2025年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題04圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題練習(學生版+解析)

專題04圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1三、定直線問題 2二、典型題型 2題型一：定點問題 2題型二：定值問題 5題型三：定直線問題 8三、專項訓練 11一、必備秘籍一、定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.二、定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算三、定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．二、典型題型題型一：定點問題1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四邊形ABCD是橢圓的內接四邊形，直線AB經(jīng)過左焦點，直線AC，BD交于右焦點，直線AB與直線CD的斜率分別為．(1)求證：為定值；(2)求證：直線CD過定點，并求出該定點的坐標．2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，點A，分別是橢圓C的左頂點、左焦點，直線m與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N都在x軸上方）．且．證明直線m過定點，并求出該定點的坐標．3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知雙曲線的焦距為，點在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點，點與點關于軸對稱，點在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點．4．（2024·青海海南·二模）已知雙曲線的虛軸長為，點在上.設直線與交于A，B兩點（異于點P），直線AP與BP的斜率之積為.(1)求的方程；(2)證明：直線的斜率存在，且直線過定點.5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知拋物線的焦點為，為原點，第一象限內的點在上，，且的面積為.(1)求的方程；(2)若，是上與不重合的兩動點，且，求證：直線過定點.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知為坐標原點，是拋物線上與點不重合的任意一點．(1)設拋物線的焦點為，若以為圓心，為半徑的圓交的準線于兩點，且的面積為，求圓的方程；(2)若是拋物線上的另外一點，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點．題型二：定值問題1．（2024高三·全國·專題練習）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且．(1)求的離心率，求出的方程．(2)P為橢圓上任意一點，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點，點P關于原點的對稱點為Q，求證：的面積為定值．2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的左、右頂點分別為，過軸上一點作一直線，與橢圓交于兩點（異于），直線和的交點為，記直線和的斜率分別為，求的值．3．（2024高三·全國·專題練習）已知是雙曲線的左右焦點，，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線相切與于點，與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點，當點在雙曲線上運動時，的值是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.4．（23-24高二下·上海·期末）已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點，直線交直線于點．設直線、的斜率分別、，求證：為定值．5．（2024高三·全國·專題練習）已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線有兩個不同的交點，直線交軸于，直線交軸于．(1)若直線過點，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線過拋物線的焦點，交軸于點，求的值；(3)若直線過點，設，求的值．6．（23-24高一下·安徽·階段練習）已知拋物線經(jīng)過點中的兩個點，為坐標原點，為焦點.(1)求拋物線的方程；(2)過且傾斜角為的直線交于兩點，在第一象限，求的值；(3)過點的直線與拋物線交于兩點，直線分別交直線于兩點，記直線的斜率分別為，證明：為定值.題型三：定直線問題1．（23-24高三下·上?！ら_學考試）已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，是橢圓上一點，，．(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩點，為線段中點．（i）求證：點軌跡方程為；（ii）為坐標原點，射線與橢圓交于點，點為直線上一動點，且，求證：點在定直線上．2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點，為坐標原點，直線與交于不同的兩點，．(1)設點為線段的中點，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)若，證明：直線與直線的交點在定直線上．