數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：簡單的三角恒等變換

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標(biāo)1。若sin（α—β)cosα—cos（α—β）sinα=且β在第三象限，則cos為（)A?！狟?！繡。-D。±思路解析：由題意，知sin（α—β-α）=,即sin(-β）=.∴sinβ=—.∵β是第三象限角，∴cosβ=-，且是二、四象限角.∴cos=±=±=±。答案：B2.設(shè)α、β為鈍角,且sinα=，cosβ=,則α+β的值為()A。B.C.D?；蛩悸方馕觯合惹螃?β的某種三角函數(shù)值.由題意，知cosα=-,sinβ=，∴cos(α+β)=—×(）—×=.∵＜α＜π，＜β＜π，∴π＜α+β＜2π?！唳?β=。答案：C3。下列各式中值為的是（）A。sin15°cos15°B。cos2-sin2C.D。思路解析：將四個選擇項分別進行化簡得出結(jié)果即可.答案：C4。若sin(α—β)cosα-cos(α—β）sinα=m且β為第三象限角，則cosβ為()A.B.C.D.思路解析：由題意，知sin（α-β-α）=sin(—β）=m，∴sinβ=—m。又∵β為第三象限角,∴cosβ=.本題也可用排除法，由β為第三象限角，排除A，C，又m2-1＜0，故選B.答案：B5.(2005重慶高考卷,理13)若α、β為銳角且cos(α+β）=sin(α-β）,則tanα=_______________.思路解析：可先將條件利用公式展開，再變形求得.由題意,知cosαcosβ—sinαsinβ=sinαcosβ—cosαsinβ，即(sinβ+cosβ）cosα=（cosβ+sinβ)sinα.又∵α、β為銳角,∴sinβ+cosβ≠0.∴tanα=1.答案：16.若tan（α+）=3+，則=____________。思路解析:先將所求式子變形，再根據(jù)條件求解.原式==tanα。(sinα≠0）由tan(α+)==3+,解得tanα=.答案:7。已知sinα=，且α為第二象限角，則tan的值為_________________.思路解析：可將tan化為含sinα、cosα的形式再求解?！擀翞榈诙笙藿?，∴cosα=，tan=.答案：我綜合我發(fā)展8.化簡:2cos210°—tan5°(1+cos10°）—2sin40°sin80°。思路分析：可將題目所給角化為特殊角或同角的形式再化簡求值。解：原式=1+cos20°-tan5°·2cos25°+cos120°—cos40°=1+cos20°—sin10°——cos40°=+（cos20°—cos40°)-sin10°=+2sin30°sin10°-sin10°=+sin10°—sin10°=。9。已知函數(shù)f（x)=sin（x+θ)+cos（x—θ）的定義域為R.（1）θ=0時，求f（x)的單調(diào)增區(qū)間;（2）θ∈（0，π)且sinx≠0,當(dāng)θ為何值時，f（x)為偶函數(shù)?思路分析:(1）將f（x)化為Asin(ωx+φ)的形式求單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義求θ。解：（1)由θ=0,得f(x）=sinx+cosx=2sin（x+），由2kπ—≤x+≤2kπ+,得2kπ—≤x≤2kπ+?！鄁(x）的單調(diào)增區(qū)間為［2kπ—,2kπ+］（k∈Z）。（2）∵f（x)為偶函數(shù),∴f（-x）=f（x),即sin(—x+θ)+cos(-x—θ）=sin(x+θ)+cos(x-θ)恒成立，即sin(x+θ）+sin（x-θ)=cos(x+θ）-cos(x-θ),即2sinxcosθ=—2sinxsinθ，即2sinx(cosθ+sinθ)=0.∵sinx≠0，∴cosθ+sinθ=0.∴tanθ=-1.又∵θ∈（0，π），∴θ=。10.把函數(shù)y=cosx-sinx的圖象向左平移m（m＞0)個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，求m的最小值.思路分析：先將原函數(shù)化為Asin（ωx+φ)+B的形式，再根據(jù)圖象的有關(guān)知識求m的最小值.解：y=cosx-sinx=—2sin（x—)，向左平移m(m＞0)個單位后的解析式為y=-2sin（x+m—）。由于它的圖象關(guān)于y軸對稱，則當(dāng)x=0時，y取得最值.此時由m—=kπ+,得m=kπ+。又因m＞0,所以當(dāng)k=0時,m取得最小正值.11。發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電,它的三根導(dǎo)線上的電流強度分別是時間t的函數(shù)：IA=Isinωt,IB=Isin（ωt+120°),IC=Isin（ωt+240°）。你能算算它們的電流之和嗎?思路分析:利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的公式化簡即可。解：I′=IA+IB+IC=I［sinωt+sin（ωt+120°)+sin(ωt+240°）]=I［sinωt+sin（60°-ωt)-sin（ωt+60°)］=I（sinωt+cosωt—sinωt-cosωt—sinωt)=I(sinωt-sinωt）=0。所以電流之和為0.12。有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了截取面積最大的矩形鐵皮,工人師傅常將矩形的一邊放在扇形的半徑上,然后作其最大的內(nèi)接矩形。你能幫工人師傅設(shè)計一方案，選出矩形的四點嗎?思路分析:可將矩形面積表示為某個角的三角函數(shù)的形式求最值。解：如圖,設(shè)∠POA=θ，則PN=Rsinθ.OM=QM=PN=Rsinθ,MN=ON—OM=Rcosθ-Rsinθ。則S矩形PQMN=MN·PN=R（cosθ—sinθ)·Rsinθ=R2（sinθcosθ—sin2θ)=R2(sin2θ—1+cos2θ）=R2[s