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廣東省惠陽高級中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過拋物線()的焦點(diǎn)作斜率大于的直線交拋物線于,兩點(diǎn)(在的上方),且與準(zhǔn)線交于點(diǎn),若,則A. B.C. D.2.已知函數(shù),的導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,則的極值情況為()A.2個(gè)極大值,1個(gè)極小值 B.1個(gè)極大值,1個(gè)極小值C.1個(gè)極大值,2個(gè)極小值 D.1個(gè)極大值,無極小值3.已知直線與橢圓:()相交于,兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)在直線:上,則橢圓的離心率為()A. B.C. D.4.?dāng)?shù)列中,,,.當(dāng)時(shí),則n等于()A.2016 B.2017C.2018 D.20195.已知F(3,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),過F且垂直x軸的弦長為,則該橢圓的方程為()A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=16.已知數(shù)列滿足,,,前項(xiàng)和()A. B.C. D.7.已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn),是它們一個(gè)交點(diǎn),且,記橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的最大值為A.3 B.2C. D.8.在等差數(shù)列中,,則()A.6 B.3C.2 D.19.橢圓:與雙曲線:的離心率之積為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn),則的最小值為()A. B.2C. D.311.已知直線與直線平行,則實(shí)數(shù)a的值為()A.1 B.C.1或 D.12.已知向量,,且,則的值為()A. B.C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,且,則__________14.滕王閣,江南三大名樓之一,因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中“落霞與孤鶩齊飛,秋水共長天一色”而名傳千古,流芳后世.如圖,在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn),,處測得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為,,.且米,則滕王閣高度___________米.15.若,是雙曲線與橢圓的共同焦點(diǎn),點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),且為等腰三角形,則該雙曲線的漸近線為______16.知函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知的三個(gè)內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且滿足.(1)求角的大?。唬?)若,,,求的長.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓()的離心率是e,定義直線為橢圓的“類準(zhǔn)線”,已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為,長軸長為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A為橢圓C的右頂點(diǎn),直線l交橢圓C于E,F(xiàn)兩不同點(diǎn)(點(diǎn)E,F(xiàn)與點(diǎn)A不重合),且滿足,若點(diǎn)P滿足,求直線的斜率的取值范圍.19.(12分)圓過點(diǎn)A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周長最小的圓的方程;(2)圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程20.(12分)已知函數(shù),若函數(shù)處取得極值(1)求,的值;(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值21.(12分)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與直線相切,圓心的軌跡為(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)已知直線交軌跡于兩點(diǎn),,且中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則的最大值為多少?22.(10分)已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性.(2)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分別過作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,設(shè),則,,故選A.2、B【解析】根據(jù)圖象判斷的正負(fù),再根據(jù)極值的定義分析判斷即可【詳解】由,得,令,由圖可知的三個(gè)根即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,所以為的極大值點(diǎn),為的極大值,當(dāng)時(shí),,即,所以為的極小值點(diǎn),為的極小值,故選:B3、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,求出中點(diǎn)坐標(biāo),再由條件得到,再由,,的關(guān)系和離心率公式,即可求出離心率.【詳解】解:將直線代入橢圓方程得,,即,設(shè),,,,則,即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,縱坐標(biāo)是,由于線段的中點(diǎn)在直線上,則,又,則,,即橢圓的離心率為.故選:A4、B【解析】根據(jù)已知條件用逐差法求得的通項(xiàng)公式,再根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得,代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?,則,即,則,故,又,即,解得.故選:B.5、C【解析】根據(jù)已知條件求得,由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意,所以橢圓方程為.故選:C6、C【解析】根據(jù),利用對數(shù)運(yùn)算得到,再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】解:因?yàn)?,所以,則,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,故選:C7、D【解析】設(shè)橢圓長半軸長為a1,雙曲線的半實(shí)軸長a2,焦距2c.根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到,利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖,設(shè)橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實(shí)軸長為a2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義:|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|﹣|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1﹣a2,設(shè)|F1F2|=2c,∠F1PF2=,則:在△PF1F2中,由余弦定理得,4c2=(a1+a2)2+(a1﹣a2)2﹣2(a1+a2)(a1﹣a2)cos∴化簡得:a12+3a22=4c2,該式可變成:,∴≥2∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征,考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長,考查利用基本不等式求最值問題,屬于中檔題8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,故選:B9、C【解析】先求出橢圓的離心率,再由題意得出雙曲線的離心率,根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓:的離心率為,則,依題意,雙曲線;的離心率為,而,于是得,解得:,所以雙曲線的漸近線方程為故選:C10、D【解析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程,過A作l的垂線段,結(jié)合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線l:,顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi),過A作AM⊥l于M,交拋物線C于P,如圖,在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn),過作于點(diǎn)N,連PF,AN,,由拋物線定義知,,于是得,即點(diǎn)P是過A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí),取最小值,所以的最小值為3.