3．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設直線AD與直線BE交于點Q，求證：點Q在定直線上.4．（2024高三下·河南·專題練習）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點，且，若點滿足，證明：點在一條定直線上.5．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習）已知拋物線的焦點關于直線的對稱點為．(1)求的方程；(2)若為坐標原點，過焦點且斜率為1的直線交于兩點，求；(3)過點的動直線交于不同的兩點，為線段上一點，且滿足，證明：點在某定直線上，并求出該定直線的方程．2．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點且橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．

(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．3．（23-24高二下·山西運城·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，是上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線的方程;(2)已知過點的直線交于兩點（異于A，B），直線與直線交于點.求證:點在定直線上.4．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習）設拋物線的焦點為，點，過點且斜率存在的直線交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，.(1)求的方程；(2)設直線與的另一個交點分別為，設直線的斜率分別為，證明：（?。槎ㄖ?；（ⅱ）直線恒過定點.5．（23-24高二上·山東濰坊·階段練習）已知點，圓，點是圓上的任意一點.動圓過點，且與相切，點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若與軸不垂直的直線與曲線交于、兩點，點為與軸的交點，且，若在軸上存在異于點的一點，使得為定值，求點的坐標；(3)過點的直線與曲線交于、兩點，且曲線在、兩點處的切線交于點，證明：在定直線上.專題04圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1三、定直線問題 2二、典型題型 2題型一：定點問題 2題型二：定值問題 12題型三：定直線問題 23三、專項訓練 34一、必備秘籍一、定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.二、定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算三、定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．二、典型題型題型一：定點問題1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四邊形ABCD是橢圓的內接四邊形，直線AB經(jīng)過左焦點，直線AC，BD交于右焦點，直線AB與直線CD的斜率分別為．(1)求證：為定值；(2)求證：直線CD過定點，并求出該定點的坐標．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設，表示出直線AC的方程，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系表示出，則可表示出，表示出點的坐標，同理表示出點的坐標，再由A，，B三點共線，得，然后利用斜率公式化簡，可得的關系；（2）解法一：直線CD交x軸于點，表示出直線的方程，表示出，結合（1）中的關系化簡可得答案，解法二：設直線AB，DC交于點P，則由題意可設P（3，m），由對稱性可知，直線CD過定點必在x軸上，然后根據(jù)（1）得到的關系化簡可得答案.【詳解】（1）設，則直線AC的方程為，代入橢圓方程，整理得．因為，所以，從而．故點，同理，點．因為A，，B三點共線，所以，從而．所以．故．（2）解法一：由（1）知，，設直線CD交x軸于點，因為，所以直線為，當時，，得，所以，故直線CD過定點．解法二：如圖，設直線AB，DC交于點P，則點P在F2對應的極線，即x＝3上，可設P（3，m），由對稱性可知，直線CD過定點必在x軸上，不妨設定點為T（t，0）則，由（1）知，得，即．∴，故直線CD過定點．【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值和定點問題，解題的關鍵是利用“設而不求”的思想，設出交點坐標，設出直線方程，代入橢圓方程化簡，結合根與系數(shù)的關系求解，考查計算能力和轉化思想，屬于難題.2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，點A，分別是橢圓C的左頂點、左焦點，直線m與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N都在x軸上方）．且．證明直線m過定點，并求出該定點的坐標．【答案】(1)(2)證明見解析，定點．【分析】（1）由焦距和焦點三角形的周長求出，得橢圓C的方程；（2）設直線l方程為，代入橢圓方程，設，韋達定理表示出根與系數(shù)的關系，由，得，利用斜率公式結合韋達定理化簡得，可得直線l過定點.【詳解】（1）設橢圓C的焦距為2c，由題意知，解得c＝2．由橢圓的定義知，的周長為，∴，故．∴橢圓C的方程為．（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設直線l：，，把直線方程代入橢圓方程，整理可得，，即，∴．