2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1三、定直線問題 2二、典型題型 2題型一：定點(diǎn)問題 2題型二：定值問題 5題型三：定直線問題 8三、專項訓(xùn)練 11一、必備秘籍一、定點(diǎn)問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于，的方程組，這個方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).二、定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算三、定直線問題定直線問題是證明動點(diǎn)在定直線上，其實質(zhì)是求動點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．二、典型題型題型一：定點(diǎn)問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是橢圓的內(nèi)接四邊形，直線AB經(jīng)過左焦點(diǎn)，直線AC，BD交于右焦點(diǎn)，直線AB與直線CD的斜率分別為．(1)求證：為定值；(2)求證：直線CD過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，點(diǎn)A，分別是橢圓C的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N都在x軸上方）．且．證明直線m過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點(diǎn)．4．（2024·青海海南·二模）已知雙曲線的虛軸長為，點(diǎn)在上.設(shè)直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線AP與BP的斜率之積為.(1)求的方程；(2)證明：直線的斜率存在，且直線過定點(diǎn).5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在上，，且的面積為.(1)求的方程；(2)若，是上與不重合的兩動點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn).6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)．(1)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，且的面積為，求圓的方程；(2)若是拋物線上的另外一點(diǎn)，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點(diǎn)．題型二：定值問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．(1)求的離心率，求出的方程．(2)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，求證：的面積為定值．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過軸上一點(diǎn)作一直線，與橢圓交于兩點(diǎn)（異于），直線和的交點(diǎn)為，記直線和的斜率分別為，求的值．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線相切與于點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動時，的值是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.4．（23-24高二下·上?！て谀┮阎p曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，直線交軸于，直線交軸于．(1)若直線過點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的值；(3)若直線過點(diǎn)，設(shè)，求的值．6．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)中的兩個點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)過且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，在第一象限，求的值；(3)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：為定值.題型三：定直線問題1．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．（i）求證：點(diǎn)軌跡方程為；（ii）為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，．(1)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)若，證明：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．3．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.4．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)在一條定直線上.5．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，求；(3)過點(diǎn)的動直線交于不同的兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)在某定直線上，并求出該定直線的方程．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)且橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．

(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，證明：直線DE過定點(diǎn)．3．（23-24高二下·山西運(yùn)城·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線的方程;(2)已知過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（異于A，B），直線與直線交于點(diǎn).求證:點(diǎn)在定直線上.4．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率存在的直線交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時，.(1)求的方程；(2)設(shè)直線與的另一個交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率分別為，證明：（?。槎ㄖ担唬áⅲ┲本€恒過定點(diǎn).5．（23-24高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn).動圓過點(diǎn)，且與相切，點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若與軸不垂直的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)，且，若在軸上存在異于點(diǎn)的一點(diǎn)，使得為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且曲線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，證明：在定直線上.