2020-2021學(xué)年天津市南開中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁2020-2021學(xué)年天津市南開中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．是虛數(shù)單位，（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，進行化簡即可.【詳解】，故選：A2．在中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理可得，滿足，故，由即可得解.【詳解】由，可得，所以，可得，，所以滿足，所以，所以，故選：C3．如圖，已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加法和數(shù)乘運算法則，取為基底，通過運算，即可得答案；【詳解】，，故選：B.4．設(shè)是兩條不同的直線，是平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】利用線線、線面的位置關(guān)系，舉出反例，即可得答案；【詳解】對A，有可能，故A錯誤；對B，可能異面，故B錯誤；對D，可能異面，也可能相交，故D錯誤；利用排除法可得C正確；故選：C.5．如圖是某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(單位：分)的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是：，，則分數(shù)在的人數(shù)為（）A．9 B．15 C．12 D．6【答案】A【分析】由頻率分布直方圖先求出成績在內(nèi)的頻率，由此能求出成績在內(nèi)的頻數(shù)．【詳解】解：由圖得，解得,由頻率分布直方圖得成績在內(nèi)的頻率為：成績在內(nèi)的頻數(shù)為：．故選A.6．如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，則異面直線EF與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，即為所求角，在中求解.【詳解】連結(jié)，，因為為正方形，所以既是中點，又是的中點，所以，所以與所成的角為，而為等邊三角形，所以.故選：C【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．7．在中，分別是角的對邊，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理將邊化成角，再將C化為A,B，展開化簡即可求得.【詳解】由正弦定理可得：，又∵，∴，而，∴，又，所以.故選：C.8．如圖所示，在三棱錐中，且，則下列命題正確的個數(shù)是（）①平面平面②平面平面③平面平面④平面平面⑤平面平面⑥平面平面A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意可得該幾何體中面，面，再根據(jù)平行、垂直的判定定理，即可得到答案；【詳解】，，，，平面，，，，；對①，平面平面，故①正確；對②，平面，平面平面平面，故②正確；對③，為二面角的平面角，，故③錯誤；對④，若平面平面，可過A作于，則，平面，矛盾，故假設(shè)錯誤，故④錯誤；對⑤，為二面角的平面角，，故⑤錯誤；對⑥，平面，平面平面平面，故⑥正確；故選：A.9．如圖，在矩形中，為上一點，，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】借助于矩形建立直角坐標系，利用坐標法求解.【詳解】建立如圖示坐標系，由則有：因為E為上一點，可設(shè)所以.因為，所以，即，解得：，所以.由得：，解得：，所以.故選：D10．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，的面積為，則（）A．. B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)正弦定理化簡可得，解得，由，可得，再結(jié)合余弦定理可得，即可得解.【詳解】由，根據(jù)正弦定理可得：，由三角形內(nèi)角和為，所以，所以，可得，在中，，所以，所以，，由，所以，所以，，所以，由可得：，即，又，所以，滿足.故選：C二、填空題11．我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百，意思是用分層抽樣的方法從這三個鄉(xiāng)中抽出500人服役，則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽__________人．【答案】60【分析】先由題中數(shù)據(jù)求出抽樣比，確定每鄉(xiāng)抽取的人數(shù)，進而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，三鄉(xiāng)共有人，從中抽取500人，因此抽樣比為，所以北鄉(xiāng)共抽取人；南鄉(xiāng)共抽取人，所以北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽人.故答案為【點睛】本題主要考查分層抽樣，只需依題意確定抽樣比即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.12．設(shè)向量且，則___________.【答案】【分析】由可得到，解得，由可解得，計算即可得解.【詳解】由可得到，解得，，由可得，解得，，所以.故答案為：.13．為做好?“新冠肺炎”，疫情防接工作；天津市各學(xué)校堅持落實“雙測溫報告”，制度，以下是南開中學(xué)高二5班第二的8名同學(xué)某日上午的體溫記錄：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4(單位)，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為___________.【答案】36.6.