∵，M，N都在x軸上方，且，∴．∴，即．將代入，整理可得，又，即，整理可得，∴直線l為．∴直線l過定點．【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知雙曲線的焦距為，點在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點，點與點關于軸對稱，點在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）由題可得，解方程即可得到答案；（2）①設，聯(lián)立，消去得，由于與的右支交于，兩點，雙曲線的漸近線方程為，可得，以及，解不等式可得的取值范圍；②由①得，，由題可得，利用向量關系可得，從而可得，，三點共線，即可證明.【詳解】（1）由已知得，解得，所以的方程為.（2）①設，，則，聯(lián)立，消去得，則，，解得，且.又與的右支交于，兩點，的漸近線方程為，則，即，所以的取值范圍為.②由①得，，又點在軸上的投影為，所以，，所以，，所以，又，有公共點，所以，，三點共線，所以直線過點.【點睛】關鍵點睛：（1）直線與雙曲線一支相交于兩點，可利用韋達定理、根的判別式以及直線斜率與漸近線斜率的關系進行求解；（2）證明直線過定點，可利用向量平行關系進行證明.4．（2024·青海海南·二模）已知雙曲線的虛軸長為，點在上.設直線與交于A，B兩點（異于點P），直線AP與BP的斜率之積為.(1)求的方程；(2)證明：直線的斜率存在，且直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）借助虛軸定義得，將的坐標代入方程得，即可求解雙曲線方程；（2）設出直線方程，代入曲線中，可得與交點橫坐標有關韋達定理，借助韋達定理計算斜率之積可得直線l中參數(shù)關系，即可得其定點.【詳解】（1）因為虛軸長為，所以，將的坐標代入方程，得，解得，故的方程為.（2）設，直線AP的斜率為，直線BP的斜率為．當直線的斜率不存在時，設，聯(lián)立得，即，由，得，解得（舍去）或（舍去），所以直線的斜率存在，設直線的方程為，代入的方程得，則，由，可得，即，化簡得，即，所以或，當時，直線的方程為，直線過點，與條件矛盾，舍去；當時，直線的方程為，直線過定點【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知拋物線的焦點為，為原點，第一象限內的點在上，，且的面積為.(1)求的方程；(2)若，是上與不重合的兩動點，且，求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，由面積公式即可求出，從而得到拋物線方程；（2）設直線的方程為：，，，聯(lián)立方程結合韋達定理可得，，由，利用向量關系化簡可得：，從而得到，的關系，即可證明.【詳解】（1）由題可得，由，可得的橫坐標為，因為點在第一象限內，則，所以，解得：，所以拋物線方程為（2）由(1)可得：，，顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為：，，，所以，聯(lián)立方程，可得：，所以，即，，，因為，所以，則，化簡得：，則，所以，解得：，或，當時，即，且，所以，所以直線過定點為，當時，即，且，所以，所以直線過定點為，即點，不滿足題意，舍去；綜上：直線過定點為【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式或橫截式來證明.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知為坐標原點，是拋物線上與點不重合的任意一點．(1)設拋物線的焦點為，若以為圓心，為半徑的圓交的準線于兩點，且的面積為，求圓的方程；(2)若是拋物線上的另外一點，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，點到準線的距離，利用求出可得答案；（2）方法一，對兩邊平方得，設，設直線的方程為，結合拋物線方程得，再由可得答案；方法二，對兩邊平方得，設，設直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結合可得答案.【詳解】（1）準線為到的距離是．由對稱性知，是等腰直角三角形，斜邊，點到準線的距離，，解得，故圓的方程為；（2）方法一，因為，所以，所以，設在拋物線上，則．顯然直線的斜率存在，則直線的方程為，將代入得，，即，令，得，

由得，，因為（否則，有一個為零向量），所以，代入式可得，故直線經(jīng)過定點．方法二，因為，所以，設在拋物線上，則，顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立消去得到，，由得，，因為（否則，有一個為零向量），所以，即，因此就是．故直線經(jīng)過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.題型二：定值問題1．（2024高三·全國·專題練習）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且．(1)求的離心率，求出的方程．(2)P為橢圓上任意一點，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點，點P關于原點的對稱點為Q，求證：的面積為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)橢圓，，，求得a，b，進而得到橢圓的方程求解；（2）作伸縮變換，使橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A，由題意得到，再由點P關于原點的對稱點為Q，求解.【詳解】（1）解：橢圓的方程為，即，∵，∴，，∴，即．又，∴，，∴橢圓的方程為．∴的離心率，橢圓的方程為．（2）作伸縮變換，則橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A．