云南省寧蒗縣一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

云南省寧蒗縣一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.9 B.8C.7 D.62．某機(jī)構(gòu)通過(guò)抽樣調(diào)查，利用列聯(lián)表和統(tǒng)計(jì)量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)，計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知，，現(xiàn)給出四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.因?yàn)椋视?0%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)"B.因?yàn)?，故?5%把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”C.因?yàn)?，故?0%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無(wú)關(guān)”D.因?yàn)?，故?5%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無(wú)關(guān)”3．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A.99 B.131C.139 D.1414．已知等比數(shù)列的公比為q，且，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.6．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知x，y是實(shí)數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.8．函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.9．在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.10．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點(diǎn)P滿足，則（）A. B.1C. D.211．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為_(kāi)__________.14．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公比，則______15．在平行六面體中，點(diǎn)P是AC與BD的交點(diǎn)，若，且，則___________.16．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，求直線的方程18．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求19．（12分）某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學(xué)生有180人.（1）請(qǐng)求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會(huì)，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.20．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為2的直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積.21．（12分）已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時(shí)y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值22．（10分）如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，結(jié)合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故選：A2、A【解析】根據(jù)給定條件利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)直接判斷作答.【詳解】因，且，由臨界值表知，，，所以有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，則A正確，C不正確；.因臨界值3.841>3.305，則不能確定有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，也不能確定有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無(wú)關(guān)”，即B，D都不正確.故選：A3、D【解析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D4、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，則，則數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，，因?yàn)?，所以，則可得，所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B5、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進(jìn)而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個(gè)數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C6、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.7、D【解析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時(shí)斜率最大.此時(shí)，，，所以的最大值為.故選：D8、B【解析】由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，排除A、D；又由指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，排除C.故選：B9、A【解析】根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.10、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點(diǎn)P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點(diǎn)P滿足，所以，則，故，可得，此時(shí)，所以.故選：D11、B【解析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B12、C【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】首先求出數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)，再判斷取得最小值時(shí)n的值.【詳解】當(dāng)，，解得：，當(dāng)和時(shí)，，所以取得最小值時(shí)，.故答案為：714、4【解析】根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：415、【解析】由向量的運(yùn)算法則，求得，根據(jù)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：16、80【解析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：80三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質(zhì)列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后由距離公式得出直線的方程【小問(wèn)1詳解】由題意可得，得，，橢圓；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，直線為由，得顯然，由韋達(dá)定理有：，則；所以，且，若，解得，所以18、（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于等比數(shù)列首項(xiàng)、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，解方程即可解決.【小問(wèn)1詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為則有，解之得則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)2詳解】由，可得19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出[50，60]的頻率，180除以該頻率即為n的值；(2)將的樣本編號(hào)為a、b，將的樣本編號(hào)為A、B、C，利用列舉法即可求概率.【小問(wèn)1詳解】由于支出金額在的頻率為，∴.【小問(wèn)2詳解】采用分層抽樣抽取的的人數(shù)比應(yīng)為2：3，∴5人中有2人零食支出位于，記為、；有3人零食支出在，記為A、B、C.從這5人中選取2人有，，，，，，，，，，共10種情況；其中內(nèi)正好各抽取一人有，，，，，，共6種情況.∴在內(nèi)正好各抽取一人的概率為.20、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，即求；（2）由題可設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法結(jié)合三角形面積公式即求.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解法一：由（1）得，則由題意可設(shè)直線，代入橢圓方程整理可得，設(shè)，則，則由弦長(zhǎng)公式知，又設(shè)到的距離為，則由點(diǎn)到直線距離公式可得，的面積，即所求面積為.解法二：由（1）得，則由題意可設(shè)直線，即代入橢圓方程整理可得，設(shè)，則，，則的面積，即所求面積為.21、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可求得f（x）的極值，檢驗(yàn)邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣322、（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得