數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：數(shù)軸上的基本公式平面直角坐標(biāo)系中的基本公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達(dá)標(biāo)1.已知A(3)、B(-2）兩點，則AB=_____________，｜AB｜=_____________.思路解析：由于AB是向量，因此一定要用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo),|AB|是向量AB的長度，因此一定要求向量AB的數(shù)量的絕對值.AB=-2-3=-5;|AB｜=|—2-3|=|-5｜=5.答案：-552.已知點M（2，2)平分線段AB，且A(x，3)、B（3，y），則x=_____________，y=_____________。思路解析：“點M（2,2）平分線段AB”的含義就是點M是線段AB的中點,故可以用中點坐標(biāo)公式把題意轉(zhuǎn)化為方程組進(jìn)行求解.∵點M(2，2）平分線段AB，∴，解得x=1，y=1.答案：113。已知點A（5，12)，在x軸上求一點P，使點P與點A的距離等于13,則滿足條件的點為___________________.思路解析：可以用方程的思想根據(jù)平面內(nèi)兩點間的距離公式把題意轉(zhuǎn)化成方程(組）進(jìn)行求解。設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，0），根據(jù)題意,得=13，解得x1=0，x2=10。答案:（0，0）或（10，0）4。已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)為A（，2）、B(0,1)、C(0,3），則此三角形的形狀是_______________.思路解析：判斷三角形的形狀,首先要知道三角形都有哪些形狀.按邊分：等邊三角形，等腰三角形；按角分：銳角三角形，鈍角三角形,直角三角形.所以在判斷三角形的形狀時，既要考慮到邊的情況，也要考慮到角的情況。根據(jù)本題的題設(shè)我們先要根據(jù)平面內(nèi)兩點間的距離公式計算三角形的邊長?！撸麬B｜==2,｜AC｜==2,｜BC｜==2，∴△ABC為等邊三角形.答案:等邊三角形5.已知三角形三個頂點的坐標(biāo)為A(1，1）、B（3，1）、C(2，2)，此三角形的形狀是_____________.思路解析：已知三角形的三個頂點的坐標(biāo)判斷三角形的形狀，首先要求出各邊的邊長,然后考查三邊的長度是否滿足勾股定理,從而判定三角形的形狀?！遼AB｜==2，｜AC|=,|BC|=，∴|AC｜=｜BC｜.又∵AB2=4,AC2+BC2=4,∴AB2=AC2+BC2.∴三角形是等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形6。已知ABCD的三個頂點A(0，0）、B(x1，y1）、D(x2，y2)，則頂點C的坐標(biāo)為___________。思路解析：由于ABCD的各頂點的順序已經(jīng)確定，因此點C的坐標(biāo)是唯一確定的.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)——對角線互相平分，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式的逆向應(yīng)用,即可求出點C的坐標(biāo)。設(shè)頂點C的坐標(biāo)為（m，n）,AC與BD的交點為O，則O為AC和BD的中點，根據(jù)題意,得點O的坐標(biāo)為(，）。又∵點O為AC的中點,∴=,=。解得m=x2+x1，n=y2+y1，∴點C的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2）。答案：（x1+x2，y1+y2)7.判定下列各組點中，哪一個點一定位于另一個點的右側(cè).（1）M（2x)、N（x);（2）A(c）、B(c+2);(3）C（x）、D(x—a）；(4）E(x）、F（x2)。思路解析：∵（1）中的2x與x、（3）中的x與x-a、(4）中的x與x2都無法確定兩個數(shù)的大小關(guān)系，而（2)中的c與c+2大小關(guān)系容易確定:c＜c+2，∴B（c+2）一定在A(c）的右側(cè).答案:（2).8。在數(shù)軸上求一點的坐標(biāo),使它到點A(—9)的距離等于它到點B(-3)的距離的2倍。思路解析：設(shè)所求點為C(x），則由題意得|x—(-9）|=2·|x—(—3)|，解得x=3或x=—5?！喾蠗l件的點有兩個：C1(3）、C2(-5）。答案：C1(3)或C2(-5）。9。在數(shù)軸上，運用兩點間距離的概念和計算公式，解下列方程：(1）｜x+3｜+｜x-1｜=5；（2)|x+3｜+|x—1｜=4；(3）｜x+3｜+|x-1｜=3.思路分析：本題中的三個小題實質(zhì)上是一道題，即在數(shù)軸上求到兩個定點A（—3）和B（1）的距離之和分別等于5、4、3的點的坐標(biāo)。解：（1）∵-3到1的距離等于4,如圖所示,到兩個定點A（—3)和B（1）的距離之和等于5的點為C(1。5）或C（-3。5)，圖2—1-（1,2）-6∴x=-3。