如圖所示．∵直線MN與橢圓相切于點P，則變換后直線與圓相切于點，此時．而，，則，從而，故，于是．又點P關于原點的對稱點為Q，則，即的面積為定值．【點睛】方法點睛：本題第二問通過作伸縮變換，將橢圓問題轉化為圓的問題，易得，再利用對稱性，由而得解.2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的左、右頂點分別為，過軸上一點作一直線，與橢圓交于兩點（異于），直線和的交點為，記直線和的斜率分別為，求的值．【答案】【分析】法一：首先利用三點共線表示點的橫坐標，并利用方程聯(lián)立，得出兩點坐標關系，代入，即可求值.法二：由題意可得點N在關于橢圓的極線上，設，再利用斜率公式計算即可得出結論.【詳解】解法一：由題意設直線的方程：，，，，由和三點共線可知，解得，，（*）聯(lián)立，得，，，代入（*）得，，，.解法二：∵A，P，Q，B是橢圓上的四點，直線AB與PQ相交于點M，直線AP與BQ相交于點N，則點N在關于橢圓的極線上，設，則，∴.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．3．（2024高三·全國·專題練習）已知是雙曲線的左右焦點，，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線相切與于點，與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點，當點在雙曲線上運動時，的值是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為3【分析】（1）由題意可得，即有，又點在雙曲線上，代入雙曲線的方程，解方程可得，進而得到雙曲線的方程；（2）討論為雙曲線的頂點，即切線的斜率不存在，求得的坐標，可得；再設，且切線的斜率存在，代入雙曲線的方程，求導可得切線的斜率和方程，聯(lián)立漸近線方程求得的坐標，再由向量數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到所求定值.【詳解】（1）由題意可得，即，即有，又點在雙曲線上，可得，解得，即有雙曲線的方程為.（2）假設為雙曲線的頂點，設，切線為，代入雙曲線的漸近線方程，可得，即有；設，且切線的斜率存在，且有，

對雙曲線的方程兩邊對x求導，可得，求得切線的斜率為，切線的方程為，化為，聯(lián)立漸近線方程，可得，即有.則當點在雙曲線上運動時，的值為定值3.【點睛】方法點睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.4．（23-24高二下·上?！て谀┮阎p曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點，直線交直線于點．設直線、的斜率分別、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進而可得雙曲線方程；（2）設，聯(lián)立方程，利用韋達定理判斷是否為零即可；（3）用兩點坐標表示出直線，得點坐標，表示出，結合韋達定理，證明為定值．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）雙曲線的左焦點為，當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，不符合題意，當直線的斜率不為0時，設，由，消去得，顯然，，設，則，得，于是，，即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．（3）由直線，得，則，又，于是，而，即有，且，所以，即為定值．【點睛】方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．5．（2024高三·全國·專題練習）已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線有兩個不同的交點，直線交軸于，直線交軸于．(1)若直線過點，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線過拋物線的焦點，交軸于點，求的值；(3)若直線過點，設，求的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）由題意易得直線斜率存在且不為，且直線、斜率存在，設出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)交點有兩個，得出，解不等式即可得直線斜率的范圍.（2）設直線的方程為：聯(lián)立直線與拋物線的方程得出點縱坐標之間的關系，再由，，得出、與點坐標之間的關系，對化簡可求得的值.（3）根據(jù)，，得出、與點坐標之間的關系，再根據(jù)在同一直線上，在同一直線上，得出，與點坐標之間的關系，根據(jù)（1）中聯(lián)立所得的方程得出點橫坐標之間的關系，對原式進行化簡，即可得的值.【詳解】（1）因為拋物線經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的解析式為．又因為直線過點，且直線與拋物線有兩個不同的交點．易知直線斜率存在且不為，故可設直線的方程式為.根據(jù)題意可知直線不能過點，所以直線的斜率.若直線與拋物線的一個交點為，此時該點與點所在的直線斜率不存在，則該直線與軸無交點，與題目條件矛盾，此時，所以直線斜率.聯(lián)立方程，得，因為直線與拋物線有兩個不同交點，所以，所以．故直線的斜率的取值范圍是且且.即率的取值范圍是.（2）如圖所示設直線的方程為：由，得，設，，則，∵，，，，∴，，∴，.（3）如圖所示設點，，則，，因為，所以，故，由得，設，，直線方程為，令，得①，由直線可得②，因為③，將①②代入③可得，，又由根與系數(shù)的關系：，，所以，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.6．