數(shù)學自主訓練：數(shù)列

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.如果無窮數(shù)列｛an｝的第n項與n之間的函數(shù)關系能用一個公式an=f(n）來表示，則該函數(shù)的定義域為(）A.ZB。NC。N+D.N+的有限子集{1,2，…，n}思路解析：任意數(shù)列的定義域是N+或N+的有限子集｛1，2,…,n｝。由于這個數(shù)列是無窮數(shù)列,從函數(shù)觀點來看,定義域是N+.答案:C2。下列解析式中不是數(shù)列1，—1,1,-1,1，…的通項公式的是（)A。an=（—1)nB.an=(-1）n+1C。an=(-1）n-1D.an=思路解析：令n=1，對于an=（-1)n+1，a1=（-1）1+1=1,同樣對于an=(-1)n-1，an=1,n為奇數(shù),-1，n為偶數(shù)中均有a1=1，符合題意;而在an=(-1)n中,a1=(—1）1=-1，不符合數(shù)列首項。答案:A3。設數(shù)列,…,則是這個數(shù)列的()A.第6項B.第7項C。第8項D.第9項思路解析:數(shù)列通項公式為an=3n—1，令3n-1=25，解得n=7。答案:B4。已知數(shù)列｛an}的首項a1=1，且an=3an—1+1(n≥2），則a4為(）A。13B.15C。30思路解析:利用遞推式可逐個求出a2,a3,a4.答案：D5.若數(shù)列｛an｝的通項公式是an=3—2n,則a2n=_____________，=_____________.思路解析:根據(jù)通項公式,可以求出這個數(shù)列中的任意一項?！遖n=3-2n，∴a2n=3—22n=3—4n，。答案：3—4n6.已知數(shù)列{an}中，an=2n+1.數(shù)列｛bn｝中，b1=a1，當n≥2時，bn=,則b4=___________，b5=___________.思路解析：題目中的關系式也是遞推關系式，不同的是兩個不同的數(shù)列中的項的關系,可以逐個推導.∵an=2n+1,bn=（n≥2)，∴b1=a1=3,b2==a3=7，b3==a7=15，b4==a15=31，b5==a31=63.答案：31637.a1=1，an+1=an+2n（n∈N+),則這個數(shù)列的第5項為______________。思路解析:∵an+1=an+2n,∴an+1—an=2n。∴a5=a1+（a2-a1）+（a3-a2)+（a4—a3)+(a5—a4)=1+2×1+2×2+2×3+2×4=1+2×（1+2+3+4）=21。答案：218。記凸n-1邊形的內(nèi)角和為an—1(n≥3），凸n邊形的內(nèi)角和為an，試寫出an與an-1的關系式，找到它們之間的遞推關系式，并且寫出這個數(shù)列的通項公式。思路分析:關鍵要找到凸n-1邊形與凸n邊形之間圖形的不同,它們之間只是差了個三角形,這樣我們可以得到遞推關系式,然后根據(jù)所得到的遞推關系式可以歸納總結(jié)出這個數(shù)列的通項公式。但是要注意n的范圍,n≥3.解:由凸n-1邊形變?yōu)橥筺邊形，增加了一個三角形，故an=an-1+π；當n=3時，a3=π，接著分別得到a4=a3+π=2π，a5=3π，a6=4π，…,可歸納出通項公式an=（n-2）π（n≥3）。我綜合我發(fā)展9。（2006廣東高考，14）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐"形的展品,其中第1堆只有1層，就一個球；第2，3,4，…堆最底層(第一層)分別按下圖所示方式固定擺放，從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3)=____________；f（n）=____________（答案用n表示）.圖2—1—2思路解析:f（1）=1，觀察圖象可知,f（2）=4,f(3）=10，f（4）=20，下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層個數(shù)，而第一層的個數(shù)滿足1,3,6，10,…，通項公式是，所以f(5)=f(4)+15=35.利用歸納推理便可得f(n)=。答案:1010.若｛an}的前8項的值互異,且an+8=an,對于n∈N+都成立，則下列數(shù)列中,可取遍｛an}前8項的值的數(shù)列為（）A.｛a2k+1}B。｛a3k+1}C。{a4k+1}D.｛a6k+1｝思路解析:∵k∈N+，當k=1,2，3…時，a2k+1、a4k+1、a6k+1均取奇數(shù)項,而無偶數(shù)項，∴｛a2k+1}、{a4k+1}、｛a6k+1｝不符。而當k取以上值時,{a3k+1｝可以取遍前8項.實際上，由an+8=an，可以知道這個數(shù)列是個循環(huán)數(shù)列,也可稱為周期數(shù)列，每隔8項，數(shù)列的項就重復出現(xiàn).具體情況如下：在{a3k+1}中，當k=1,2，3,4,5,6，7,8時,分別得到：a4,a7,a10，a13,a16，a19，a22，a25,a10=a2+8=a2，a13=a5+8=a5,a16=a8+8=a8,a19=a3+2×8=a3，a22=a6+2×8=a6,a25=a1+3×8=a1，這樣，這個數(shù)列的項包括了數(shù)列｛an｝中的前8項不同的取值.答案：B11.在m(m≥2）個不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞Pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù)),則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序。一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列(n+1）n（n—1)…321的逆序數(shù)為an,如排列21的逆序數(shù)a1=1,排列321的逆序數(shù)a2=3。求a4、a5，并寫出an的表達式。思路分析:排列(n+1)n（n-1）…321的逆序數(shù)an的求法：比1大且在1前面的數(shù)有n個，比2大且在2前面的數(shù)有n-1個,…，比k大且在k前面的數(shù)有（n+1）-k個……所以an=n+（n—1)+…+2+1.解：由已知,得a4=10,a5=15，an=n+(n—1）+…+2+1=。12.設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)n，an+Sn=4096。（1）求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設數(shù)列｛log2an}的前n項和為Tn,對數(shù)列｛Tn｝，從第幾項起Tn＜—509？思路分析:利用an、Sn的關系,先求出數(shù)列的首項,利用an=Sn—Sn—1（n≥2）,得出an、an-1的關系式，根據(jù)關系式解決通項公式.（2）問主要是解不等式。解：（1）∵an+Sn=4096，∴a1+S1=4096.∴a1=2048。當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(4096—an）-（4096—an—1）=an—1-an.∴?！郺n=2048()n-1=212—n.(2)∵log2an=log2212—n=12-n，∴Tn=（-n2+23n）.由Tn＜-509，解得n＞.而n是正整數(shù),于是n≥46?！鄰牡?6項起Tn＜-509.13.某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達30%.從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16％將被綠化，與此同時，由于各種原因,原有綠化面積的4％又被沙化。2001年底綠化面積為a1=,經(jīng)過n年綠化總面積為an+1。請你想一想，能不能找到an+1與an之間的遞推關系式?思路分析:題目的敘述比較冗長，容易使我們望而生畏，但是多讀幾遍,就能將實際問題抽象為數(shù)學問題了。an+1表示經(jīng)過n年綠化的總面積，根據(jù)“到2001年底全縣的