2025年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題04解三角形(中線問題)練習(學生版+解析)_第1頁
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專題04解三角形(中線問題)(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1方法一:向量化(三角形中線向量化) 1方法二:角互補 3三、專項訓練 4一、必備秘籍1、向量化(三角形中線問題)如圖在中,為的中點,(此秘籍在解決三角形中線問題時,高效便捷)2、角互補二、典型題型方法一:向量化(三角形中線向量化)1.(2024·全國·模擬預測)記的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求.(2)若,且邊上的中線,求的面積.2.(23-24高一下·云南·階段練習)在中,角的對邊分別是,且.(1)求角;(2)若的中線,求面積的最大值.3.(23-24高一下·廣西河池·階段練習)如圖,在中,已知邊上的兩條中線AM,BN相交于點.

(1)求AM的長度;(2)求∠MPB的正弦值.4.(23-24高一下·廣東深圳·階段練習)在中,滿足.(1)求;(2)若,邊BC上的中線,設點為的外接圓圓心.①求的周長和面積:②求的值.5.(2024·遼寧撫順·三模)在中,內(nèi)角的對邊分別為.(1)求;(2)若為的中線,且,求的面積.方法二:角互補1.(23-24高一·全國·隨堂練習)如圖,已知AM是中BC邊上的中線.求證:.

的面積等于.3.(22-23高一下·河北·階段練習)已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,,則中線AD的長為.4.(22-23高一下·四川攀枝花·期末)已知的內(nèi)角的對邊分別為,,,且滿足,,則;的中線的最大值為.5.(22-23高一下·山東淄博·期中)已知在中,AD為BC邊上的中線,且,,則的最小值為.6.(22-23高一下·河南焦作·期中)已知在中,為邊上的中線,且=4,則的取值范圍為.7.(21-22高一·全國·課后作業(yè))在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,,則BC邊上的中線AD長度的最大值為.8.(22-23高一下·遼寧大連·期中)在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,.(1)求;(2)若的面積為,求邊上的中線的長.9.(22-23高一下·湖北武漢·期中)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知.(1)求角C的大??;(2)若,邊AB的中點為D,求中線CD長的取值范圍.10.(22-23高一下·湖南長沙·期中)在銳角中,角的對邊分別是,,,若(1)求角的大??;(2)若,求中線長的范圍(點是邊中點).專題04解三角形(中線問題)(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1方法一:向量化(三角形中線向量化) 1方法二:角互補 6三、專項訓練 9一、必備秘籍1、向量化(三角形中線問題)如圖在中,為的中點,(此秘籍在解決三角形中線問題時,高效便捷)2、角互補二、典型題型方法一:向量化(三角形中線向量化)1.(2024·全國·模擬預測)記的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求.(2)若,且邊上的中線,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理及三角公式求,根據(jù)角的范圍可得(2)根據(jù)余弦定理可得,根據(jù)面積公式求解可得【詳解】(1)由已知條件及正弦定理,得.整理,得,即.又,所以,即.因為,所以.又,所以.(2)由題意得,,所以,即,所以.故2.(23-24高一下·云南·階段練習)在中,角的對邊分別是,且.(1)求角;(2)若的中線,求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理邊化角,結(jié)合和差公式即可求解;(2)將兩邊平方,結(jié)合基本不等式和面積公式可解.【詳解】(1)因為,由正弦定理可得,在中,所以,整理得,所以,因為,,所以,.(2)因為的中線,,因為,所以,即,可得,當且僅當時取等號,所以的面積,所以面積的最大值為.3.(23-24高一下·廣西河池·階段練習)如圖,在中,已知邊上的兩條中線AM,BN相交于點.