（23-24高一下·安徽·階段練習）已知拋物線經(jīng)過點中的兩個點，為坐標原點，為焦點.(1)求拋物線的方程；(2)過且傾斜角為的直線交于兩點，在第一象限，求的值；(3)過點的直線與拋物線交于兩點，直線分別交直線于兩點，記直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】(1)(2)3(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，確定拋物線經(jīng)過的點，從而求出其方程；（2）利用拋物線的定義分別求出和，計算即得；（3）依題設，將其與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達定理，分別求出點的坐標，求得的表示式，化簡，消元并代入韋達定理計算即得.【詳解】（1）因為拋物線關于軸對稱，所以必過中的兩點，代入可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖1，過點作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線定義可得，又，解得，同理，解得，故.（3）如圖2，設直線的方程為，聯(lián)立，得，顯然，所以，直線方程為，令，得點的縱坐標，即，同理可得，故可得.于是，即是定值.【點睛】思路點睛：本題主要考查拋物線定義的應用和與之相關的定值問題.對于與拋物線的焦半徑，焦點弦有關的題型，一般考慮運用拋物線定義求解；對于定值問題，一般思路是設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得韋達定理，消元代入求解.題型三：定直線問題1．（23-24高三下·上?！ら_學考試）已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，是橢圓上一點，，．(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩點，為線段中點．（i）求證：點軌跡方程為；（ii）為坐標原點，射線與橢圓交于點，點為直線上一動點，且，求證：點在定直線上．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點三角形，即可結合余弦定理求解，（2）（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達定理，即可根據(jù)中點坐標公式可得，從而即可得證；（ii）進一步根據(jù)向量的坐標運算即可得證.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，所以，解得.因為，，.在中，由余弦定理得，解得，則，故橢圓的方程為；（2）（i）當直線的斜率存在且不為0時，不妨設直線的方程為，聯(lián)立得.因在橢圓內，所以直線必與橢圓相交.設，由韋達定理得，所以.因為為線段中點，所以，此時，則.要證，只需證明，而，所以點軌跡方程為；（ii）聯(lián)立得，則.不妨設，所以，.不妨設，由得，即.因為，，所以.∵，所以，即，則點在定直線上.當直線斜率為0時，軸，此時,.因為，所以，則，故點在定直線上；當直線無斜率時，此時直線方程為，易知軸，所以點在軸上，則.∵，所以，即，則點在定直線上.綜上可得：點在定直線上.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進參數(shù)法：先引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.技巧：若直線方程為,則直線過定點；若直線方程為(為定值),則直線過定點2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點，為坐標原點，直線與交于不同的兩點，．(1)設點為線段的中點，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)若，證明：直線與直線的交點在定直線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設，，由中點坐標公式和斜率公式，結合點差法證明定值.（2）由題意求出橢圓方程，與直線方程聯(lián)立，韋達定理表示根與系數(shù)的關系，聯(lián)立直線與直線的方程，化簡可求得交點在定直線上．【詳解】（1）設，，則．由兩式相減得，即．所以．（2）解法一：由解得所以橢圓的方程為．將直線的方程代入橢圓的方程，化簡整理得．①

由，解得．由韋達定理，得，．②設，，則直線的方程為，③直線的方程為，④由③④兩式解得，即，所以直線與直線的交點在定直線上．解法二：設直線（即直線）與直線（軸）的交點為，直線與直線的交點為，則點，，構成橢圓的自極三點形，點一定在點對應的極線上，其方程為，即，就是說直線與直線的交點在定直線上．【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設直線AD與直線BE交于點Q，求證：點Q在定直線上.【答案】(1)(2)（i）或；（ii）證明見解析【分析】（1）由已知條件去設點的坐標，表示斜率之積，通過點在雙曲線上，代入并消元一個變量，即可得到，從而求出雙曲線方程；（2）（i）利用過點的直線與雙曲線的左右兩支相交，必滿足,從而去求出的取值范圍；（ii）先用交點坐標去表示直線的方程，然后猜想交點的橫坐標為定值，所以消去縱坐標得到關于交點的橫坐標的表達式，最后利用韋達定理代入化簡，可得定值，即問題可得證.【詳解】（1）由題意可知，因為，所以.設，則，所以，又，所以.所以雙曲線C的方程為.（2）（i）由題意知直線l的方程為.聯(lián)立，化簡得，因為直線l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，所以或；（ii），直線AD的方程為直線BE的方程為.