2025屆安徽省阜陽市潁上縣第二中學高二數學第一學期期末檢測模擬試題含解析

2025屆安徽省阜陽市潁上縣第二中學高二數學第一學期期末檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2021年小林大學畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設當天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日2．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，過作軸的平行線交橢圓于、兩點，為坐標原點，雙曲線的虛軸長為，且以、為頂點，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長為（）A. B.C. D.3．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經九個多月.在這段時間里，空間站關鍵技術驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務.一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.4．函數的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和5．過拋物線（）的焦點作斜率大于的直線交拋物線于，兩點（在的上方），且與準線交于點，若，則A. B.C. D.6．設等差數列前項和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.267．命題：“，”的否定形式為（）A.， B.，C.， D.，8．用數學歸納法證明“”時，由假設證明時，不等式左邊需增加的項數為（）A. B.C. D.9．已知實數、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.10．函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是A. B.C. D.11．設雙曲線與橢圓：有公共焦點，.若雙曲線經過點，設為雙曲線與橢圓的一個交點，則的余弦值為（）A. B.C. D.12．下列橢圓中，焦點坐標是的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“若，則二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）”的條件：_________，結論:_____________，它是_________命題（填“真”或“假”）.14．在公差不為0的等差數列中，為其前n項和，若，則正整數______15．若拋物線上一點到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為___________.16．將4名志愿者分配到3個不同的北京冬奧場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數為________．（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的前n項和為，等比數列的前n項和為，且，，（1）求，；（2）已知，，試比較，的大小18．（12分）已知等差數列中，，，等比數列中，，（1）求數列的通項公式；（2）記，求的最小值19．（12分）如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC的中點，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.20．（12分）雙曲線的離心率為，虛軸的長為4.（1）求的值及雙曲線的漸近線方程；（2）直線與雙曲線相交于互異兩點，求的取值范圍.21．（12分）已知是公差不為零等差數列，，且、、成等比數列（1）求數列的通項公式：（2）設．數列{}的前項和為，求證：22．（10分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析可得每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為，分析首次達到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為.因為為增函數，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元.故選：C2、C【解析】不妨取點在第一象限，根據橢圓與雙曲線的幾何性質，以及它們之間的聯系，可得點的坐標，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點在第一象限，則的坐標為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長為故選：3、A【解析】根據遠地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A4、C【解析】求導后，由可解得結果.【詳解】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點睛】本題考查了利用導數求函數的增區(qū)間，屬于基礎題.5、A【解析】分別過作準線的垂線，垂足分別為，設，則，，故選A.6、A【解析】根據給定條件利用韋達定理結合等差數列性質計算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數列的前項和，于是得，所以.故選：A7、D【解析】根據含一個量詞的命題的否定方法直接得到結果.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“，”的否定形式為：，，故選：D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，難度容易.含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結論.8、C【解析】當成立，寫出左側的表達式，當時，寫出對應的關系式，觀察計算即可【詳解】從到成立時，左邊增加的項為，因此增加的項數是，故選：C9、A【解析】作出可行域，利用代數式的幾何意義，利用數形結合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯立可得，即點，代數式的幾何意義是連接可行域內一點與定點連線的斜率，由圖可知，當點在可行域內運動時，直線的傾斜角為銳角，當點與點重合時，直線的傾斜角最大，此時取最大值，即.故選：A.10、D【解析】原函數先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內，因此選D【名師點睛】本題主要考查導數圖象與原函數圖象的關系：若導函數圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數單調性的拐點，運用導數知識來討論函數單調性時，由導函數的正負，得出原函數的單調區(qū)間11、A【解析】求出雙曲線方程，根據橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度，從而根據余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設在第一象限，根據橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據余弦定理，故選：A12、B【解析】根據給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，B是；對于C，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，D不是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）③.真【解析】由二元一次不等式的意義可解答問題.【詳解】因為，二元一次不等式所表示的區(qū)域如下圖所示：所以在的條件下，二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界），此命題是真命題.故答案為：；二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）；真14、13【解析】設等差數列公差為d，根據等差數列通項公式、前n項和公式及可求k.【詳解】設等差數列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.15、【解析】先由拋物線的方程求出準線的方程，然后根據點到準線的距離可求，進而可得拋物線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，點到其準線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標準方程為.故答案為：.16、36【解析】先將4人分成2、1、1三組，再安排給3個不同的場館，由分步乘法計數原理可得.【詳解】將4人分到3個不同的體育場館，要求每個場館至少分配1人，則必須且只能有1個場館分得2人，其余的2個場館各1人，可先將4人分為2、1、1的三組，有種分組方法，再將分好的3組對應3個場館，有種方法，則共有種分配方案.故答案為：36三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)設等差數列的公差，等比數列的公比，由已知列式計算得解.(2)由(1)的結論，用等比數列前n項和公式求出，用裂項相消法求出，再比較大小作答.【小問1詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，依題意，，整理得：，解得，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，數列是首項為，公比為的等比數列，則，，，則，用數學歸納法證明，，①當時，左邊，右邊，左邊>右邊，即原不等式成立，②假設當時，不等式成立，即，則，即時，原不等式成立，綜合①②知，，成立，因此，，即，所以.18、（1）（2）0【解析】（1）利用等差數列通項公式基本量的計算可求得，進而利用等比數列的基本量的計算即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可知，則，觀察分析即可解【小問1詳解】設等差數列的公差為d，所以由，，得所以，從而，，所以，，q＝3，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，當n＝1時，為正值﹐所以；當n＝2時，為負值﹐所以；當時，為正值﹐所以又綜上：當n＝3時，有最小值019、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)由結合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點M，連接，FM，證明平面平面，再建立空間直角坐標系，借助空間向量推理、計算作答.【小問1詳解】在中，因為E，F分別是AC，BC的中點，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點M，連接，FM，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過點N作，則兩兩垂直，以點N為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.【點睛】方法點睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分別求出兩個半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結合圖形得到二面角的大小；(2)找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個半平面內找到與交線垂直且以垂足為起點的直線的方向向量，則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角20、（1），，雙曲線的漸近線方程為和；（2）.【解析】（1）根據雙曲線的離心率公式，結合虛軸長的定義進行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯立，利用方程解的個數進行求解即可.【小問1詳解】因為雙曲線的離心率為，所以有ca而該雙曲線的虛軸的長為4，所以，所以，因此雙曲線的浙近線方程為：y=±x?x-y=0或；【小問2詳解】由（1）可知：，，所以該雙曲線的標準方程為：，與直線聯立得：，因為直線與雙曲線相交于互異兩點，所以有：且，所以的取值范圍為：.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設等差數列的公差為，則，根據題意可得出關于的方程，求出的值，利用等差數列的通項公式可求得數列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求出，即可證得結論成立.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，由題意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，，故原不