2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限和連續(xù)

第二章解析函數(shù)§2.3函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件§2.2解析函數(shù)的概念§2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性§2.4初等函數(shù)第二章解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)是自變量與因變量都取復(fù)數(shù)值的函數(shù),而解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類(lèi)具有特殊性質(zhì)的可導(dǎo)函數(shù),它在理論研究和實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.本章首先介紹復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性,然后討論函數(shù)解析的概念和判別方法,最后把我們所熟知的初等函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域上來(lái),并說(shuō)明它們的解析性.§2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性1.復(fù)變函數(shù)的概念定義2.1

設(shè)E為一復(fù)數(shù)集.若對(duì)E中的每一個(gè)復(fù)數(shù),按照某種法則f有確定的一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),那么稱(chēng)f是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)變函數(shù)）,記作

.

若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的一個(gè)值,則稱(chēng)復(fù)變函數(shù)f(z)是單值的,若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的兩個(gè)或兩個(gè)以上的值,則稱(chēng)復(fù)變函數(shù)f(z)是多值的.通常也稱(chēng)w=f(z)為定義在E上的復(fù)變函數(shù),其中E稱(chēng)為定義域,E中所有的z對(duì)應(yīng)的一切w值構(gòu)成的集合稱(chēng)為f(z)的值域,記作f(E)或G.

復(fù)數(shù)z=x+iy與w=u+iv分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)和(u,v),對(duì)于函數(shù)w=f(z),u,v為x,y

的二元實(shí)函數(shù)u(x,y)和v(x,y),所以w=f(z)又常寫(xiě)成w=u(x,y)+iv(x,y),從而對(duì)復(fù)變函數(shù)f(z)的討論可相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為對(duì)兩個(gè)實(shí)函數(shù)u(x,y)和v(x,y)的討論.

考察函數(shù)w=z2+1.令z=x+iy,w=u+iv,那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,從而w=z2+1對(duì)應(yīng)于兩個(gè)實(shí)函數(shù)u=x2-y2+1和v=2xy.

對(duì)于復(fù)變函數(shù)w=f(z)即(u+iv=f(x+iy)),可以理解為兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的映射.具體地說(shuō),復(fù)變函數(shù)w=f(z)給出了z平面上的點(diǎn)集E到w平面上的點(diǎn)集f(E)(或G)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：其中w稱(chēng)為z的像,z稱(chēng)為w的原像,如圖2.1所示.圖2.12.解仍是線(xiàn)段.練習(xí)：習(xí)題2P38：22.解仍是扇形域.練習(xí)：習(xí)題2P38：2解:①

當(dāng)x2-y2=k時(shí),u=k,所以將雙曲線(xiàn)映成直線(xiàn).②

當(dāng)2xy

=k時(shí),v=k,所以將雙曲線(xiàn)映成直線(xiàn).解z平面上的直線(xiàn)x=1對(duì)應(yīng)于w平面上的曲線(xiàn)：設(shè)則又例2.1

函數(shù)將z平面上的直線(xiàn)x=1映射成w

平面上的何種曲線(xiàn)？即所以將z平面上的直線(xiàn)x=1映射成了w

平面上的一個(gè)以為中心、為半徑的圓周（見(jiàn)圖2.2）.圖2.22.復(fù)變函數(shù)的極限

定義2.2

設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<r內(nèi),若存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的

＞0,都存在一正數(shù)

(0<

r),使得當(dāng)0<|z-z0|<r時(shí),有

或.則稱(chēng)函數(shù)f(z)當(dāng)z

z0時(shí)的極限存在,常數(shù)A為其極限值,記作圖2.3若極限存在則必唯一.

定義中z

z0的方式是任意的定理2.2

(極限運(yùn)算法則)若

若兩個(gè)函數(shù)f(z)和g(z)在點(diǎn)z0處有極限,則其和、差、積、商(要求分母不為零)在點(diǎn)z0處的極限仍存在,并且極限值等于f(z)、g(z)在點(diǎn)z0處的極限值的和、差、積、商.

則練習(xí)：習(xí)題2P38：3練習(xí)：習(xí)題2P38：33.求下列極限.定理2.1

設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib,則(1)設(shè)z=x+iy,則根據(jù)定理2.1,有可得又解例2.2

判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)處的極限是否存在,若存在,試求出極限值：(2)方法一設(shè)z=x+iy,則讓z沿直線(xiàn)y=kx趨向于0,有顯然它隨k值的不同而不同,所以不存在,

從而于是可得雖然,根據(jù)定理2.1,不存在.例如當(dāng)時(shí),

;當(dāng)時(shí),所以不存在.方法二

則設(shè)讓z沿不同射線(xiàn)趨向于0時(shí),f(z)趨向于不同的值.3.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定義2.3

若,則稱(chēng)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0

處連續(xù).定理2.3

若f(z),g(z)在點(diǎn)z0處連續(xù),則其和、差、積、商（要求分母不為零）在點(diǎn)z0處連續(xù).(1)多項(xiàng)式在整個(gè)復(fù)平面上連續(xù);如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D

內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),那么稱(chēng)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).(2)任何一個(gè)有理分式函數(shù)在復(fù)平面上除去使分母為零的點(diǎn)外處處連續(xù).定理2.4

若函數(shù)h=g(z)在點(diǎn)z0處連續(xù),函數(shù)

=f(h)在點(diǎn)h0=g(z0)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)

=f(g(z))在點(diǎn)z0處連續(xù).定理2.5

設(shè)函數(shù),則f(z)在點(diǎn)z0處連續(xù)的充分必要條件是u(x,y),

v(x,y)均在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).

例2.3

討論函數(shù)argz的連續(xù)性.解當(dāng)z=0時(shí),argz無(wú)定義,因而不連續(xù).當(dāng)z0為負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)時(shí),即z0=x0<0,則所以argz在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).若z0=x0+iy0不是原點(diǎn)也不是負(fù)實(shí)軸及虛軸上的點(diǎn)時(shí),這時(shí)有

因?yàn)?所以故argz在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸及虛軸的復(fù)平面上連續(xù).當(dāng)z0為正、負(fù)虛軸上的點(diǎn)z0=iy0(y0≠0)時(shí),有

即argz在虛軸上也連續(xù).因此argz在復(fù)平面上除了原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外連續(xù).即證明--不要求例2.3

討論函數(shù)argz的連續(xù)性.答案：argz在復(fù)平面上除了原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外連續(xù).