第06講 數(shù)列（2022-2024高考真題）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第06講數(shù)列（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項(xiàng)選擇題1．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S9=1，則A．?2 B．73 C．1 D．【解題思路】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成a1和d【解答過程】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由S9=1，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，又a3故選：D.方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+aS9=9(故選：D.方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差d=0，則S9=1=9a故選：D.2．（2024·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S5=S10，A．72 B．73 C．?1【解題思路】由S5=S10結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得【解答過程】由S10?S則等差數(shù)列an的公差d=a8故選：B.3．（2023·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若a2+aA．25 B．22 C．20 D．15【解題思路】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列an的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前n方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列an的公差，再根據(jù)前n【解答過程】方法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為aa2+a又a4a8所以S5故選：C.方法二：a2+a6=2a4從而d=a8?所以S5故選：C.4．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15【解題思路】根據(jù)題意列出關(guān)于q的方程,計(jì)算出q,即可求出S4【解答過程】由題知1+q+q即q3+q4=4q+4由題知q>0,所以q=2.所以S4故選:C.5．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列an的公差為2π3，集合S=cosann∈NA．－1 B．?12 C．0 【解題思路】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.【解答過程】依題意，等差數(shù)列{an}顯然函數(shù)y=cos[2π3n+(a則在cosa1,cosa2于是有cosθ=cos(θ+即有θ+(θ+2π3或者θ+(θ+4π3)=2k所以k∈Z，ab=cos(k故選：B.6．（2023·全國·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：an為等差數(shù)列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【解答過程】方法1，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為則Sn因此{(lán)S反之，乙：{Snn}為等差數(shù)列，即即nan+1?Sn兩式相減得：an=nan+1?(n?1)因此an所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1，公差為d則Snn=反之，乙：{Snn即Sn=nS當(dāng)n≥2時(shí)，上兩式相減得：Sn?S于是an=a因此an所以甲是乙的充要條件.故選：C.7．（2023·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S4=?5，S6A．120 B．85 C．?85 D．?120【解題思路】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)S4方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【解答過程】方法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，首項(xiàng)為a若q=?1，則S4=0≠?5，與題意不符，所以若q=1，則S6=6a由S4=?5，S6=21S由①可得，1+q2+所以S8=故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)镾4=?5，S6=21S從而，S2所以有，?5?S22=S當(dāng)S2=?1時(shí)，S2易知，S8+21=?64，即當(dāng)S2=5與S4故選：C．8．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列an的前3項(xiàng)和為168，a2?a5A．14 B．12 C．6 D．3【解題思路】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q≠0，易得q≠1【解答過程】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q≠0若q=1，則a2所以q≠1，則a1+a所以a6故選：D.9．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列bn：b1=1+1α1，b2A．b1<b5 B．b3<【解題思路】根據(jù)αk∈N?k=1,2,…，再利用數(shù)列b【解答過程】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)棣羕所以α1<α1+同理α1+1α又因?yàn)?α2>故b2<b以此類推，可得b1>bb31α2>α1+1[方法二]：特值法不妨設(shè)an=1,b4<故選：D.10．（2022·北京·高考真題）設(shè)an是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“an為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0，記x為不超過x若an為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0若a1≥0，則當(dāng)n≥2時(shí)，an>a由an=a1+n?1d>0可得n>1?所以，“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N若存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時(shí)，an>0，取k∈假設(shè)d<0，令an=ak+當(dāng)n>k?akd+1時(shí)，a所以，“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N所以，“an是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N故選：C.