【分析】將數(shù)據(jù)從小到大依次排序共有8個數(shù)據(jù)，利用，即可得答案；【詳解】，將數(shù)據(jù)從小到大依次排序35.7，36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為36.6.故答案為：36.6.14．為迎接2022年北京冬奧會，某工廣生產(chǎn)了一批滑雪板，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品.從這批滑雪板中隨機抽取一件滑雪板檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.97，抽到一等品或三等品的概率為0.88，則抽到一等品的概率為___________.【答案】0.85【分析】由互斥事件的概率加法公式進行求解即可．【詳解】解：設(shè)抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為，，，則，解得，所以抽到一等品的概率為0.85．故答案為：0.85．15．如圖為一個盛滿水的圓錐形玻璃杯，現(xiàn)將一個球狀物體放入其中，使其完全浸沒于杯中，球面與圓錐側(cè)面相切，且與玻璃杯口所在平面相切，則溢出水的體積為___________.【答案】【分析】由已知求出球的半徑，再由球的體積公式得答案．【詳解】解：作出圓錐的軸截面如圖所示，球心為截面三角形的中心，截面為正三角形，且邊長為2，則球的半徑為．溢出溶液的體積等于球的體積為．故答案為：．16．在迎接夏天的日子里，我校學(xué)生自發(fā)組織了熱烈的籃球比賽.如圖，是籃球場地的部分示意圖.在高為4的等腰梯形中，點是以為直徑的半圓的中點，點是半徑為6的半圓上的一個四等分點，點為半圓上任一點，且點在點左側(cè)，已知.設(shè)點為線段上任一點，則的最小值為___________.【答案】【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)點的坐標，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，求最值即可.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意得：，則，所以，整理得：①，兩邊平方得：②，又，則，聯(lián)立①②，解得:,所以，所以，當(dāng)時，此時有最小值，.故答案為：.三、解答題17．如圖，在邊長為1的正六邊形中，是其中心，.設(shè)，.（1）用分別表示及；（2）求；（3）求與夾角的余弦值.【答案】（1），；（2）；（3）【分析】(1)根據(jù)向量的加法原則即可求解.(2)根據(jù)第（1）問，先平方再在開根號即可;(3)根據(jù)數(shù)量積的公式即可求解.【詳解】解：(1)根據(jù)正六邊形的特征，可得，.(2).(3),所以.18．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求；（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算可得；（2）利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，從而得到，，再根據(jù)三角形面積求出，即可得到、，從而得到三角形周長；【詳解】解：（1）因為所以所以所以所以所以，因為，所以（2）因為，由正弦定理可得，即，又由余弦定理可得，即，即，所以，所以，所以，解得，所以，即，所以，所以，所以，所以19．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船順利升空并于6.5小時后與天和核心艙成功對接，這是中國航天史上的又一里程碑，我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測的你們編就了這道題目，如圖，是神舟十二號飛船推進艙及其推進器的簡化示意圖，半徑相等的圓與圓柱底面相切于四點，且圓與與與與分別外切，線段為圓柱的母線.點為線段中點，點在線段上，且.已知圓柱，底面半徑為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如圖，是飛船推進艙與即將對接的天和核心艙的相對位置的簡化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進艙共軸，即共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對接過程中，核心艙相對于推進艙可能會相對作出逆時針旋轉(zhuǎn)的運動，請你求出在艙體相對距離保持不變的情況下，在艙體相對旋轉(zhuǎn)過程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）具體見解析；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）先證明AM∥ON，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)出AE的長度，利用線面垂直求出長度即可；（3）建立空間直角坐標系，求出內(nèi)切圓的半徑，得出各點的坐標，用法向量夾角公式即可解得；（4）將矩形PQRS視作靜止，則作順時針旋轉(zhuǎn)，寫出坐標，用空間向量線面角公式求出夾角的正弦值.【詳解】（1）如圖1，分別是點M、N在線段AC上的投影，則為AO的中點，為OC的三等分點.所以，，所以,所以AM∥ON，如圖2，又因為平面BDN，ON平面BDN，所以AM∥平面BDN.（2）以O(shè)為原點，分別以所在方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則,設(shè)，所以,,若OE⊥平面BDN，則，即時，OE⊥平面BDN.（3）設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由題意可知是等腰直角三角形，所以，因為，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令x=1，則，同理可得平面的法向量，所以，由圖可知二面角為銳角，則其