安全系統(tǒng)工程課件：事故樹分析（二）-事故樹的數(shù)學(xué)描述

事故樹的數(shù)學(xué)描述本課重難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)一、編制事故樹的規(guī)則二、編制事故樹的方法三、事故樹的數(shù)學(xué)描述課程小結(jié)課程復(fù)習(xí)思考題下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)本課重難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)本課的重點(diǎn)及難點(diǎn)事故樹的編制規(guī)則及編制方法。教學(xué)目標(biāo)掌握事故樹的編制規(guī)則、編制方法及事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)。一、編制事故樹的規(guī)則事故樹的編制過程是一個嚴(yán)密的邏輯推理過程，應(yīng)遵循以下規(guī)則:（1）確定頂上事件應(yīng)優(yōu)先考慮風(fēng)險大的事故事件。能否正確選擇頂上事件，直接關(guān)系到分析結(jié)果，是事故樹分析的關(guān)鍵。在系統(tǒng)危險分析的結(jié)果中，不希望發(fā)生的事件遠(yuǎn)不止一個，每一個不希望發(fā)生的事件都可以作為頂上事件。但是，應(yīng)綜合考慮事件的發(fā)生頻率和后果嚴(yán)重程度，把風(fēng)險高的事件優(yōu)先作為分析的對象，即頂上事件。一、編制事故樹的規(guī)則

（2）確定邊界條件的規(guī)則。在確定了頂上事件之后，為了不致使事故樹過于繁瑣、龐大，應(yīng)明確規(guī)定被分析系統(tǒng)與其他系統(tǒng)的界面，以及一些必要的合理的假設(shè)條件。一、編制事故樹的規(guī)則

（3）循序漸進(jìn)的規(guī)則。事故樹分析是一種演繹的方法，在確定了頂上事件以后，要逐級展開。首先，分析頂上事件發(fā)生的直接原因，在這一級的邏輯門的全部輸入事件已無遺漏地列出之后，再繼續(xù)對這些輸入事件的發(fā)生原因進(jìn)行分析，直至列出引起頂上事件發(fā)生的全部基本事件為止。一、編制事故樹的規(guī)則

（4）避免門與門直接相連的規(guī)則。在編制事故樹時，任何一個邏輯門的輸出都必須有一個結(jié)果事件，不允許不經(jīng)過結(jié)果事件而將門與門直接相連。二、編制事故樹的方法編制事故樹的常用方法：演繹法，首先確定系統(tǒng)的頂上事件，再找出（中間事件）直接導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的各種可能因素或因素的組合。

方法即：從頂上事件開始，按照演繹法，運(yùn)用邏輯推理，一級一級找出所有直接原因事件，直到最基本的原因事件為止。按照邏輯關(guān)系，用邏輯門連接輸出關(guān)系（即上下層事件），畫出事故樹。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述為了對事故樹進(jìn)行詳細(xì)的分析，必須了解它的結(jié)構(gòu)特性，在編制出事故樹模型后，還要利用布爾代數(shù)列出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式。布爾代數(shù)是完成事故樹分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是集合論數(shù)學(xué)的組成部分，是一種邏輯運(yùn)算方法，也稱為邏輯代數(shù)。布爾代數(shù)特別適用于描述只能取兩種對立狀態(tài)的事物變化過程，這正適合于事故樹分析的特點(diǎn)。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述

結(jié)構(gòu)函數(shù)就是描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)，它完全取決于元、部件的狀態(tài)，通常假定任何時間，元、部件和系統(tǒng)只能取正常或故障兩種狀態(tài)，并且任何時刻系統(tǒng)的狀態(tài)由元、部件狀態(tài)唯一決定。現(xiàn)假定一個事故樹系統(tǒng)由n個基本事件組成，可定義事件狀態(tài)函數(shù)x=（x1，x2，…，xn），其中xi為第i個基本事件的狀態(tài)變量。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述三、事故樹的數(shù)學(xué)描述1、與門的結(jié)構(gòu)函數(shù)如3-6圖是與門結(jié)構(gòu)，只有基本事件發(fā)生時，頂上事件才發(fā)生。根據(jù)布爾代數(shù)運(yùn)算法則，邏輯式為

式中：min（x1，x2…）——從xi中取最小值，只要有一個最小的“0”（正常），則整個系統(tǒng)為“0”（正常）。II為連乘符號，也具有布爾代數(shù)的∩。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述2、或門的結(jié)構(gòu)函數(shù)圖3-7，只要有一個或一個以上的基本事件發(fā)生時，頂上事件發(fā)生。根據(jù)布爾代數(shù)運(yùn)算法則，邏輯加關(guān)系，其邏輯式：三、事故樹的數(shù)學(xué)描述式中，max（x1，x2…）——從xi中取最大值，只要有一個max為“1”，則整個系統(tǒng)為“1”。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述3、m/n表決門的結(jié)構(gòu)函數(shù)圖3-8是事故樹的基本結(jié)構(gòu)單元中的表決門，表示一種表決邏輯關(guān)系，僅當(dāng)n個輸入事件中有m個以上事件發(fā)生時，則門輸出事件發(fā)生。m/n表決門常用于電路設(shè)計，在控制、安全系統(tǒng)的設(shè)計中廣泛采用。圖3-9是2/3表決系統(tǒng)可靠性框圖。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述4、復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)由與門和或門組成的事故樹，根據(jù)邏輯與/或的關(guān)系，寫出如圖3-10結(jié)構(gòu)函數(shù)。

