吉林省重點中學2025屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

吉林省重點中學2025屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．大數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列的前n項和為，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件4．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，5，11，21，37，61，則該數(shù)列的第7項為（）A.95 B.131C.139 D.1415．已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（）A.2 B.C.1 D.6．已知函數(shù)，則（）A.3 B.C. D.7．直線與圓相切，則實數(shù)等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或38．數(shù)學中的數(shù)形結合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點到坐標原點0的距離都不超過2；③曲線C構成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點).則上述結論中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.49．設圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.10．已知點，點關于原點的對稱點為，則（）A. B.C. D.11．把點隨機投入長為，寬為的矩形內，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.12．傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______14．如圖，圖形中的圓是正方形的內切圓，點E，F(xiàn)，G，H為對角線與圓的交點，若向正方形內隨機投入一點，則該點落在陰影部分區(qū)域內的概率為_________15．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是16．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某城鎮(zhèn)為推進生態(tài)城鎮(zhèn)建設，對城鎮(zhèn)的生態(tài)環(huán)境、市容市貌等方面進行了全面治理，為了解城鎮(zhèn)居民對治理情況的評價和建議，現(xiàn)隨機抽取了200名居民進行問卷并評分（滿分100分），將評分結果制成如下頻率分布直方圖，已知圖中a，b，c成等比數(shù)列，且公比為2（1）求圖中a，b，c的值，并估計評分的均值（各段分數(shù)用該段中點值作代表）；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在評分為“50～60”和“80～90”的居民中用分層抽樣的方法抽取了6個居民．若從這6個居民中隨機選擇2個參加座談，求所抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率18．（12分）如圖，在正方體中，是棱的中點.（1）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；（2）求證：直線面.19．（12分）已知O為坐標原點，點，設動點W到直線的距離為d，且，.（1）記動點W的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，直線與曲線C交于，兩點，直線l與的交點為P（P不在曲線C上），且，設直線l，的斜率分別為k，.求證：為定值.20．（12分）已知三角形內角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.21．（12分）已知等差數(shù)列滿足；正項等比數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）數(shù)列滿足，的前n項和為，求的最大值.22．（10分）設數(shù)列的前項和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】直接求出，，進而求出漸近線方程.【詳解】中，，，所以漸近線方程為，故.故選：A2、C【解析】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C3、D【解析】由充分必要條件的定義，結合等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及利用特殊數(shù)列的分法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設等比數(shù)列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當，可得，此時數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立，所以數(shù)列是等比數(shù)列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.4、A【解析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉化求解即可【詳解】由題意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的數(shù)列為4，6，10，16，24，……，則這個數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2，4，6，8，……，是一個等差數(shù)列，設原數(shù)列的第7項為，則，解得，所以原數(shù)列的第7項為95，故選：A5、B【解析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，可得，解之得故選：B6、B【解析】由導數(shù)運算法則求出導發(fā)函數(shù)，然后可得導數(shù)值【詳解】由題意，所以故選：B7、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得結果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因為直線與圓相切，所以，得，解得或，故選：C8、B【解析】對于①，由判斷，對于②，利用基本不等式可判斷，對于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進行比較即可，對于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點，從而可判斷【詳解】對于①，由，得異號，方程(xy<0)關于原點及y=x對稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對于②，因為，所以，所以，所以，所以由曲線的對稱性可知曲線C上任一點到坐標原點0的距離都不超過2，所以②正確，對于③，由②可知曲線C上到原點的距離不超過2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯誤，對于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點，，，，而點（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過任何整數(shù)點，由曲線的對稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點，所以曲線C上只有1個整點（0，0），所以④錯誤，故選：B9、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設，因為圓：①和圓：②交于A，B兩點所以由①-②得：,即，故坐標滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A10、C【解析】根據(jù)空間兩點間距離公式，結合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C11、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計算可得結果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內，所求概率.故選：A.12、A【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關系，結合直線斜截式方程進行求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角為45°，所以該直線的斜率為，又因為該直線在y軸上的截距為2022，所以該直線的方程為：，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點到準線的距離為4，所以，則拋物線：，設點的坐標為，的坐標為，因為，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1514、【解析】利用幾何概型概率計算公式，計算得所求概率.【詳解】設正方形的邊長為2，則陰影部分的面積為，故若向正方形內隨機投入一點，則該點落在陰影部分區(qū)域內概率為故答案為：.15、對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【解析】因為命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定為：對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0故答案為對任何x∈R，都有x2+2x+5≠016、【解析】本題著重考查等比中項的性質，以及橢圓的離心率等幾何性質，同時考查了函數(shù)與方程，轉化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質解題.由橢圓的性質可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關的方程，然后化為有關的齊次式方程，進而轉化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質.來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標準方程的求解等.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，均值為65.6（2）【解析】（1）根據(jù)a，b，c成等比數(shù)列且公比為2，得到a，b，c的關系，利用頻率之和為1，求出a，b，c，估計評分的均值；（2）利用列舉法得到基本事件，求出相應的概率.【小問1詳解】由題意得，，，有，所以，即，解得，于是，評分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分別為0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，則均分估計值為【小問2詳解】評分在“50～60”和“80～90”分別有40人和20人則所抽取的6個居民中，評分在“80～90”一組有2人，記為A1，A2，評分在“50～60”一組4人，記為B1，B2，B3，B4從這6人中選取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15個其中至少有1個評分在“80～90”的基本事件有9個則所求的概率，即抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率為18、（1）平面AEC，理由見解析（2）證明見解析【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可；（2）以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD，設，連接OE.在中，O、E分別是BD、的中點，則.因為直線OE在平面AEC上，而直線不在平面AEC上，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中，故，又，故同理故，又，故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線平面.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設點，由即所以化簡即可得到答案.（2）設，，設直線l的方程為：與（1）中W的軌跡方程聯(lián)立，得出韋達定理，求出，同理設直線的方程為：，得出，再根據(jù)從而可證明結論.【小問1詳解】設點，因為，所以，因為，所以所以所以所以所以C的方程為：【小問2詳解】設，，設直線l的方程為：，則由得：所以，，所以所以設直線的方程為：，則同理可得因所以即，即，即解得，即所以為定值.20、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關系結合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因為，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，所以小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=21、（1），（2）8【解析】（1）利用已知的關系把替換成，再把兩式作差后整理即得通項公式，的通項公式可由已知條件建立基本量的方程求解.（2）由的通項公式可判斷，，，當時，所有正項的和即為的最大項的值.小問1詳解】，，兩式相減得所以，又也滿足，故；設等比數(shù)列的公比為，由得，即，因為，即，，（負值舍去），所以【小問2詳解】由題意，，則，，，且當時，所以的最大值是.22、（1）；詳見解析；（2）5.【解析】（1