數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：從力做的功到向量的數(shù)量積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標(biāo)1．給出下列等式：①a·0=0；②0·a=0;③0-=;④｜a·b｜=｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，則對任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，則a與b中至少有一個為0；⑦a與b是兩個單位向量，則a2=b2。以上成立的是（）A。①②③⑥⑦B。③④⑦C.②③④⑤D.③⑦思路解析：按照定義、性質(zhì)、運算律作答即可。對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有a·0=0，故①錯；對于②：應(yīng)有a·0=0，故②錯;對于③：很明顯正確；對于④：由數(shù)量積定義，有|a·b｜=｜a｜|b|｜cosθ｜≤｜a｜｜b|，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時，才有|a·b|=|a｜|b｜，故④錯；對于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0，故⑤錯;對于⑥：由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥錯;對于⑦：a2-b2=｜a|2-|b｜2=1—1=0，故⑦正確.答案：D2．（北京高考卷，理3）若|a|=1,｜b|=2，c=a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為(）A.30°B.60°C.120°D.150°思路解析：要求a與b的夾角,根據(jù)夾角公式需先求夾角的余弦值，再結(jié)合夾角的范圍確定其值。設(shè)a與b的夾角為θ?！遚⊥a，∴c·a=0.∴（a＋b）·a=0.∴|a｜2+b·a=0?！郻·a=—1?！郼osθ=。又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.答案：C3．已知△ABC中，=a，=b，當(dāng)a·b＜0和a·b=0時，△ABC的形狀分別是(）A。鈍角三角形，直角三角形B.銳角三角形，直角三角形C。銳角三角形，鈍角三角形D。銳角三角形，斜三角形思路解析：由a·b＜0可知a與b的夾角為鈍角，即∠A是鈍角;當(dāng)a·b=0時，可知a與b的夾角為直角，即△ABC是直角三角形。答案:A4．(遼寧高考卷，理12）設(shè)O（0，0），A（1，0），B（0，1）,點P是線段AB上的一個動點,=λ，若·≥·，則實數(shù)λ的取值范圍是（）A.≤λ≤1B。1≤λ≤1C.≤λ≤1+D.1≤λ≤1+思路解析：由題意得=λ=(1-λ）+λ=（1—λ，λ)，=—=（1-λ)=(λ-1，1-λ），=λ=（—λ，λ），又∵·≥·，∴(1-λ,λ)·(-1,1）≥（λ，—λ)·（λ—1,1—λ).∴2λ2—4λ+1≤0。∴1≤λ≤1+.因點P是線段上的一個動點,所以0≤λ≤1,即滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍是1≤λ≤1.答案:B5．（湖南高考卷，理，5)已知｜a｜=2|b｜≠0且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實根,則a與b的夾角的取值范圍是（）A.［0，］B.［，π]C.［，］D。［，π］思路解析：∵|a|=2|b｜≠0，且關(guān)于x的方程x2+|a｜x+a·b=0有實根，∴｜a｜2—4a·b≥0.∴a·b≤|a｜2=｜b|2。∴cos〈a,b>==，∴θ∈［，π］。答案：B6。已知e為單位向量，|a｜=4，a與e的夾角為，則a在e方向上的投影為______________.思路解析:由向量在另一方向上投影的定義解答此題。投影為=|a|·cos=－2.答案：－27.已知|a｜=10，｜b｜=12，a與b的夾角為120°，求：（1）a·b;（2）（3a）·(b）；(3）（3b－2a）·（4a+思路分析:第（1）題直接由定義可得，（2）和（3）則利用向量數(shù)量積的運算律計算。解:（1)a·b=｜a|｜b|cosθ=10×12×cos120°=-60。（2)（3a）·（b）=（a·b）=×（-60)=-36.（3）（3b－2a）·（4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3｜b｜2-8|a|2=10×（—60）+3×12我綜合我發(fā)展8。已知向量=a，=b，∠AOB=60°，且|a|=｜b|=4.(1）求｜a+b｜,|a—b|；（2)求a+b與a的夾角;a—b與a的夾角。思路分析：本題可以直接利用長度公式和夾角公式求解;也可利用已知條件畫出圖形，數(shù)形結(jié)合.解法一:（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=｜a｜2+2｜a｜｜b|cos60°+｜b｜2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16∴｜a+b｜=43.｜a—b|2=（a-b)2=a2-2a·b+b2=|a｜2-2｜a|｜b｜cos60°+|b|=42-2×4×4cos60°+42=16—16+16=16,∴|a—b｜=4.(2)記a+b與a的夾角為α，a-b與a的夾角為β.則cosα=,∴α=30°。cosβ=∴β=60°。解法二:如圖2-5—8所示，以、為鄰邊作平行四邊形OACB.圖2-5—8∵｜a｜=|b|=4，∴四邊形OACB為菱形.(1)a+b=+=，a-b==，又∠AOB=60°，∴|a+b｜=|｜=2｜｜=2××4=。a—b=|｜=4.(2）在△OAC中，∠OAC=120°，∴∠COA=∠OCA=30°。a+b與a的夾角即∠COA=30°，a-b與a的夾角即與所成的角為60°。9.向量e1、e2滿足｜e1|=2，|e2|=1,e1、e2的夾角為60°，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.思路分析:向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，則它們的數(shù)量積應(yīng)當(dāng)小于零，由此可得關(guān)于t的不等式，解之即得。解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+(2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7?！呦蛄?te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角,∴2t2+15t+7＜0.∴－7＜t＜－.設(shè)2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0），則2t=λ，且7=tλ,∴2t2=7。∴t=，λ=?！喈?dāng)t=時，2te1+7e2與e1+te2的夾角為π.∴實數(shù)t的取值范圍是（-7,)∪(，—）.10.四邊形ABCD中，=a，=b，CD=c，=d,且a·b=b·c=c·d=d·a，試問四邊形ABCD是什么圖形?思路分析:四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，由題設(shè)條件演變，推算該四邊形的邊角關(guān)系.解:由題意，得a+b+c+d=0，∴a+b=—（c+d）。∴（a+b）2=（c+d）2，即｜a|2+2a·b+｜b|2=|c|2+2c·d+|d｜由于a·b=c·d，∴｜a｜2+｜b｜2=|c|2+|d｜2。①同理，有|a|2+