠ACP.理由：易得∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP.(3)∵P為△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，∵P為△ABC的等角點(diǎn)，∠BAC<∠ABC<∠ACB，∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC=2∠PBC，∴∠BCP=2∠BAC，∴∠ACB=2∠BCP=4∠BAC.又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC=180°，∴∠BAC=1807