聯(lián)立直線AD與BE的方程，得，所以，所以，所以.所以點Q的橫坐標始終為1，故點Q在定直線上.4．（2024高三下·河南·專題練習）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點，且，若點滿足，證明：點在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列等式，然后化簡即可得到的方程；（2）分斜率為0和不為0兩種情況考慮，當直線的斜率為0時得到，當直線的斜率不為0時，聯(lián)立直線和雙曲線方程，結合韋達定理和得到點在定直線上，又也在直線上，即可證明點在一條定直線上.【詳解】（1）由題意知，所以，所以，化簡得，的方程為.（2）依題意，設，①當直線的斜率為0時，則，因為，所以，所以，從而，則，即，解得，即.②當直線的斜率不為0時，設的方程為，由消去，得，則且，因為，所以，消去，得，所以，從而，又也在直線上.綜上，點在直線上.【點睛】方法點睛：求解動點在定直線上的方法：（1）先猜后證：現(xiàn)根據(jù)特殊情況猜想，然后證明；（2）參數(shù)法：用題目中參數(shù)表示動點的橫縱坐標，然后消參，即可得到直線方程.5．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習）已知拋物線的焦點關于直線的對稱點為．(1)求的方程；(2)若為坐標原點，過焦點且斜率為1的直線交于兩點，求；(3)過點的動直線交于不同的兩點，為線段上一點，且滿足，證明：點在某定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)；(2)8；(3)證明見解析，【分析】（1）由焦點關于直線的對稱點為即可求得p值，則拋物線方程可求；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，結合韋達定理以及過拋物線焦點的弦長公式即可求解；（3）設直線的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理化簡，分析可得，則定直線方程可求.【詳解】（1）拋物線的焦點關于直線的對稱點為，于是，解得：，所以拋物線的方程為．（2）由（1）知，直線的方程為，設，由消去得：，則，所以．（3）由題意可得直線的斜率存在．設直線的方程為，代人拋物線方程，整理得或．設，則，由，得，化簡得，當時，因，化簡得，與直線的斜率存在矛盾，不合題意；當時，化簡得．即化簡得，又，所以，化簡得，所以點在直線上．【點睛】方法點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理并結合已知推理求解.6．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知點，，和動點滿足是，的等差中項．(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點M，N的連線交軸于點，如果（為坐標原點）為銳角，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點和處的切線的交點為，求證：在一條定直線上．【答案】(1)；(2)或；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量的坐標運算，結合等差中項的定義代入計算，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，由平移公式可得曲線的方程，然后與直線的方程聯(lián)立，由平面向量的夾角公式，代入計算，即可得到結果；（3）根據(jù)題意，求導可得在點處的切線方程，聯(lián)立兩條切線方程，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）由題意可得，，，則，，又是，的等差中項，，整理得點的軌跡方程為．（2）由（1）知，又，平移公式為即，代入曲線的方程得到曲線的方程為：，即．曲線的方程為．如圖由題意可設M，N所在的直線方程為，由消去得，令，，則，，，又為銳角，，即，，又，，得或．（3）當時，由（2）可得，對求導可得，拋物線在點，，處的切線的斜率分別為，，在點M，N處的切線方程分別為，，由，解得交點的坐標．滿足即，點在定直線上．【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了曲線的軌跡方程問題以及切線問題，難度較大，解答本題的關鍵在于聯(lián)立方程結合韋達定理計算以及轉化為坐標運算.三、專項訓練1．（2024高三·全國·專題練習）橢圓經(jīng)過點，且離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設是直線上任意一點，是經(jīng)過橢圓右焦點的一條弦（不經(jīng)過點）．記直線，，的斜率依次為，，，問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及橢圓過點，可列方程，解方程即可；（2）易知直線斜率一定存在，設，當直線斜率為時，分別表示，，，可得成立，當直線與軸不重合時，設直線，聯(lián)立直線與橢圓，結合韋達定理，分別表示，，，即可得.【詳解】（1）由橢圓離心率，則，即，所以橢圓方程為，又橢圓過點，則，解得，，所以橢圓方程為.（2）由已知，經(jīng)過橢圓右焦點，不經(jīng)過點，可知直線的斜率一定存在，設，當直線斜率為時，，，則，，，此時，當直線斜率不為時，如圖，設直線的方程為，點，，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，設，，于是，即．又，則，，綜上所述存在常數(shù)，使得．【點睛】方法點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率