故選:D11、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程,化簡求得,檢驗(yàn)后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行,所以,或,當(dāng)時(shí),兩直線方程都為,即兩直線重合,所以不符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意.故選:A12、C【解析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)得,代入數(shù)值解方程組即可.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,解得?故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##9.5【解析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)時(shí),的值,再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù),當(dāng)時(shí),,因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,且,則,,同理,令,又,則有,,所以.故答案為:14、【解析】設(shè),由邊角關(guān)系可得,,,在和中,利用余弦定理列方程,結(jié)合可解得的值,進(jìn)而可得長.【詳解】設(shè),因?yàn)?,,,所以,,?在中,,即①.,在中,,即②,因?yàn)?,所以①②兩式相加可得:,解得:,則,故答案為:.15、【解析】根據(jù)給定條件求出兩曲線的共同焦點(diǎn),再由橢圓、雙曲線定義求出a,b即可計(jì)算作答.【詳解】橢圓的焦點(diǎn),由橢圓、雙曲線的對稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限,因?yàn)榈妊切危蓹E圓的定義知:,則,,由雙曲線定義知:,即,,,所以雙曲線的漸近線為:.故答案為:【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:雙曲線(a>0,b>0)漸近線方程為,而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即),應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.16、【解析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合冪函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的分布,進(jìn)而求m的范圍.【詳解】由解析式知:在上為增函數(shù)且,在上,時(shí)為單調(diào)函數(shù),時(shí)無零點(diǎn),故要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即兩側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn),所以在上必遞減且,則,可得.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)由正弦定理化邊為角后,結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得;(2)用表示出,然后平方由數(shù)量積的運(yùn)算求得向量的模(線段長度)【詳解】(1)因?yàn)?,所以由正弦定理可得,即,因?yàn)椋?,,∵,故;?)由,得,所以,所以.18、(1);(2).【解析】(1)由題意列關(guān)于,,的方程,聯(lián)立方程組求得,,,則橢圓方程可求;(2)分直線軸與直線l不垂直于x軸兩種情況討論,當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè),,直線l:(,),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,消元由,得到,再列出韋達(dá)定理,由則,解得,再由,求出的坐標(biāo),則,再利用基本不等式求出取值范圍;【詳解】解:(1)由題意得:,,又,聯(lián)立以上可得:,,,橢圓C的方程為.(2)由(1)得,當(dāng)直線軸時(shí),又,聯(lián)立得,解得或,所以,此時(shí),直線的斜率為0.當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè),,直線l:(,),聯(lián)立,整理得,依題意,即(*)且,.又,,,即,且t滿足(*),,,故直線的斜率,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,此時(shí);當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,此時(shí);綜上,直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程,直線與橢圓的綜合應(yīng)用,屬于難題.19、(1)x2+(y-1)2=10;(2)(x-3)2+(y-2)2=20.【解析】(1)根據(jù)當(dāng)AB為直徑時(shí),過A,B的圓的半徑最小進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)垂徑定理,通過解方程組求出圓心坐標(biāo),進(jìn)而可以求出圓的方程.【詳解】解:(1)當(dāng)AB為直徑時(shí),過A,B的圓的半徑最小,從而周長最小,即AB中點(diǎn)(0,1)為圓心,半徑r=|AB|=.故圓的方程為x2+(y-1)2=10;(2)由于AB的斜率為k=-3,則AB的垂直平分線的斜率為,AB的垂直平分線的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.由解得即圓心坐標(biāo)是C(3,2)又r=|AC|==2.所以圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.20、(1);(2)最大值為,最小值為【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),由即可解得;(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而可以求出函數(shù)的最值.【詳解】解:(1)由題意,可得,得.(2),令,得或(舍去)當(dāng)變化時(shí),與變化如下遞增遞減所以函數(shù)在上的最大值為,最小值為.21、(1)(2)【解析】(1)利用拋物線的定義直接可得軌跡方程;(2)設(shè)直線方程,聯(lián)立方程組,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【小問1詳解】由題設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到的距離,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,所求軌跡的方程為;【小問2詳解】由題意易知直線的斜率存在,設(shè)中點(diǎn)為,直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線,得,,且,,又中點(diǎn)為,即,,故恒成立,,,所以,當(dāng)時(shí),取最大值為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長公式22、(1)在R上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間;(2)證明見解析.【解析】(1)對求導(dǎo),令并應(yīng)用
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