用代數(shù)算式表示為：x1(x3+x4x5)+x2(x4+x3x5)三、事故樹的數(shù)學(xué)描述三、事故樹的數(shù)學(xué)描述5、布爾代數(shù)的基本知識在結(jié)構(gòu)函數(shù)中，事件的邏輯加(邏輯或)運(yùn)算和邏輯乘(邏輯與)運(yùn)算，服從集合(布爾)代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。為了便于運(yùn)算，下面將有關(guān)集合、概率含義和運(yùn)算規(guī)則分別列于表2-20和表2-21中。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述A集合代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則在集合表達(dá)式中所采用的事件并（“”）和交（“”），表示事件之間的運(yùn)算關(guān)系，它們相當(dāng)于布爾代數(shù)算子“∨”（或）和“∧”（與），也相當(dāng)于代數(shù)算式的“+”和“×”。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述B布爾代數(shù)的基本性質(zhì)

布爾代數(shù)又稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。和普通代數(shù)相比有很多不同之處。在普通代數(shù)中，變量x、Y、……可以取任意的實(shí)數(shù)，運(yùn)算符號很多，如＋、－、×、÷……等。而在布爾代數(shù)中，變量x、Y、……等只能取1和0，而且它不是數(shù)值大小的概念，而是兩個對立的概念，如“是”與“非”，“開”與“關(guān)”，“存在”與“不存在”等。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述如A＝1表示某事物存在，(讀為A非)則表示某事物不存在。邏輯代數(shù)中的運(yùn)算符號只有“＋”與“?”兩種，分別稱為邏輯或及邏輯與。在基本運(yùn)算方面，把布爾代數(shù)與普通代數(shù)作一個比較如下表2-22所示。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述C布爾代數(shù)運(yùn)算舉例【例2-14】T＝AB(A＋C)

＝ABA＋ABC

＝AB【例2-15】T＝(AC＋B)(AB＋BD＋D)

＝ACAB＋ACBD＋ACD＋BAB＋BBD＋

BD

＝ABC＋ABCD＋ACD＋AB＋BD＋BD

＝ABC＋ACD＋AB＋BD

＝AB＋ACD＋BD三、事故樹的數(shù)學(xué)描述6、概率論的基本知識在事故樹分析中，需要用到一些概率論的基本知識。例如，概率和與概率積的計算。為了給出概率和與概率積的計算公式，首先必須給出如下定義：三、事故樹的數(shù)學(xué)描述（1）相互獨(dú)立事件。一個事件發(fā)生與否不受其他事件發(fā)生與否的影響。假定A、B、C、…、N個事件，其中每一個事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響，則稱A、B、C、…、N為獨(dú)立事件。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述（2）相互排斥事件。不能同時發(fā)生的事件。一個事件發(fā)生，其他事件必然不發(fā)生。它們之間互相排斥，互不相容。假定有A、B、C、…、N個事件，A發(fā)生時，B、C、…、N必然不發(fā)生；B發(fā)生時，A、C、…、N事件必須不發(fā)生，則A、B、C、…、N事件稱為互斥事件。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述（3）相容事件。一個事件發(fā)生與否受其他事件的約束，即在其他事件發(fā)生的條件下才發(fā)生的事件。設(shè)A、B兩事件，B事件只有在A事件發(fā)生的情況下才發(fā)生，反之亦然，則A、B事件稱為相容事件。三、事故樹的數(shù)學(xué)描述在事故樹分析中，遇到的基本事件大多數(shù)是獨(dú)立事件。所以下面簡單介紹n個獨(dú)立事件的概率和與概率積的計算公式。n個獨(dú)立事件的概率和，其計算公式是：P(A+B+C+…+N)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]…[1-P(N)](2-14)式中P——獨(dú)立事件的概率。n個獨(dú)立事件的概率積，其計算公式是：P(ABC…N)=P(A)P(B)P(C)…P(N)(2-15)三、事故樹的數(shù)學(xué)描述7、事故樹的布爾代數(shù)表達(dá)式

將事故樹中連接各事件的邏輯門用相應(yīng)的布爾代數(shù)運(yùn)算表示，就得到了事故樹的布爾代數(shù)表達(dá)式。通常，可以自上而下地將事故樹逐漸展開后，便得到了布爾代數(shù)表達(dá)式。

【例2-16】某事故樹結(jié)構(gòu)如圖2-25所示，求其布爾代數(shù)表達(dá)式及展開過程如下：

三、事故樹的數(shù)學(xué)描述

此式可以繼續(xù)化簡至若干個基本事件相乘后再相加的形式。布爾代數(shù)表達(dá)式是事故樹的數(shù)學(xué)描述，對于給出的事故樹可以寫出其相應(yīng)的布爾代數(shù)表達(dá)式；相反，給出布爾代數(shù)表達(dá)式也可以繪出對應(yīng)的事故樹。三、事故樹