上海市市三女中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

上海市市三女中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.2．設(shè)等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.4．若則（）A.?2 B.?1C.1 D.25．在下列函數(shù)中，求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.， B.，C.， D.，6．在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（）A. B.C. D.7．觀察數(shù)列，（），，（）的特點(diǎn)，則括號(hào)中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.8．二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.329．若，則（）A B.C. D.10．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．如圖，在空間四邊形中，（）A. B.C. D.12．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F斜率為的直線與拋物線C交于點(diǎn)M（M在x軸的上方），過(guò)M作于點(diǎn)N，連接NF交拋物線C于點(diǎn)Q，則__________14．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2020>0，S2021<0，則當(dāng)n=_____________時(shí)，Sn最大.15．?dāng)?shù)列滿足，則_______________.16．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則的通項(xiàng)公式為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且___________.（1）求角的大??；（2）已知，，點(diǎn)在邊上，且，求線段的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．（12分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且滿足下列條件，求相應(yīng)的方程.（1）過(guò)點(diǎn)；（2）與直線垂直.19．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積20．（12分）某廠A車間為了確定合理的工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了五次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：加工零件的個(gè)數(shù)x12345加工的時(shí)間y（小時(shí)）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖；（2）求出y關(guān)于x的回歸方程；（3）試預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要多少時(shí)間？參考公式：，21．（12分）已知橢圓的離心率是，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值.22．（10分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識(shí)，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以，故選：B3、B【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.4、B【解析】分子分母同除以，化弦為切，代入即得結(jié)果.【詳解】由題意，分子分母同除以，可得.故選：B.5、B【解析】分別求得每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷.詳解】；；；.故求導(dǎo)錯(cuò)誤的是B.故選：B.6、A【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長(zhǎng)為1的正四面體中，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A7、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.故選：D8、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D9、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因?yàn)椋?，故選：D10、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.11、A【解析】利用空間向量加減法法則直接運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則得.故選：A.12、B【解析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，故.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意畫出圖形，寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，求得即可求解【詳解】解：如圖，由拋物線，得，，則，與拋物線聯(lián)立得，解得、，，，，，為等邊三角形，，過(guò)作軸的垂線交軸于，設(shè)，，，，，在拋物線上，，解得，，，，則，故答案為：14、1010【解析】先由S2020>0，S2021<0，判斷出，，即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，所以，因?yàn)?+2020=1010+1011，所以，所以.，所以，所以當(dāng)n=1010時(shí)，Sn最大.故答案為：1010.15、【解析】利用來(lái)求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】，，是數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：16、【解析】討論和兩種情況，進(jìn)而利用求得答案.【詳解】由題意，時(shí)，，時(shí)，，則，于是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡(jiǎn)，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡(jiǎn)可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而求得,設(shè)，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問1詳解】若選①，則根據(jù)正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；【小問2詳解】如圖示：,故，故,在中，設(shè)，則，則，即，解得，或（舍去）故.18、（1）（2）【解析】（1）直接利用兩點(diǎn)式寫出直線的方程；（2）先求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線的方程.【小問1詳解】直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線的方程為.【小問2詳解】與直線垂直直線的斜率為由點(diǎn)斜式得直線的方程為.19、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標(biāo)，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出的值，從而可求出的值【小問1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設(shè)，，由可得，所以，，所以，所以20、（1）圖見解析；（2）；（3）小時(shí).【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.（2）由表格中的數(shù)據(jù)代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時(shí)間.【小問1詳解】【小問2詳解】由表中數(shù)據(jù)得：，，，，由x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要小時(shí)21、（1）；（2）2.【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l和x軸垂直時(shí)，根據(jù)已知條件求出此時(shí)△AOB面積；直線l和x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式y(tǒng)＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)得k和t關(guān)系，表示出△AOB的面積，結(jié)合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)軸時(shí)，位于軸上，且，由可得，此時(shí)；當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設(shè)到直線的距離為，則，結(jié)合化簡(jiǎn)得此時(shí)的面積最大，最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜上，的面積的最大值為2.22、(1)見解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個(gè)法向量，且，所以.又∵平面，