2024八年級數(shù)學上冊提練第13招巧用勾股定理求最短路徑的長習題課件新版冀教版

冀教版八年級上第13招巧用勾股定理求最短路徑的長01教你一招02典例剖析03分類訓練目

錄CONTENTS求最短距離問題，第一種情況是通過計算和比較解最短距離

問題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換

(平移或軸對稱)進行集中，然后借助勾股定理解決；第三種

情況是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形

中將最短路徑的長轉化為兩點間的距離，然后借助直角三角

形，利用勾股定理求出最短路程(距離).返回

如圖，有一個圓柱形玻璃杯，高為12

cm，底面周長為

18

cm，在杯內離杯底4

cm的點

C

處有一滴蜂蜜，此時一只

螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4

cm與蜂蜜相對的點

A

處，則

螞蟻到蜂蜜的最短路線長為

.

求最短路線長，就是將要求的路線長轉化為兩點之間的距離或點到直線的距離來進行計算.轉化是求最短路線長的核心步驟.本題是利用化曲為直，即將圓柱側面展開成平面圖形，用兩點間的距離再結合幾何圖形的相關知識求解.解：如圖，將圓柱側面的一半展開，作

CD

⊥

FA

于點

D

，作

A

關于

EF

的對稱點A'，連接A'C，與

EF

交于點

B

，連接

AB

，則

AB

＝A'B，則

A

→

B

→

C

為最短路線.由題意知

DC

＝9

cm，

FD

＝8

cm，F(xiàn)A'＝4

cm，在Rt△A'DC中，A'C

2＝A'D

2＋

DC

2＝(FA'＋

FD

)2＋

DC

2＝(4＋8)2＋92＝225＝152.故A'C＝15

cm.∵

AB

＋

BC

＝A'B＋

BC

＝A'C，∴最短路線長為15

cm.答案：15

cm返回

用平移法求平面中的距離問題1.

如圖，小明在廣場上先向東走10

m，又向南走40

m，再

向西走20

m，又向南走40

m，最后向東走70

m.則小明到

達的終點與出發(fā)點的距離是

?.100

m

123456(第1題)易知

AC

＝40＋40＝80(m)，

BC

＝70－20＋10＝60(m)，∴

AB2＝602＋802＝1002，則

AB

＝100

m.【點撥】如圖，作

AC

⊥

BD

于點

C

.

123456返回2.

如圖，已知∠

B

＝∠

C

＝∠

D

＝∠

E

＝90°，且

AB

＝

CD

＝3，

BC

＝4，

DE

＝

EF

＝2，則

AF

的長是

?.(第2題)10

123456【點撥】

123456返回

用對稱法求平面中的最短問題

123456【解】如圖所示，作

B

關于

AD

的對稱點

B1，關于

CD

的

對稱點

B2，連接

B1、

B2，與

AD

、

CD

分別交于點

E

，

F

，則此時△

BEF

的周長最小.∵作

B

關于

AD

的對稱點

B1，關于

CD

的對稱點

B2，∴

BE

＝

B1

E

，

BF

＝

B2

F

，∴

C△

BEF

＝

BE

＋

BF

＋

EF

＝

B1

E

＋

B2

F

＋

EF

.

∵兩點之間線段最短，123456∴此時△

BEF

的周長最小，

C△

BEF

＝

B1

B2.過點

B2作

B2

M

⊥

BB1，交

B1

B

延長線于點

M

，∵∠

ABC

＝135°，∴∠

MBB2＝45°，∴

BM

＝

MB2.∵

BC

＝1，∴

BB2＝2

BC

＝2，

123456

123456返回

用展開法求立體圖形中的最短問題類型1圓柱中的最短問題4.

有一只螞蟻要沿一個圓柱形玻璃杯的側面從點

A

處爬到點

B

處(點

A

，

B

均在玻璃杯外部)，如圖所示，已知杯子高8

cm，點

B

距杯口3

cm，杯子底面半徑為4

cm.螞蟻從

A

點

爬到

B

點的最短路程為多少？(π取3)123456【解】從點

A

處豎直向上剪開，此圓柱的側面展開圖為長

方形

ACDE

，如圖所示，其中

AC

的長為圓柱的底面周

長，連接

AB

，則

AB

即為螞蟻爬行的最短路徑.過點

B

作

BE'⊥

AE

于E'.

AC

＝2π

r

≈2×3×4＝24(cm)，

又∵

EA

＝8

cm，EE'＝3

cm，123456∴AE'＝

EA

－EE'＝8－3＝5(cm).在Rt△ABE'中，

AB2＝AE'2＋E'B2≈52＋122＝132，∴

AB

≈13

cm.即螞蟻從

A

點爬到

B

點的最短路程約為13

cm.123456返回類型2圓錐中的最短問題5.

如圖，觀察圖形解答下面的問題：(1)此圖形的名稱為

?；(2)請你與同伴一起做一個這樣的立體圖形，并把它的側面沿

AS

剪開，鋪在桌面上，則它的側面展開圖是一個

?；圓錐扇形123456(3)如果點

C

是

SA

的中點，在

A

處有一只蝸牛，在

C

處恰

好有蝸牛想吃的食物，且它只能繞此立體圖形的側面

爬行一周到

C

處.你能在側面展開圖中畫出蝸牛爬行的

最短路線嗎？【解】把此立體圖形的側面展開，如圖所示，連接

AC

，則

AC

為蝸牛爬行的最短路線.123456(4)若

SA

的長為10，側面展開圖的圓心角為90°，請你求

出蝸牛爬行的最短路程的平方.【解】由題易知

SC

＝5.在Rt△

ASC

中，由勾股定理，得

AC2＝102＋52＝125.故蝸牛爬行的最短路程的平方為125.123456類型3長方體中的最短問題6.

有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，其長

AD

＝80

cm，高

AB

＝60

cm，水深

AE

＝40

cm，在水面上緊貼內壁的

G

處有一魚餌，點

G

在水面線

EF

上，且

EG

＝60

cm.一小蟲想從魚缸外的

A

點沿壁爬進魚缸內的點

G

處吃魚餌.(1)小蟲應該走怎樣的路線才能使爬行的路線最短呢？請你在圖中畫出它爬行的路線，并用箭頭標注；123456【解】如圖，作點

A

關于直線

BC

的

對稱點

A

'，連接

A

'

G

，與

BC

交于點

Q

，連接

AQ

.

則

A

→

Q

→

G

為最短路線.123456(2)求小蟲爬行的最短路線長.【解】∵

AE

＝40

cm，AA'＝60＋60＝1