二、填空題11．（2024·上?！じ呖颊骖}）無窮等比數(shù)列an滿足首項(xiàng)a1>0,q>1，記In=x?yx,y∈a1,a【解題思路】當(dāng)n≥2時(shí)，不妨設(shè)x≥y，則x?y∈0,a2?a1∪an【解答過程】由題設(shè)有an=a1qn?1，因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，x,y∈a1,a2當(dāng)n≥2時(shí)，不妨設(shè)x≥y，若x,y∈a1,若y∈a1,若x,y∈an,綜上，x?y∈0,又In為閉區(qū)間等價(jià)于0,而an+1?a1>故an+1?2an+故q?2≥?1qn?2對任意的n≥2故當(dāng)n→+∞時(shí)，?1qn?2→0故答案為：q≥2.12．（2024·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+a4【解題思路】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出a1【解答過程】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，則由題意得a1+2d+則S10故答案為：95.13．（2024·北京·高考真題）設(shè)an與bn是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合①若an與bn均為等差數(shù)列，則②若an與bn均為等比數(shù)列，則③若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則④若an為遞增數(shù)列，bn為遞減數(shù)列，則其中正確結(jié)論的序號是①③④.【解題思路】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【解答過程】對于①，因?yàn)閍n而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故M中至多一個(gè)元素，故①正確.對于②，取an=2但當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有an=2對于③，設(shè)bn=Aq若M中至少四個(gè)元素，則關(guān)于n的方程Aq若q>0,q≠1，則由y=Aqn和y=kn+b的散點(diǎn)圖可得關(guān)于n的方程若q<0,q≠±1，考慮關(guān)于n的方程Aq當(dāng)Aqn=kn+b方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)Akln否則Aklnq<0方程Aq當(dāng)Aqn=kn+b方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)?Aklnq否則Aklnq>0方程Aq因?yàn)锳klnq>0故Aqn=kn+b對于④，因?yàn)閍n為遞增數(shù)列，b后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④.14．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列an，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且a1=1,a5=12,a9=192，則a7【解題思路】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解d,q，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求a7【解答過程】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為d，后7項(xiàng)公比為q>0，則q4=a9a則a3=1+2d=a5q空1：可得a3空2：a方法二：空1：因?yàn)閍n,3≤n≤7為等比數(shù)列，則且an>0，所以又因?yàn)閍52=空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為q>0，則q2=a可得a1+a故答案為：48；384.15．（2023·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若8S6=7S3【解題思路】先分析q≠1，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和平方差公式化簡即可求出公比q.【解答過程】若q=1，則由8S6=7S3所以q≠1.當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)?S所以8?a即8?1?q6=7?1?解得q=?1故答案為：?116．（2023·全國·高考真題）已知an為等比數(shù)列，a2a4a5=a【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列公式對a2a4a5=a3a【解答過程】設(shè)an的公比為qq≠0，則a2則a4=q2，即a1q3則q15=q53故答案為：?2.17．（2022·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若2S3=3S【解題思路】轉(zhuǎn)化條件為2a【解答過程】由2S3=3S2即2a1+2故答案為：2.18．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足①an的第2項(xiàng)小于3；

②a③an為遞減數(shù)列；

④an中存在小于其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【解題思路】推導(dǎo)出an=9an【解答過程】由題意可知，?n∈N?，當(dāng)n=1時(shí)，a12=9當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=9an所以，9an?1=9a因?yàn)閍2>0，解得假設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則a22所以，S22=S1故數(shù)列an當(dāng)n≥2時(shí)，an=9an假設(shè)對任意的n∈N?，an所以，a100000故答案為：①③④.三、解答題19．（2024·全國·高考真題）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)求數(shù)列Sn的前n【解題思路】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求Sn【解答過程】（1）因?yàn)?Sn=3所以2an=3an+1故2a1=3a2（2）由等比數(shù)列求和公式得Sn所以數(shù)列Sn的前nT=320．（2024·全國·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)設(shè)bn=(?1)n?1nan【解題思路】（1）利用退位法可求an（2）利用錯(cuò)位相減法可求Tn【解答過程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，4S1=4當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn?1=3an?1而a1=4≠0，故an∴數(shù)列an是以4為首項(xiàng)，?3所以an（2）bn所以Tn=故3所以?2=4+4?31?