本構(gòu)模型之鄧肯張模型

本構(gòu)模型之鄧肯張模型主要是根據(jù)試驗(yàn)成果擬合推導(dǎo)得出鄧肯-張雙曲線模型

該模型是一種建立在增量廣義虎克定律基礎(chǔ)上的非線性彈性模型，可經(jīng)反映應(yīng)力～應(yīng)變關(guān)系的非線性，模型參數(shù)只有８個(gè)，且物理意義明確，易于掌握，并可通過靜三軸試驗(yàn)全部確定，便于在數(shù)值計(jì)算中運(yùn)用，因而，得到了廣泛地應(yīng)用。鄧肯張應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系之雙曲線圖

康納（Kondner）1963年根據(jù)大量土的三軸試驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，提出的可以用雙曲線擬合出一般土的三軸試驗(yàn)

對于常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)，軸應(yīng)變。鄧肯等人根據(jù)這一雙曲線應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系提出了一種目前被廣泛應(yīng)用的增量彈性模型，一般被稱為鄧肯——張（Duncan-Chang）模型。(1)常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)的結(jié)果按的關(guān)系進(jìn)行調(diào)整

(2)在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中，由于，所以切線模量為在試驗(yàn)的起始點(diǎn)，則：這表明代表的是在這個(gè)試驗(yàn)中的起始變形模量(初始切線模量)的倒數(shù)。

(3)(4)在式（1）中，如果，則：或者:由此可看出b代表的是雙曲線的漸進(jìn)線所對應(yīng)的極限偏差應(yīng)力的倒數(shù)。在試驗(yàn)中不可能無限大，求取；對于有峰值點(diǎn)的情況，取，這樣定義破壞比為：(5)(6)(7)值一般在0.75~1.0之間將式（8）、式（4）代入式（3）中，得式（9）中表示為應(yīng)變的函數(shù)，可將表示為應(yīng)力的函數(shù)形式。從式（1）可以得到(8)(9)(10)將式（10）代入式（3），得將式（8）、式（4）代入式（11），得根據(jù)莫爾－庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則，有

(11)(12)(13)如果繪出與直線，則其截距等于lgK，斜率等于n，

Pa為大氣壓，單位與Ｅi相同，以便使Ei/Pa、/Pa成為無量綱數(shù)

/Pa成為無量綱數(shù)

K、n為無因次基數(shù)和無因次指數(shù),是決定于土質(zhì)的試驗(yàn)常數(shù)，由lg(Ei/Pa)與lg(σ3/Pa)直線關(guān)系確定，其截距為lgK、斜率為n。Ei為初始切線模量，Ei＝1/a,

Pa大氣壓力。將式（13）和式（14）代入式（12）則得到任一應(yīng)力（，）時(shí)的切線模量的鄧肯－張計(jì)算公式：可見切線變形模量的公式中共包括5個(gè)材料常數(shù)(14)這樣我們就求出了切線變形模量下面我們切線泊松比

鄧肯等人根據(jù)一些試驗(yàn)資料，發(fā)現(xiàn)在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中，軸向應(yīng)變與側(cè)向應(yīng)變之間也存在雙曲線關(guān)系

或者(16)(17)從式（17）可以看出，試驗(yàn)得到的與的關(guān)系為直線關(guān)系，見圖（b）,從而可確定截距與斜率。

從式（17）和圖（b）可見，當(dāng)時(shí)，即為初始泊松比，為關(guān)系漸進(jìn)線的倒數(shù)（見圖（a））。試驗(yàn)表明土的初始泊松比與試驗(yàn)圍壓有關(guān)，將它們畫在單對數(shù)坐標(biāo)中，可假設(shè)是一條直線，見圖(c)，這樣為試驗(yàn)常數(shù)，其確定見圖(c)。

(18)將式（16）微分，得：將式（4）、式（8）、式（10）和式（18）代入式（19），則得到任一應(yīng)力（σ1，σ3）時(shí)的泊松比的鄧肯－張計(jì)算公式：(19)(20)這樣在切線泊松比的計(jì)算公式中又引人了等3種材料常數(shù)