工程力學第2章

第2章平面匯交力系2.3.1力的分解2.3力的分解力的投影為得到唯一確定的結果，則需要對分力的大小、方向等附加一定的限制條件。用力的平行四邊形法則將力R分解為兩個分力，稱為力的分解力R沿M和N方向分解F1和F2稱為R的分力力R兩個相互垂直方向分解2.3.2力的投影力F在某軸x上的投影，等于力F的大小乘以力與該軸正向夾角α的余弦，記為X，即當力與軸的正向夾角α為銳角時取正值，反之，取負值。力在軸上的投影是代數(shù)量。已知力F在兩個正交軸上的投影X和Y，可以確定力F的大小和方向：力F與其在兩個正交軸上的投影X和Y是1-1對應的。因此可以用力F與其在兩個正交軸上的投影X和Y

來表示力。力F與其在任意兩個斜交的軸上的投影X和Y

來唯一表示。2.3.3合力投影定理由ae=ab+bc-cd+de

合力投影定理：力系合力在任一軸上的投影，等于力系中各力在同一軸上的投影的代數(shù)和。2.4平面匯交力系合成與平衡的解析法2.4.1平面匯交力系合成的解析法以匯交點O為原點建立直角坐標系Oxy,按合力投影定理求合力在x,y軸上的投影計算合力的大小和方向的這種方法，稱為平面匯交力系合成的解析法。例2-3在圖示的平面匯交力系中，F(xiàn)1=30N、F2=100N、F3=20N。O點為力系的匯交點，求該力系的合力。解取力系匯交點O為坐標原點，建立坐標系如圖。合力在軸上的投影分別為：合力的大小和方向：解得合力作用線通過O點，位于第二象限內(nèi)。

2.4.2平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系平衡的必要與充分條件是力系的合力R等于零。合力R為零等價于平面匯交力系平衡的必要與充分條件可解析地表達為：力系中所有各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別為零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。平面匯交力系有兩個獨立的平衡方程，可用于求解兩個未知量。例2-4小滑輪C連接在鉸接三腳架ABC上。繩索繞過絞車D，另一端懸掛重P=100kN的重物。不計各構件自重和滑輪C的尺寸。求桿AC和BC所受的力。解（1）取分離體，畫受力圖。取滑輪C和繞在它上面的一小段繩索為分離體。（2）列平衡方程，求解未知量。選力系匯交點C為坐標原點，坐標軸如圖所示。寫平衡方程：

(1)

(2)由式(2)解得SCA=300N，將此值代入式(1)，解得SCB=-389.7N。SCA為正值，表明受力圖中力SCA的指向與實際指向相同。SCB為負值，表明受力圖中力SCB的指向與實際指向相反，即桿BC受壓。例2-5連桿機構由三個無重桿鉸接組成。鉸B處受力水平為P作用，當機構處于平衡狀態(tài)時，鉸C處的水平力F的值為多大？解:解題思路分析：機構整體所受的力系（P，F(xiàn)，SA，SD）不是平面匯交力系。所以，不能取整體機構作為研究對象來求解。待求力F作用在鉸C上，鉸C受平面匯交力系（F，SCB，SCD）作用。但力系中三個力均為未知，只有事先求得SCB和SCD，才能求力F。鉸C的受力情況如圖所示。鉸B受平面匯交力系（P，SBC，SBA）作用。以鉸B為研究對象，可求SBC。桿BC為二力桿，可知SBC=SCB，且二力指向相反。綜上分析，求解過程如下：(1)取鉸B為分離體，受力圖如圖所示。選y軸與力SBA垂直，由平衡方程解得

(2)取鉸C為分離體，受力圖如圖所示。選y軸與力SCD垂直，由平衡方程代入解得將以上分析和求解的過程中，著重強調(diào)的是兩個問題：一是要在了解研究對象的受力情況的基礎上，恰當?shù)剡x取分離體，以最簡捷的思路給出求解未知量的過程。二是要恰當?shù)剡x取坐標軸和平衡方程，提高計算工作的效率。求解較復雜的平面問題時首先構思解題方案，形成解題思路，這不但是正確、順利地解題的指導和保證，更是培養(yǎng)分析、解決問題能力的必不可缺的訓練。例2-6結構由AB、BC、EF三個構件組成，尺寸和荷載如圖所示。不計構件自重，求鉸B處構件AB與BC的相互作用力。解：解題思路分析：鉸B的約束反力是整體結構的內(nèi)力，不能在整體結構上求得?？扇嫾嗀B或BC為研究對象，求鉸B的反力。桿AB在A、E、B三點受約束反力作用，其中A、E兩點的約束反力作用線已知，可用三力平衡定理確定B點反力作用線并用平面匯交力系平衡方程求解。桿AB上A、E、B三點所受力均為未知，但A點反力可從整體結構的受力圖上求得。綜上分析，求解過程如下：取整體結構為分離體。所受的外力為主動力P，鏈桿支座A的反力NA，固定鉸支座C的反力NC。反力NC的作用線用三力平衡定理確定。受力圖如圖所示，其中反力NA和NC的指向是假定的。選坐標軸y與反力NE垂直，列平衡方程：其中，代入方程，解得小結

1．平面匯交力系合成的結果是一合力，合力作用于力系的匯交點，合力的大小和方向以用兩種方法得到：(1)幾何法作力多邊形，由力多邊形的封閉邊決定合力的大小和方向。(2)解析法用合力投影定理求合力在直角坐標系兩個軸上的投影，按式(2-6)決定合力的大小和方向。2．平面匯交力系的平衡條件是力系的合力為零。平衡條件有兩種不同的表達形式：(1)平衡的幾何條件力多邊形是自身封閉的力多邊形。(2)平衡的解析條件合力在兩個坐標軸上的投影分別為零。3．兩種平衡條件的應用方法(1)應用平衡的幾何條件解題。作受力分析時，對未知力只定出作用線方位。通過作出封閉力多邊形，確定未知力的指向，并求解未知力的值。(2)應用平衡方程解題。作受力分析時，需假定未知力的