專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1三、定直線問題 2二、典型題型 2題型一：定點(diǎn)問題 2題型二：定值問題 12題型三：定直線問題 23三、專項訓(xùn)練 34一、必備秘籍一、定點(diǎn)問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于，的方程組，這個方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).二、定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算三、定直線問題定直線問題是證明動點(diǎn)在定直線上，其實質(zhì)是求動點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．二、典型題型題型一：定點(diǎn)問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是橢圓的內(nèi)接四邊形，直線AB經(jīng)過左焦點(diǎn)，直線AC，BD交于右焦點(diǎn)，直線AB與直線CD的斜率分別為．(1)求證：為定值；(2)求證：直線CD過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，表示出直線AC的方程，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，則可表示出，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由A，，B三點(diǎn)共線，得，然后利用斜率公式化簡，可得的關(guān)系；（2）解法一：直線CD交x軸于點(diǎn)，表示出直線的方程，表示出，結(jié)合（1）中的關(guān)系化簡可得答案，解法二：設(shè)直線AB，DC交于點(diǎn)P，則由題意可設(shè)P（3，m），由對稱性可知，直線CD過定點(diǎn)必在x軸上，然后根據(jù)（1）得到的關(guān)系化簡可得答案.【詳解】（1）設(shè)，則直線AC的方程為，代入橢圓方程，整理得．因為，所以，從而．故點(diǎn)，同理，點(diǎn)．因為A，，B三點(diǎn)共線，所以，從而．所以．故．（2）解法一：由（1）知，，設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)，因為，所以直線為，當(dāng)時，，得，所以，故直線CD過定點(diǎn)．解法二：如圖，設(shè)直線AB，DC交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在F2對應(yīng)的極線，即x＝3上，可設(shè)P（3，m），由對稱性可知，直線CD過定點(diǎn)必在x軸上，不妨設(shè)定點(diǎn)為T（t，0）則，由（1）知，得，即．∴，故直線CD過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值和定點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用“設(shè)而不求”的思想，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程化簡，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，點(diǎn)A，分別是橢圓C的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N都在x軸上方）．且．證明直線m過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)．【分析】（1）由焦距和焦點(diǎn)三角形的周長求出，得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l方程為，代入橢圓方程，設(shè)，韋達(dá)定理表示出根與系數(shù)的關(guān)系，由，得，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理化簡得，可得直線l過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意知，解得c＝2．由橢圓的定義知，的周長為，∴，故．∴橢圓C的方程為．（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：，，把直線方程代入橢圓方程，整理可得，，即，∴．∵，M，N都在x軸上方，且，∴．∴，即．將代入，整理可得，又，即，整理可得，∴直線l為．∴直線l過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點(diǎn)．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）由題可得，解方程即可得到答案；（2）①設(shè)，聯(lián)立，消去得，由于與的右支交于，兩點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，可得，以及，解不等式可得的取值范圍；②由①得，，由題可得，利用向量關(guān)系可得，從而可得，，三點(diǎn)共線，即可證明.【詳解】（1）由已知得，解得，所以的方程為.（2）①設(shè)，，則，聯(lián)立，消去得，則，，解得，且.又與的右支交于，兩點(diǎn)，的漸近線方程為，則，即，所以的取值范圍為.②由①得，，又點(diǎn)在軸上的投影為，所以，，所以，，所以，又，有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線，所以直線過點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）直線與雙曲線一支相交于兩點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理、根的判別式以及直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）證明直線過定點(diǎn)，可利用向量平行關(guān)系進(jìn)行證明.4．（2024·青海海南·二模）已知雙曲線的虛軸長為，點(diǎn)在上.設(shè)直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線AP與BP的斜率之積為.(1)求的方程；(2)證明：直線的斜率存在，且直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）借助虛軸定義得，將的坐標(biāo)代入方程得，即可求解雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，代入曲線中，可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理計算斜率之積可得直線l中參數(shù)關(guān)系，即可得其定點(diǎn).【詳解】（1）因為虛軸長為，所以，將的坐標(biāo)代入方程，得，解得，故的方程為.（2）設(shè)，直線AP的斜率為，直線BP的斜率為．當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，聯(lián)立得，即，由，得，解得（舍去）或（舍去），所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入的方程得，則，由，可得，即，化簡得，即，所以或，當(dāng)時，直線的方程為，直線過點(diǎn)，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時，常根據(jù)動點(diǎn)或動直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在上，，且的面積為.