第09講 統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（2022-2024高考真題）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第09講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項(xiàng)選擇題1．（2024·全國(guó)·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間【解題思路】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.【解答過(guò)程】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,6+12+18=36<50,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34所以低于1100kg的稻田占比為100?34對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200?900=300，最小為1150?950=200，故C正確；對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為1100故選；C.2．（2024·天津·高考真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（

）A． B．C． D．【解題思路】由點(diǎn)的分布特征可直接判斷【解答過(guò)程】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，r值相比于其他3圖更接近1.故選：A.3．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（

）A．氣候溫度高，海水表層溫度就高B．氣候溫度高，海水表層溫度就低C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)【解題思路】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于AB，當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯(cuò)誤.對(duì)于CD，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時(shí)，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥(niǎo)，《詩(shī)經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚(yú)躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量.通過(guò)隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度（單位：cm），繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=0.8642，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501x+0.6105，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（

A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)C．花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為5.8612D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642【解題思路】根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)及經(jīng)驗(yàn)回歸方程可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項(xiàng).【解答過(guò)程】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，把x=7代入y=0.7501x+0.6105可得y由于r=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來(lái)一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642，D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C.5．（2022·天津·高考真題）將1916到2015年的全球年平均氣溫（單位：°C），共100個(gè)數(shù)據(jù)，分成6組：[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有（A．22年 B．23年 C．25年 D．35年【解題思路】由頻率分布直方圖可得所求區(qū)間的頻率，進(jìn)而可以求得結(jié)果.【解答過(guò)程】全球年平均氣溫在區(qū)間[14.55,14.75]內(nèi)的頻率為0.50+0.65×0.2=0.23則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有100×0.23=23年.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題6．（2023·全國(guó)·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,???,x6A．x2,xB．x2,xC．x2,xD．x2,x【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)x2,x3,x4則n?m=x因?yàn)闆](méi)有確定2x1+例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2；例如1,2,2,2,2,2，可得m=2,n=11對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)x1可知x2,x3,對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閤1是最小值，x則x2,x3,x4例如：2,4,6,8,10,12，則平均數(shù)n=1標(biāo)準(zhǔn)差s14,6,8,10，則平均數(shù)m=1標(biāo)準(zhǔn)差s2顯然1053>5對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)x1則x6?x故選：BD.三、解答題7．（2024·上海·高考真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）(3)是否有95%（附：χ2=n(ad?bc)2【解題思路】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比179+43+28580則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000×25（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為15800.52則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí).（3）由題列聯(lián)表如下：1,2其他合計(jì)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580提出零假設(shè)H0其中α=0.05．χ2則零假設(shè)不成立，即有95%8．（2024·全國(guó)·高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5，設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果p>p+1.65p(1?p)n附：KP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解題思路】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算K2（2）用頻率估計(jì)概率可得p=0.64，根據(jù)題意計(jì)算p+1.65【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030可得K2因?yàn)?.841<4.6875<6.635，所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有99（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為96150用頻率估計(jì)概率可得p=0.64又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5，則p+1.65p可知p>p+1.65所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.9．（2023·全國(guó)·高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，y試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率x545533551522575544541568596548伸縮率y536527543530560533522550576536記zi=xi?yi(1)求z，s2(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥2【解題思路】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出x,y，再得到所有的（2）根據(jù)公式計(jì)算出2s210【解答過(guò)程】（1）x=y=z=zi=x故s（2）由（1）知:z=11，2s2所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.10．（2023·全國(guó)·高考真題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率pc=0.5％時(shí)，求臨界值c和誤診率(2)設(shè)函數(shù)fc=pc+qc，當(dāng)c∈95,105時(shí)，求【解題思路】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出c，再根據(jù)第二個(gè)圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100，即可得出fc【解答過(guò)程】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5×0.002>0.5%，所以95<c<100所以c?95×0.002=0.5%，解得：qc（2）當(dāng)c∈[95,100]時(shí)，f(c)=p(c)+q(c)=(c?95)×0.002+(100?c)×0.01+5×0.002=?0.008c+0.82≥0.02；當(dāng)c∈(100,105]時(shí)，f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c?100)×0.012+(105?c)×0.002=0.01c?0.98>0.02,故f(c)=?0.008c+0.82,95≤c≤100所以fc在區(qū)間95,105的最小值為0.0211．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表<m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2P0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【解題思路】（1）直接根據(jù)均值定義求解；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【解答過(guò)程】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：1+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為18.8，后續(xù)依次為19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,?，故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m=23.2+23.6故列聯(lián)表為：<m≥m合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，K2所以能有95%12．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：<m≥m對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：Kk0.1000.0500.010P2.7063.8416.635【解題思路】（1）利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【解答過(guò)程】（1）依題意，X的可能取值為0,1,2，則P(X=0)=C20C38所以X的分布列為：X012P192019故E(X)=0×19（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m=23.2+23.6故列聯(lián)表為：<m≥m合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，K2所以能有95%13．（2022·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：K2P0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【解題思路】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算K2【解答過(guò)程】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則P(M)=240B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則P(N)=210A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為1213B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為78（2）列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500K=500×(240×30?210×20)根據(jù)臨界值表可知，有90%14．（2022·全國(guó)·高考真題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積x0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得i=110(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為186m2附：相關(guān)系數(shù)r=i=1【解題思路】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；（3）依據(jù)樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)