2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽市五校高一6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽市五校高一6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2．設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再求其虛部即可【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3．用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為cm2，則原平面圖形的面積為()A．4cm2 B．cm2 C．8cm2 D．cm2【答案】C【詳解】分析：由題意結(jié)合斜二測(cè)畫法的法則整理計(jì)算即可求得原圖形的面積.詳解：設(shè)斜二測(cè)畫法中梯形的上底為長度，下底長度為，，則梯形的面積為：，則，原平面圖形是一個(gè)梯形，且上底為長度，下底長度為，高為，其面積為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查斜二測(cè)畫法，梯形的面積公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4．若圓的半徑為4，a、b、c為圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為()A．2 B．8 C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由正弦定理可知，∴，∴．【解析】正弦定理的運(yùn)用．5．已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，根據(jù)其表面積為，得到，再由它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，得到，聯(lián)立求得半徑和高，利用體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，因?yàn)槠浔砻娣e為，所以，即，又因?yàn)樗膫?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的表面積和體積的計(jì)算以及側(cè)面展開圖問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（）A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80°【答案】D【分析】題目考察簡(jiǎn)單的方位問題，要求燈塔A在燈塔B的方位，則在B處建立方位線，如圖中的兩條虛線所示，則求出即可【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，∴燈塔A在燈塔B的南偏西故選：D7．直三棱柱，，，，分別為2，3，4，則它的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合直三棱柱的特點(diǎn)，底面為直角三角形，則側(cè)面的對(duì)角線為外接球的直徑，即可求出球的半徑，得到表面積.【詳解】根據(jù)題意可知，直三棱柱底面為直角三角形，斜邊為BC，則側(cè)面的對(duì)角線為外接球的直徑，，則半徑為，外接球表面積為.故選：B8．已知，將的圖象向右平移了個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的圖象，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則A． B．1 C． D．0【答案】B【詳解】化簡(jiǎn)，將的圖象向右平移了個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到，所以，又對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則關(guān)于對(duì)稱，所以為平衡位置處，所以1.二、多選題9．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，若，且，則（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)得，再根據(jù)正弦定理，化簡(jiǎn)變形，求角.【詳解】由條件可知，，即，，所以，因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理可知，，即，因?yàn)椋?，，即，所以?故選：ACD10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若實(shí)數(shù)使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則一定有【答案】ACD【分析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】,故函數(shù)的最小正周期為,故正確;當(dāng)時(shí),故錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),故正確;當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解則一定有,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期性、奇偶性和對(duì)稱性，難度一般.11．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．在向量上的投影為【答案】AB【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】圖2中的正八邊形，其中，對(duì)于；故正確．對(duì)于，故正確．對(duì)于，，但對(duì)應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立．故錯(cuò)誤．對(duì)于在向量上的投影，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．12．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，給出下列命題，其中正確的命題為（）A．若，則；B．若，則滿足條件的有兩個(gè)；C．若，則是鈍角三角形；D．存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【分析】A.利用正弦定理判斷該選項(xiàng)正確；B.由于，因此滿足條件的有兩個(gè)，所以該選項(xiàng)正確；C.可以證明，是鈍角三角形，所以該選項(xiàng)正確；D.可以證明，所以該選項(xiàng)不正確.【詳解】A.若，，由正弦定理可得：，則，所以該選項(xiàng)正確；B.若，，，則，因此滿足條件的有兩個(gè)，所以該選項(xiàng)正確；C.若，則，，，，是鈍角三角形，所以該選項(xiàng)正確；D.由于當(dāng)時(shí)，，，所以該選項(xiàng)不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是靈活利用和角的正切公式，只有靈活運(yùn)用該公式才能簡(jiǎn)潔高效地判斷后面兩個(gè)選項(xiàng)的真假.三、填空題13．若向量與的夾角為，則__________.【答案】【分析】先將平方，根據(jù)向量的夾角和模長計(jì)算出結(jié)果，再通過開根號(hào)求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知求解的步驟：（1）先計(jì)算，結(jié)合計(jì)算出結(jié)果；（2）將的結(jié)果開根號(hào)即為的值.14．已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為1和2，其側(cè)面積恰等于兩底面積之和，則該正四棱臺(tái)的高為___________．【答案】.【分析】利用棱臺(tái)的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，即可求出．【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的高、斜高分別為h，x．所以，解得．再根據(jù)棱臺(tái)的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，可得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．【答案】32【分析】根據(jù)面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式1的代換進(jìn)行求解即可．【詳解】如圖所示，則△ABC的面積為，即ac=2a+2c，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即3c=a時(shí)取等號(hào)；∴的最小值為32.故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，屬于中等題.四、雙空題16．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．如圖，現(xiàn)在一塹堵，，，則線段的長度為______；點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則的周長的最小值為______．【答案】3【分析】利用勾股定理可求的長度，把側(cè)面展開，利用側(cè)面展開圖可求的周長的最小值.【詳解】由塹堵的定義可知，所以，所以．，所以最小時(shí)，的周長最小，將面與面展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖：連接，與的交點(diǎn)即為，則此時(shí)最小，此時(shí)，所以，所以周長的最小值為．故答案為：.五、解答題17．設(shè)復(fù)數(shù)問當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)：(1)是純虛數(shù)；(2)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限.【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的定義,得到等式和不等式,這樣可以求出實(shí)數(shù)的值；(2)根據(jù)復(fù)平面第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征,列出不等式組,解不等式組即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)純虛數(shù),所以；(2)因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限,所以【點(diǎn)睛】本題考查了純虛數(shù)的定義,考查了根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的位置求參數(shù)問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18．如圖，在棱長為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）【分析】（1）三棱錐中是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，計(jì)算四個(gè)三角形面積之和即可求解.（2）正方體的體積減去三棱錐的體積即得剩余的幾何體的體積.【詳解】（1）由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，所以截去的三棱錐的表面積（2）正方體的體積為，三棱錐的體積為，所以剩余的幾何體的體積為.19．在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，，.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求邊的長：（Ⅲ）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)求出正切即可求解；（Ⅱ）由余弦定理直接計(jì)算即可；（Ⅲ）由二倍角的正余弦公式及兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得：，即，又所以（Ⅱ）由余弦定理得：，所以（Ⅲ）由余弦定理得：，所以，所以所?0．在四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，先由余弦定理解得，在中，由正弦定理得解得；（2）設(shè)，因?yàn)?，解得，從而利用和差角公式求得，在中，由正弦定理解得，利用面積公式分別求出和，即可求得四邊形的面積.【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，即，解得.（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，解?所以，，∴四邊形的面積為.21．在銳角三角形中，，，分別是角，，的對(duì)邊，，且．（1）求的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）根據(jù)正弦的和角公式化簡(jiǎn)得，再由正弦定理可求得答案．（2）由正弦定理得，再根據(jù)角的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以．（2）由正弦定理得，，，，因?yàn)樗裕?，所以，故的最大?．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件；（2）如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件；（3）如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.（4）與三角形有關(guān)的最值問題，我們可以利用基本不等式來求最值或利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)式，再利用三角變換和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)求最值或范圍.22．已知向量，，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）已知在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且滿足，的外接圓半徑為，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,求得函數(shù)的解析式,再由降冪公式及輔助角公式化簡(jiǎn),即可求得的最大值;（2）根據(jù),代入后結(jié)合正弦和角公式及正弦定理展開化簡(jiǎn),即可求得角.結(jié)合正弦定理,將邊轉(zhuǎn)化為角的表達(dá)式,結(jié)合三角形面積公式,即可