=(2?4n)?3∴T21．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前n項(xiàng)和為Sn．若(1)求數(shù)列an前n項(xiàng)和S(2)設(shè)bn=k,n=（ⅰ）當(dāng)k≥2,n=ak+1時(shí)，求證：（ⅱ）求i=1S【解題思路】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q>0，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求q（2）①根據(jù)題意分析可知ak=2k?1,【解答過程】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q>0因?yàn)閍1=1,S可得1+q=q2?1，整理得q2?q?2=0所以Sn（2）（i）由（1）可知an=2當(dāng)n=ak+1=2可知akbn?1可得bn?1當(dāng)且僅當(dāng)k=2時(shí)，等號成立，所以bn?1（ii）由（1）可知：Sn若n=1，則S1若n≥2，則ak+1當(dāng)2k?1<i≤2k?1可得i=2所以i=1S且n=1，符合上式，綜上所述：i=1S22．（2024·全國·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和(1)寫出所有的i,j，1≤i<j≤6，使數(shù)列a1,a(2)當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1,a(3)從1,2,...,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和ji<j，記數(shù)列a1,a2【解題思路】（1）直接根據(jù)i,j?（2）根據(jù)i,j?（3）證明使得原數(shù)列是i,j?可分?jǐn)?shù)列的i,j至少有m+1【解答過程】（1）首先，我們設(shè)數(shù)列a1,a2,由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝍′得到新數(shù)列a′k=k換言之，我們可以不妨設(shè)ak回到原題，第1小問相當(dāng)于從1,2,3,4,5,6中取出兩個(gè)數(shù)i和ji<j那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的i,j就是1,2,（2）由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出2和13后，剩余的4m個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共①1,4,7,10,3,6,9,12,②15,16,17,18,19,20,21,22,（如果m?3=0，則忽略②）故數(shù)列1,2,...,4m+2是（3）定義集合A=4k+1k=0,1,2,...下面證明，對1≤i<j≤4m+2，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列1,2,...,4m+2一定是命題1：i∈A,j∈B或i∈B,j∈A；命題2：j?i≠3.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況：如果i∈A,j∈B，且j?i≠3.此時(shí)設(shè)i=4k1+1，j=4則由i<j可知4k1+1<4k2此時(shí)，由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出i=4k剩余的4m個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共m組，使得每組成等差數(shù)列：①1,2,3,4,5,6,7,8,②4k1+2,4③4k2+3,4（如果某一部分的組數(shù)為0，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列1,2,...,4m+2是第二種情況：如果i∈B,j∈A，且j?i≠3.此時(shí)設(shè)i=4k1+2，j=4則由i<j可知4k1+2<4k2由于j?i≠3，故4k2+1?4此時(shí)，由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+2和j=4①1,2,3,4,5,6,7,8,②4k1+1,3k1③全體4k1+p,3k1④4k2+3,4（如果某一部分的組數(shù)為0，則忽略之）這里對②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含k2?k1?24k1+3,4k1+4,...可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們再取并以后，將取遍4k1+1,4k1+2,...,4k2+2而這十個(gè)數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的4k1+2這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時(shí)數(shù)列1,2,...,4m+2是至此，我們證明了：對1≤i<j≤4m+2，如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列1,2,...,4m+2一定是然后我們來考慮這樣的i,j的個(gè)數(shù).首先，由于A∩B=?，A和B各有m+1個(gè)元素，故滿足命題1的i,j總共有m+12而如果j?i=3，假設(shè)i∈A,j∈B，則可設(shè)i=4k1+1，j=4但這導(dǎo)致k2?k設(shè)i=4k1+2，j=4k2+1，所以可能的k1,k2恰好就是0,1,1,2,所以這m+12個(gè)滿足命題1的i,j中，不滿足命題2的恰好有m這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的i,j的個(gè)數(shù)為m+12當(dāng)我們從1,2,...,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和ji<j而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列a1,a2,...,所以數(shù)列a1,a2,Pm這就證明了結(jié)論.23．（2023·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和T【解題思路】（1）根據(jù)題意列式求解a1（2）先求Sn，討論an的符號去絕對值，結(jié)合【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得a2=a1+d=11所以an（2）因?yàn)镾n令an=15?2n>0，解得n<15當(dāng)n≤7時(shí)，則an>0，可得當(dāng)n≥8時(shí)，則an<0=S綜上所述：Tn24．