5或x=1.5。(2)如圖所示,在線段AB上的任意一點到兩個定點A（—3）和B（1）的距離之和都等于4，∴-3≤x≤1。（3）在數(shù)軸上找不到一點到兩個定點A（—3)和B（1）的距離之和等于3，∴方程｜x+3|+|x—1|=3無解。綜上，（1)x=—3.5或x=1.5;（2)x∈{x|—3≤x≤1｝;（3)x∈.圖2—1-（1,2)—710.如圖2—1—(1,2）—7，等邊△ABC的頂點A的坐標(biāo)為（,0),B、C在y軸上,(1)寫出B、C兩點的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積和周長。思路分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和題設(shè)中的條件，可利用兩點間距離公式求邊長,從而求出頂點B和C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式和周長公式解答問題（2).解：（1)如圖2-1—（1,2）-4，∵△ABC為等邊三角形，｜AO|=,∴｜OC|=1，｜OB｜=1，即B、C兩點的坐標(biāo)分別為B(0，—1)、C（0，1)。（2)由（1)得|BC｜=2，∴△ABC的周長為6，面積為×2×=.我綜合我發(fā)展11。|x+2｜+｜x-3｜≤a恒成立，則a的取值是________________。思路解析:｜x+2|表示數(shù)軸上的任意一點到點A(-2）的距離，｜x-3|表示數(shù)軸上的任意一點到點B(3）的距離，那么｜x+2｜+|x-3|表示數(shù)軸上的任意一點C（x）到點A(—2）的距離與到點B(3）的距離之和，即｜AC|+｜CB｜≤｜AB｜=5。答案:512.如圖2—1-（1，2)—8所示，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若p、q分別是M到直線l1和l2的距離,則稱有序非負(fù)實數(shù)對(p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1,2）的點的個數(shù)是____________.圖2—1—（1,2）-8思路解析：根據(jù)題中對“距離坐標(biāo)”的定義，如果給出平面上的一個點，我們可以測量出它的距離坐標(biāo).本題需要逆向應(yīng)用距離坐標(biāo)的定義，在平面內(nèi)找出符合條件“距離坐標(biāo)為(1，2）的所有點"的個數(shù)。因此要把在平面內(nèi)到這兩條直線距離分別為1和2的點都找到，然后取它們的交集，即確定了一個點.把所有這樣的點都找到便知這樣的點的個數(shù),如圖所示.圖2-1-(1，2)-9答案：413.函數(shù)y=的最小值為______________,此時相應(yīng)的x值為______________。思路解析：將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成平面直角坐標(biāo)系中的兩點間的距離公式進(jìn)行分析.轉(zhuǎn)化后可以發(fā)現(xiàn)題意就是在x軸上求一點，使這點到兩個定點的距離之和為最小,并求最小值.y=，在x軸上求一點,使這個點到兩定點A(1，1)、B(2，3）的距離之和最小。作點A(1,1)關(guān)于x軸的對稱點C（1，—1)，則線段BC的長度為所求最小值，即ymin=|BC|=，線段BC與x軸的交點即為所求的x值.直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=4x—5,它與x軸的交點為（，0)，∴x=.答案：14.如圖2—1-(1,2）-10，梯形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD∥BC，∠ADC=90°，｜AB｜=｜DA｜+|CB|,腰DC在x軸上，O是線段DC的中點，|BO|=4，且∠BOC=60°.求:（1)A、B、C、D各點的坐標(biāo);（2）梯形ABCD的面積。圖2-1—（1,2）-10思路分析:此題求點B、C、D的坐標(biāo)并不困難，難點在于求點A的坐標(biāo),此時需要作一條輔助線，即過點A作AE垂直BC于E,然后用方程的思想求出線段AD的長.解：(1）如圖所示，過點A作AE⊥BC于E，圖2—1—(1,2）—11設(shè)點A的縱坐標(biāo)為y，根據(jù)題意，得A(0,y).∵AD∥BC,∠ADC=90°，∴∠BCD=90°。又∵｜BO|=4，且∠BOC=60°，∴｜OC｜=2，｜BC|=。∴點C的坐標(biāo)為（2，0),點B的坐標(biāo)為（2，）。又∵O為線段DC的中點，∴|DO｜=2.∴點D的坐標(biāo)為（—2,0）。∴｜AE|=｜DC｜=4，|EC|=｜AD|=y，|BE｜=｜BC｜—｜EC|=—y。∵|AB｜=|DA|+｜CB｜=y+,又∵∠BCD=90°,∴AB2=AE2+BE2,即（y+）2=42+(-y)2。解得y=，∴點A的坐標(biāo)為(—2，）。(2)S梯形ABCD=×(+)×4=。綜上，（1)B（2,23）、C(2,0）、D(—2，0）、A（-2，）；（2).15.已知等邊△ABC的兩個頂點的坐標(biāo)為A(—4，0)、B(2，0)，試求：（1）C點的坐標(biāo)；(2）△ABC