2020-2021學年天津市南開中學高一下學期3月月考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年天津市南開中學高一下學期3月月考數(shù)學試題一、單選題1．下列命題中，正確命題的個數(shù)是（）①單位向量都共線；②長度相等的向量都相等；③共線的單位向量必相等；④與非零向量共線的單位向量是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷命題①②③都錯誤，與非零向量共線的單位向量是，從而判斷命題④正確，這樣即可得出正確的選項．【詳解】解：向量既有大小也有方向，單位向量的方向不相同或相反便不共線，命題①錯誤；長度相等而方向不同的向量不相等，命題②錯誤；共線的單位向量方向不相同的也不相等，命題③錯誤；與非零向量共線的單位向量是：，命題④正確．故選：．2．下列各式不能化簡為的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量加減法法則計算可得．【詳解】，，，因為，，所以.故選：D.3．已知滿足(其中是常數(shù))，則的形狀一定是A．正三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】C【詳解】分析：由題意結合向量的運算法則和平面幾何的結論確定△ABC的形狀即可.詳解：如圖所示，在邊(或取延長線)上取點，使得，在邊(或取延長線)上取點，使得，由題意結合平面向量的運算法則可知：，，而，據(jù)此可得：，從而：，結合平面幾何知識可知：，而，故.即△ABC為等腰三角形.本題選擇C選項.點睛：用平面向量解決平面幾何問題時，有兩種方法：基向量法和坐標系法，利用基向量的時候需要針對具體的題目選擇合適的基向量，建立平面直角坐標系時一般利用已知的垂直關系，或使較多的點落在坐標軸上，這樣便于迅速解題．4．已知向量，不共線，且向量與的方向相反，則實數(shù)的值為A．1 B． C．1或 D．-1或【答案】B【分析】根據(jù)題意，得出且，化簡后得出，，即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：由題可知，，不共線，且向量與的方向相反，則，即，則，即，解得：或（舍去）.即實數(shù)的值為.故選：B.【點睛】本題考查平面向量共線的定理的應用，屬于基礎題.5．在三角形中，是邊的中點，點在邊上且，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的減法進行計算可得答案．【詳解】，故選：A6．與的夾角為，與的夾角為，若，則（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】將沿與方向進行分解，易得，再在中，，代入相關值即可得到答案.【詳解】將沿與方向進行分解，延長、至、，以、為鄰邊、為對角線畫出平行四邊形，如圖，由平行四邊形法則有，且，所以，，又，，在中，，即.故選：D【點睛】本題考查平面向量的基本定理的應用，關鍵點是數(shù)形結合得到，考查了學生的計算能力.7．所在平面內一點滿足，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用作為基底表示出.即可求得，由余弦二倍角公式即可求得.【詳解】所在平面內一點，所以因為所以由余弦二倍角公式可得故選：C【點睛】本題考查了平面向量基本定理的應用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的簡單應用，屬于基礎題.8．已知點是所在平面內的一定點，是平面內一動點，若，則點的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．內心 D．外心【答案】A【分析】設D是BC的中點，由，，知，所以點P的軌跡是射線AD，故點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．【詳解】如圖，設D是BC的中點，∵，，∴，即∴點P的軌跡是射線AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．故選：A．【點睛】本題考查三角形五心的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．9．已知向量，若向量，則可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量坐標線性運算及參數(shù)范圍，結合選項可得結果．【詳解】由，得，因為，所以，只有D成立；故選：D二、多選題10．如圖，在中，分別是邊上的中線，它們交于點G，則下列各等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知結合三角形的重心及向量的線性表示分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】解：由三角形重心性質得，所以，A正確；因為，B正確；由重心性質得，，C錯誤；因為，所以，即，D正確．故選：ABD．11．已知三角形，以下各式可以確定P點在線段延長線上的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先將，化簡為共線向量，利用共線向量的幾何意義，判斷選項.【詳解】，即，當時，P點在線段上，當時，P點在線段延長線上，時，P點在線段延長線上，故B正確，A不正確；當時，點在線段延長線上，此時點是的中點，故C正確；時，P點在線段延長線上，故D不正確.故選：BC12．在中，，，、的交點為，過作動直線分別交線段、于、兩點，若，，則的不可能取到的值為（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先證明結論：當為直線外一點時，、、三點共線，.計算出，設，結合，可得出，然后將與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，即可得出結論.【詳解】先證明結論：當為直線外一點時，、、三點共線，.