（2023·全國·高考真題）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)求數(shù)列an+12n的前n【解題思路】（1）根據(jù)an（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【解答過程】（1）因?yàn)?S當(dāng)n=1時(shí)，2a1=當(dāng)n=3時(shí)，21+a3當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1=化簡得：n?2an=n?1an?1，當(dāng)當(dāng)n=1,2時(shí)都滿足上式，所以an（2）因?yàn)閍n+12n12兩式相減得，12=1?1+n21225．（2023·天津·高考真題）已知an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項(xiàng)公式和i=(2)設(shè)bn是等比數(shù)列，且對任意的k∈N*，當(dāng)2（Ⅰ）當(dāng)k≥2時(shí)，求證：2k（Ⅱ）求bn的通項(xiàng)公式及前n【解題思路】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)2k?1≤n≤2取n=2k?1，當(dāng)2k?2≤n≤2(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算其前n項(xiàng)和.【解答過程】（1）由題意可得a2+a則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a求和得i==2=2（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)2k?1≤n≤2取n=2k?1，則bk當(dāng)2k?2≤n≤2取n=2k?1?1據(jù)此可得2k綜上可得：2k(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k?1<則數(shù)列bn的公比q滿足2當(dāng)k∈N*,k→+∞時(shí)，所以2k?1<b當(dāng)k∈N*,k→+∞時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn其前n項(xiàng)和為：Sn26．（2023·全國·高考真題）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d>1．令bn=n2+na(1)若3a2=3(2)若bn為等差數(shù)列，且S99?【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由{bn}為等差數(shù)列得出a1=d【解答過程】（1）∵3a2=3a1∴S又T3∴S即2d2?7d+3=0，解得d=3∴a（2）∵{b∴2b2=∴6(1a2?1a3∵d>1，∴a又S99?T99=99∴a50?2550a50=1當(dāng)a1=2d時(shí)，a50=a當(dāng)a1=d時(shí)，a50綜上，d=5127．（2023·全國·高考真題）已知an為等差數(shù)列，bn=an?6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記Sn(1)求an(2)證明：當(dāng)n>5時(shí)，Tn【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，用a1,d表示S（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出Tn，并與Sn作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶借助等差數(shù)列前【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，而b則b1于是S4=4a1+6d=32所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a（2）方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn?1Tn當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S所以當(dāng)n>5時(shí)，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若n≥3，則T=32n2+52當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S所以當(dāng)n>5時(shí)，Tn28．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列an,bn的項(xiàng)數(shù)均為m(m>2)，且an,bn∈{1,2,?,m},an,bn的前n項(xiàng)和分別為(1)若a1=2,a(2)若a1≥b1，且(3)證明：存在p,q,s,t∈0,1,2,?,m，滿足p>q,s>t,使得A【解題思路】（1）先求A0（2）根據(jù)題意題意分析可得ri+1?r（3）討論Am【解答過程】（1）由題意可知：A0當(dāng)k=0時(shí)，則B0=A當(dāng)k=1時(shí)，則B0<A當(dāng)k=2時(shí)，則Bi≤A當(dāng)k=3時(shí)，則Bi≤A綜上所述：r0=0，r1=1，（2）由題意可知：rn≤m，且因?yàn)閍n≥1,bn≥1，且a所以r0又因?yàn)?ri≤ri?1可得ri+1反證：假設(shè)滿足rn+1?r當(dāng)i≥j時(shí)，則ri+1?ri≥2則rm=r又因?yàn)?≤j≤m?1，則rm假設(shè)不成立，故rn+1即數(shù)列rn是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以r（3）因?yàn)閍n,b（ⅰ）若Am=Bm，則可取t=q=0，滿足（ⅱ）若Am<B構(gòu)建Sn=Brn反證，假設(shè)存在正整數(shù)K，使得SK則BrK?這與brK+1∈1,2,???,m①若存在正整數(shù)N，使得SN=B可取t=q=0,p=N,s=r滿足p>q,s>t，使得Ap②若不存在正整數(shù)N，使得SN因?yàn)镾n∈?1,?2,???,?所以必存在1≤X<Y≤m，使得SX即BrX?可取p=Y,s=r滿足p>q,s>t，使得Ap（ⅲ）若Am定義Rk=max構(gòu)建Sn=ARn反證，假設(shè)存在正整數(shù)K,1≤K≤m，使得SK則ARK?這與aRK+1∈1,2,???,m①若存在正整數(shù)N，使得SN=A可取q=t=0,s=N,p=R即滿足p>q,s>t，使得Ap②若不存在正整數(shù)N，使得SN因?yàn)镾n∈?1,?2,???,?所以必存在1≤X<Y≤m，使得SX即ARX?可取p=R滿足p>q,s>t，使得Ap綜上所述：存在0≤q<p≤m,0≤t<s≤m使得Ap29．（2022·天津·高考真題）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且(1)求an與b(2)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：(3)求k=12n【解題思路】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得[a2k?【解答過程】（1）設(shè){an}公差為d，{bn由a2?b2=所以an（2）證明：因?yàn)閎n+1=2b即證(Sn+1+即證an+1而an+1=S（3）因?yàn)閇=(4k?1+4k?3)×2所以k=12n[=k=1設(shè)T所以Tn則4T作差得?3=(2?6n)所以Tn所以k=12n[a30．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=?1，公差d>1．記a