2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明1.2類比推理課后鞏固提升含解析北師大版選修1-2

PAGE1.2類比推理[A組基礎(chǔ)鞏固]1．下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適的是()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形解析：因?yàn)槠叫辛骟w相對(duì)的兩個(gè)面相互平行，類比平面圖形，則相對(duì)的兩條邊相互平行，故選C.答案：C2．在R上定義運(yùn)算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1對(duì)隨意實(shí)數(shù)x成立，則()A．－1<a<1 B．0<a<2C．－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)<a<eq\f(1,2)解析：由題意得，(x－a)(1－x－a)<1，即x2－x－(a2－a－1)>0對(duì)于隨意x恒成立，所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)，故選C.答案：C3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的方程為()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ac)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1解析：由類比推理可知，方程應(yīng)為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.答案：A4．對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點(diǎn)，但不是重心B．一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C．一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D．中心解析：由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個(gè)側(cè)面的中心．答案：D5．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S-ABC的體積為V，則r等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．則四面體的體積為V四面體S-ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C6．類比平面直角坐標(biāo)系中△ABC的重點(diǎn)G(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))的坐標(biāo)公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)＝\f(x1＋x2＋x3,3),\x\to(y)＝\f(y1＋y2＋y3,3)))(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1、y1、z1)、B(x2、y2、z2)、C(x3、y3、z3)、D(x4、y4、z4)為頂點(diǎn)的四面體A-BCD的重點(diǎn)G(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\x\to(z))的公式為_(kāi)_______．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)＝\f(x1＋x2＋x3＋x4,4),\x\to(y)＝\f(y1＋y2＋y3＋y4,4),\x\to(z)＝\f(z1＋z2＋z3＋z4,4)))7．在平面上，若兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶88．有如下真命題：“若數(shù)列{an}是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{an＋an＋1＋an＋2}是公差為3d的等差數(shù)列．”把上述命題類比到等比數(shù)列中，可得真命題是(填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可)．解析：可將加法類比為乘法，將公差中的倍數(shù)類比成公比的乘方得出相應(yīng)結(jié)論．答案：“若數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列{bn·bn＋1·bn＋2}是公比為q3的等比數(shù)列”9．在△ABC中，余弦定理可敘述為a2＝b2＋c2－2bccosA，其中a、b、c依次為角A、B、C的對(duì)邊，類比上述定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想．解析：如圖，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC，平面PBC與平面PCA，平面PCA與平面ABP之間所成二面角的大?。什孪胗嘞叶ɡ眍惐韧评淼饺S空間的表現(xiàn)形式為：S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ.10.如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想．解析：如圖所示，在四面體P-ABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。覀儾孪肷溆岸ɡ眍惐韧评淼饺S空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為：S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[B組實(shí)力提升]1．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)解析：設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形的高都是r，底邊長(zhǎng)分別為a、b、c；類比：設(shè)四面體A-BCD的內(nèi)切球的球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來(lái)面為底面的四面體，高都為r，所以有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案：C2．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，結(jié)論仍舊正確的是()A．假如一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交B．假如一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直C．假如兩條直線同時(shí)與第三條直線相交，則這兩條直線相交或平行D．假如兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行解析：推廣到空間以后，對(duì)于A、C、D均有可能異面，故選B.答案：B3．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，則am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m).類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，則可以得到bm＋n＝________.解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閍n＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m)，所以類比得bm＋n＝eq\r(n－m,\f(dn,cm)).答案：eq\r(n－m,\f(dn,cm))4．已知x∈R且f(x＋1)＝－f(x)，則f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，得f(x)的一個(gè)周期為2，類比上述結(jié)論，請(qǐng)寫出下列兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．(1)已知a為正的常數(shù)，x∈R且f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的一個(gè)周期為_(kāi)_______；(2)已知a為正的常數(shù)，x∈R且f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，則f(x)的一個(gè)周期為_(kāi)_______．解析：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)的一個(gè)周期為2a.(2)∵f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，∴f(x＋2a)＝eq\f(fx＋a－1,fx＋a＋1)＝eq\f(\f(fx－1,fx＋1)－1,\f(fx－1,fx＋1)＋1)＝－eq\f(1,fx).∴f(x＋4a)＝－eq\f(1,fx＋2a)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．∴f(x)的周期為4a.答案：(1)2a(2)4a5.如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N＋，m≥2)．(1)寫出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2,3,4,5，…時(shí)，方陣中士兵的人數(shù)；(2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求a10，并說(shuō)明a10表示的實(shí)際意義；(4)已知an＝9900，問(wèn)an是數(shù)列的第幾項(xiàng)？解析：(1)當(dāng)m＝2時(shí)，表示一個(gè)2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當(dāng)m＝3、4、5，…時(shí)的士兵人數(shù)分別為12,20,30，….故所求數(shù)列為6,12,20,30，….(2)因?yàn)閍1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N＋.(3)a10＝11×12＝132.a10表示有11行12列的士兵方陣的人數(shù)為132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是數(shù)列的第98項(xiàng)，此時(shí)方陣有99行100列．6.如圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.(1)求證：CC1⊥MN；(2)在隨意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．解析：(1)證明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cosα.其中α為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面