(1)求AM的長度;(2)求∠MPB的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)AM是中線,由求解;(2)易知為向量的夾角,然后利用平面向量的夾角公式求解.【詳解】(1)解:因為AM是中線,所以,所以,則;(2)由圖象知:為向量的夾角,因為,所以,,則,又,,所以,因為,所以.4.(23-24高一下·廣東深圳·階段練習)在中,滿足.(1)求;(2)若,邊BC上的中線,設點為的外接圓圓心.①求的周長和面積:②求的值.【答案】(1);(2)①周長為,面積為;②13.【分析】(1)由已知及正弦定理邊化角,借助和角的正弦理解即得.(2)①由中點向量公式、余弦定理、三角形面積公式列式計算即得;②邊的中點分別為,利用數(shù)量積的運算律并結(jié)合圓的性質(zhì)計算即得.【詳解】(1)在中,由及正弦定理,得,而,則,顯然,因此,,則,得,解得,所以.(2)①由邊BC上的中線,得,兩邊平方得,則,即,在中,由余弦定理,得,解得,因此,所以的周長為,面積為.②令邊的中點分別為,由點為的外接圓圓心,得,,,所以.

5.(2024·遼寧撫順·三模)在中,內(nèi)角的對邊分別為.(1)求;(2)若為的中線,且,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意,得到,結(jié)合,求得,結(jié)合余弦的倍角公式,即可求解;(2)由(1)得到,根據(jù),求得,再由由余弦定理得到,求得,結(jié)合三角形的面積公式,即可求解.【詳解】(1)解:由,可得,因為,可知,所以,又因為,聯(lián)立方程組得,所以.(2)解:由(1)知,可得,因為為的中線,且,所以,兩邊平方得,又由余弦定理得,即,兩式相減,可得,所以.方法二:角互補1.(23-24高一·全國·隨堂練習)如圖,已知AM是中BC邊上的中線.求證:.

【答案】證明過程見解析【分析】根據(jù)這一等式,利用余弦定理進行證明即可.【詳解】因為AM是中BC邊上的中線,所以,因為,所以,.2.(23-24高三上·北京西城·階段練習)在中,.(1)求;(2)求邊上的中線.【答案】(1)(2)【分析】(1)計算,根據(jù)面積公式得到,再利用余弦定理計算得到答案.(2)是中點,連接,根據(jù)余弦定理結(jié)合計算即可.【詳解】(1)因為,,故,所以,解得,故,故.(2)如圖所示,是中點,連接,,,,故,解得,即邊上的中線為.3.(2024·湖南益陽·一模)在①;②;③,這三個條作中任選一個,補充在下面的橫線上,并解答.在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.(1)求角C的大?。?2)若,求的中線長度的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】(1)若選①,則根據(jù)正弦定理,邊化角,再利用余弦定理即可求得答案;若選②,則根據(jù)正弦定理,邊化角,再利用兩角和的正弦公式化簡,求得答案;若選③,則根據(jù)正弦定理,邊化角,再利用誘導公式結(jié)合倍角公式化簡,求得答案;(2)根據(jù)可得,利用余弦定理得到,在三角形中,由余弦定理求得,即可求得答案.【詳解】(1)選擇條件①:由及正弦定理,得:,即,由余弦定理,得,因為,所以;選擇條件②:由及正弦定理,得:,即.即.在中,,所以,即,因為,所以,所以,因為,所以;選擇條件③:由及正弦定理,得:,因為,,所以.在中,,則,故.因為,所以,則,故;(2)因為,所以,整理得,在三角形中,由余弦定理得.因為,當且僅當時取等號,所以,即,所以,即,即長度的最小值為.三、專項訓練1.(23-24高一下·山東煙臺·階段練習)如圖,在中,已知,,AB,BC邊上的中線CE,AF交于點D,則【答案】【分析】由題意知,以和作為基底來表示和,即為和的夾角,再結(jié)合平面向量數(shù)量積運算及向量的夾角的求法求解即可.【詳解】因為、邊上的兩條中線CE,AF交于點D,所以,,又,,,則,,,則,.故答案為:.2.(23-24高一下·重慶渝中·階段練習)在中,角所對的邊分別為,已知,若為邊上的中線,且,則的面積等于.【答案】/【分析】將條件式,利用正弦定理角化邊,再根據(jù)余弦定理求得,以為鄰邊做平行四邊形,在中,利用余弦定理求得,所以,得解;方法二,設,在中由余弦定理得,又,由余弦定理可得,解得,后面同解法一.【詳解】由,得,,注意,得,得,記,由,知,如圖,以為鄰邊做平行四邊形,在中:,即,得,所以,故答案為:.法(2):設,在中:①因為,則,由余弦定理可得,得②聯(lián)立①②知:,即,解得,后面同上.故答案為:3.(22-23高一下·河北·階段練習)已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,,則中線AD的長為.【答案】【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.【詳解】如圖,由余弦定理得,,又,兩式相加得,即,化簡得,所以.