(1)求的方程；(2)若，是上與不重合的兩動點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，由面積公式即可求出，從而得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，，由，利用向量關(guān)系化簡可得：，從而得到，的關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）由題可得，由，可得的橫坐標(biāo)為，因為點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則，所以，解得：，所以拋物線方程為（2）由(1)可得：，，顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，，，所以，聯(lián)立方程，可得：，所以，即，，，因為，所以，則，化簡得：，則，所以，解得：，或，當(dāng)時，即，且，所以，所以直線過定點(diǎn)為，當(dāng)時，即，且，所以，所以直線過定點(diǎn)為，即點(diǎn)，不滿足題意，舍去；綜上：直線過定點(diǎn)為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式或橫截式來證明.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)．(1)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，且的面積為，求圓的方程；(2)若是拋物線上的另外一點(diǎn)，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用求出可得答案；（2）方法一，對兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為，結(jié)合拋物線方程得，再由可得答案；方法二，對兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合可得答案.【詳解】（1）準(zhǔn)線為到的距離是．由對稱性知，是等腰直角三角形，斜邊，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，，解得，故圓的方程為；（2）方法一，因為，所以，所以，設(shè)在拋物線上，則．顯然直線的斜率存在，則直線的方程為，將代入得，，即，令，得，

由得，，因為（否則，有一個為零向量），所以，代入式可得，故直線經(jīng)過定點(diǎn)．方法二，因為，所以，設(shè)在拋物線上，則，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得到，，由得，，因為（否則，有一個為零向量），所以，即，因此就是．故直線經(jīng)過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.題型二：定值問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．(1)求的離心率，求出的方程．(2)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，求證：的面積為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)橢圓，，，求得a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程求解；（2）作伸縮變換，使橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A，由題意得到，再由點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，求解.【詳解】（1）解：橢圓的方程為，即，∵，∴，，∴，即．又，∴，，∴橢圓的方程為．∴的離心率，橢圓的方程為．（2）作伸縮變換，則橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A．如圖所示．∵直線MN與橢圓相切于點(diǎn)P，則變換后直線與圓相切于點(diǎn)，此時．而，，則，從而，故，于是．又點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，則，即的面積為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問通過作伸縮變換，將橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，易得，再利用對稱性，由而得解.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過軸上一點(diǎn)作一直線，與橢圓交于兩點(diǎn)（異于），直線和的交點(diǎn)為，記直線和的斜率分別為，求的值．【答案】【分析】法一：首先利用三點(diǎn)共線表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并利用方程聯(lián)立，得出兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，代入，即可求值.法二：由題意可得點(diǎn)N在關(guān)于橢圓的極線上，設(shè)，再利用斜率公式計算即可得出結(jié)論.【詳解】解法一：由題意設(shè)直線的方程：，，，，由和三點(diǎn)共線可知，解得，，（*）聯(lián)立，得，，，代入（*）得，，，.解法二：∵A，P，Q，B是橢圓上的四點(diǎn)，直線AB與PQ相交于點(diǎn)M，直線AP與BQ相交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N在關(guān)于橢圓的極線上，設(shè)，則，∴.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線相切與于點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動時，的值是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為3【分析】（1）由題意可得，即有，又點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線的方程，解方程可得，進(jìn)而得到雙曲線的方程；（2）討論為雙曲線的頂點(diǎn)，即切線的斜率不存在，求得的坐標(biāo)，可得；再設(shè)，且切線的斜率存在，代入雙曲線的方程，求導(dǎo)可得切線的斜率和方程，聯(lián)立漸近線方程求得的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求定值.【詳解】（1）由題意可得，即，即有，又點(diǎn)在雙曲線上，可得，解得，即有雙曲線的方程為.（2）假設(shè)為雙曲線的頂點(diǎn)，設(shè)，切線為，代入雙曲線的漸近線方程，可得，即有；設(shè)，且切線的斜率存在，且有，