充分性：若、、三點共線，則存在，使得，即，所以，，因為，則，充分性成立；必要性：因為且，所以，，即，所以，，所以，、、三點共線.本題中，取的中點，連接，如下圖所示：、分別為、的中點，則且，，，即，，即，，，，，、、三點共線，為直線外一點，則且.，，則，所以，，可得，由可得，由基本不等式可得.當且僅當時，等號成立.所以，的最小值為，ABC選項均不滿足.故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于以下兩點：（1）利用三點共線的結論：當為直線外一點時，、、三點共線，.利用該結論推出；（2）利用基本不等式求出的最小值.三、填空題13．已知兩點，則與向量同向的單位向量是________．【答案】【分析】可求出向量的坐標，然后代入即可求出與向量同向的單位向量的坐標．【詳解】解：因為所以，所以與向量同向的單位向量是．故答案為：．14．若是內部一點，且滿足，則與的面積比為_______.【答案】【分析】利用向量的加法運算得出，取的中點為，進而得出點為的重心，根據(jù)重心的性質即可得出答案.【詳解】取的中點為，則即，則點為的重心根據(jù)重心的性質可得，點到的距離是點到的距離的則故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)向量關系判斷三角形的重心，屬于?？碱}.15．如圖，O為直線外一點，若、、、、…、中任意相鄰兩點的距離相等，設，，用、表示________.【答案】【分析】設為線段的中點,利用平行四邊形法則求出，即可求解.【詳解】設為線段的中點，則也為線段，的中點由平行四邊形法則可知所以故答案為【點睛】本題主要考查了向量的運算性質，利用平行四邊形法則求解是解題的關鍵,屬于中檔題.16．在中，E，F(xiàn)分別為上的靠近B，C的五等分點，且滿足P為線段上的任一點，實數(shù)x，y滿足，設的面積分別為，記，則為取到最大值時，x，y的值分別為_______．【答案】2，2【分析】利用，分別為，上的靠近，的五等分點，得出，且則，再根據(jù)基本不等式以及平面向量基本定理即可求解．【詳解】解：因為，分別為，上的靠近，的五等分點，則，故點到的距離等于三角形的邊上的高的，則，所以，，由此可得，當且僅當時取等號，此時為的中點，延長交于點，則為的中點，則，所以，又，所以，故當取得最大值時，，的值分別為2，2．，故答案為：2，2．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵為利用五等分點找出面積直接的關系，從而將面積轉化為，之后就可以利用基本不等式求解即可.四、解答題17．已知，（1）若，求x的值（2）若，求x的值【答案】（1）；（2）或4．【分析】（1）先表示的坐標，然后結合向量相等的條件可求；（2）由已知結合向量平行的坐標表示即可直接求解．【詳解】解：（1）因為所以，因為所以有，解得（2）因為，，所以即可，解得或4．18．中，點．（1）若四邊形為平行四邊形，求D點坐標．（2）若D在線段上，且，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設出點，然后由，列出方程組即可求解；（2）根據(jù)得到，進而根據(jù)平面向量的運算法則，得到，結合點的坐標表示出，然后根據(jù)模長的坐標運算公式即可求解.【詳解】（1）設，所以，由可得，即，解得，故；（2）因為，所以，則，又由，所以.19．已知向量．（1）寫出平面向量基本原理的內容，并由此說明能否成為一組基底；（2）若對于任意非0實數(shù)t，與均不共線，求實數(shù)k的取值．【答案】（1）定理見解析，可以成為一組基底；（2）【分析】（1）寫出平面向量基本定理的內容，然后依次即可判斷向量，是否可以成為一組基底；（2）先假設向量，共線，然后建立等式關系，若不共線，問題轉化為對任意非0實數(shù)都無解，結合函數(shù)的性質即可判斷．【詳解】解：（1）平面向量基本定理的內容：如果、是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任一，有且僅有一對實數(shù)、，使．因為向量，，所以不共線，所以可以成為一組基底；（2）因為所以假設所以則，因為即，因為向量，不共線，則對任意非0實數(shù)，都無解，即與無交點，因為在上單調遞增，所以當時，，所以不存在使得，即20．在平行四邊形中，為的中點，.（1）設用表示和；（2）求實數(shù)的值，使得與共線.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用向量的加法和數(shù)乘運算計算；（2）將和都用向量表示出來，再根據(jù)向量共線定理列方程求解.【詳解】（1）；（2），，與共線，存在使得，即，又不共線，，解得.【點睛】本題考查向量的線性運算，考查向量共線定理的應用，是基礎題.21．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量，點．（1）若，求的最小值；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域．【答案】（1）；（2）當時的值域為,時的值域為．【分析】（1）根據(jù)已知條件先求出，然后根據(jù)坐標運算求向量的模長公式得到，即可求出最小值；（2）由向量與向量共線，常數(shù)得到，進而化簡，然后將看做整體轉化為二次函數(shù)求最值的問題，然后按照對稱軸所處區(qū)間的位置進行分類討論即可.【詳解】（1），，當時，最小值為（2），∵向量與向量共線，常數(shù)，∴，∴①當即時，當時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數(shù)的值域為．②當即時，當時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數(shù)的值域為，綜上所述：當時的值域為；時的值域為．22．如圖，在的邊上各自做勻速運動的點D，E，F(xiàn)，當時分別從點A，B，C出發(fā)，以各自的定速度向點B，C，A前進，當時分別到達點B，C，A．（1）證明：在運動過程中的重心保持不變；（2）若的面積為S，求的面積的最小值．【答案】（1）證