故答案為:4.(22-23高一下·四川攀枝花·期末)已知的內(nèi)角的對邊分別為,,,且滿足,,則;的中線的最大值為.【答案】/【分析】空1:根據(jù)題意結(jié)合正、余弦定理運算求解;空2:根據(jù)基本不等式可得,結(jié)合向量的運算求解.【詳解】空1:因為,由正弦定理可得,由余弦定理可得,且,所以;空2:因為,可得,由,當且僅當時,等號成立,所以,又因為為的中線,則,可得,所以,即中線的最大值為.故答案為:;.5.(22-23高一下·山東淄博·期中)已知在中,AD為BC邊上的中線,且,,則的最小值為.【答案】/0.6【分析】在和中,分別用余弦定理建立關(guān)系,并求得,再在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解作答.【詳解】依題意,,,如圖,在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,而,即,兩式相加得,于是,當且僅當時取等號,在中,,所以的最小值為.故答案為:6.(22-23高一下·河南焦作·期中)已知在中,為邊上的中線,且=4,則的取值范圍為.【答案】【分析】分別在和中,利用余弦定理得到,,根據(jù),兩式相加得到,然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解.【詳解】解:如圖所示:在中,由余弦定理得,,在中,由余弦定理得,,因為,所以,兩式相加得,則,當且僅當時,等號成立,所以,因為,所以,故答案為:7.(21-22高一·全國·課后作業(yè))在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,,則BC邊上的中線AD長度的最大值為.【答案】【分析】利用正弦定理將條件進行變形,結(jié)合三角形內(nèi)角之和為π,可求得cosA,設AD=x,由cos∠ADB+cos∠ADC=0,由余弦定理建立方程可得2x2+2=b2+c2,,利用基本不等式可得b2+c2的取值范圍,從而求得x的取值范圍.【詳解】因為,由正弦定理可知:,又因為A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,則2cosAsinB=sinB,又由于B∈(0,π),所以sinB>0,所以cosA,因為A∈(0,π),所以,設AD=x,又DB=DC=1,在△ADB,△ADC中分別有:cos∠ADB,cos∠ADC,又由于cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以2x2+2=b2+c2,在△ABC中,,即,因為b2+c2≥2bc,所以,從而b2+c2≤8,所以2x2+2≤8,解之得,(當且僅當b=c時等號成立),所以BC邊上的中線AD長度的最大值為,故答案為:.8.(22-23高一下·遼寧大連·期中)在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,.(1)求;(2)若的面積為,求邊上的中線的長.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角公式,結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果;(2)利用三角形面積公式,及(1)的相關(guān)結(jié)論,再結(jié)合平面向量的四邊形法則,利用向量的線性表示出,最后利用求模公式即可求邊上的中線的長.【詳解】(1)因為,所以,所以,即,所以,由余弦定理及得:,又,所以,即,所以,所以;(2)由,所以,由(1),所以,因為為邊上的中線,所以,所以,所以,所以邊上的中線的長為.所以,由題意得,解得,則,所以,所以,所以,所以中線CD長的取值范圍為.10.(22-23高一下·湖南長沙·期中)在

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