對雙曲線的方程兩邊對x求導(dǎo)，可得，求得切線的斜率為，切線的方程為，化為，聯(lián)立漸近線方程，可得，即有.則當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動時，的值為定值3.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.4．（23-24高二下·上?！て谀┮阎p曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得雙曲線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷是否為零即可；（3）用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線，得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，結(jié)合韋達(dá)定理，證明為定值．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）雙曲線的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，由，消去得，顯然，，設(shè)，則，得，于是，，即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．（3）由直線，得，則，又，于是，而，即有，且，所以，即為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，直線交軸于，直線交軸于．(1)若直線過點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的值；(3)若直線過點(diǎn)，設(shè)，求的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）由題意易得直線斜率存在且不為，且直線、斜率存在，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)交點(diǎn)有兩個，得出，解不等式即可得直線斜率的范圍.（2）設(shè)直線的方程為：聯(lián)立直線與拋物線的方程得出點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由，，得出、與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，對化簡可求得的值.（3）根據(jù)，，得出、與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)在同一直線上，在同一直線上，得出，與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)（1）中聯(lián)立所得的方程得出點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，對原式進(jìn)行化簡，即可得的值.【詳解】（1）因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的解析式為．又因為直線過點(diǎn)，且直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)．易知直線斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程式為.根據(jù)題意可知直線不能過點(diǎn)，所以直線的斜率.若直線與拋物線的一個交點(diǎn)為，此時該點(diǎn)與點(diǎn)所在的直線斜率不存在，則該直線與軸無交點(diǎn)，與題目條件矛盾，此時，所以直線斜率.聯(lián)立方程，得，因為直線與拋物線有兩個不同交點(diǎn)，所以，所以．故直線的斜率的取值范圍是且且.即率的取值范圍是.（2）如圖所示設(shè)直線的方程為：由，得，設(shè)，，則，∵，，，，∴，，∴，.（3）如圖所示設(shè)點(diǎn)，，則，，因為，所以，故，由得，設(shè)，，直線方程為，令，得①，由直線可得②，因為③，將①②代入③可得，，又由根與系數(shù)的關(guān)系：，，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.6．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)中的兩個點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)過且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，在第一象限，求的值；(3)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】(1)(2)3(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，確定拋物線經(jīng)過的點(diǎn)，從而求出其方程；（2）利用拋物線的定義分別求出和，計算即得；（3）依題設(shè)，將其與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的表示式，化簡，消元并代入韋達(dá)定理計算即得.【詳解】（1）因為拋物線關(guān)于軸對稱，所以必過中的兩點(diǎn)，代入可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖1，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義可得，又，解得，同理，解得，故.（3）如圖2，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，顯然，所以，直線方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即，同理可得，故可得.于是，即是定值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用和與之相關(guān)的定值問題.對于與拋物線的焦半徑，焦點(diǎn)弦有關(guān)的題型，一般考慮運(yùn)用拋物線定義求解；對于定值問題，一般思路是設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得韋達(dá)定理，消元代入求解.題型三：定直線問題1．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．（i）求證：點(diǎn)軌跡方程為；（ii）為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形，即可結(jié)合余弦定理求解，（2）（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，從而即可得證；（ii）進(jìn)一步根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得證.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，所以，解得.因為，，.在中，由余弦定理得，解得，則，故橢圓的方程為；（2）（i）當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得.因在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交.設(shè)，由韋達(dá)定理得，所以.因為為線段中點(diǎn)，所以，此時，則.要證，只需證明，而，所以點(diǎn)軌跡方程為；（ii）聯(lián)立得，則.不妨設(shè)，所以，.不妨設(shè)，由得，即.因為，，所以.∵，所以，即，則點(diǎn)在定直線上.當(dāng)直線斜率為0時，軸，此時,.因為，所以，則，故點(diǎn)在定直線上；當(dāng)直線無斜率時，此時直線方程為，易知軸，所以點(diǎn)在軸上，則.∵，所以，即，則點(diǎn)在定直線上.綜上可得：點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn)；若直線方程為(為定值),則直線過定點(diǎn)2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，．(1)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)若，證明：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式，結(jié)合點(diǎn)差法證明定值.（2）由題意求出橢圓方程，與直線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立直線與直線的方程，化簡可求得交點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）設(shè)，，則．由兩式相減得，即．所以．（2）解法一：由解得所以橢圓的方程為．將直線的方程代入橢圓的方程，化簡整理得．①

由，解得．由韋達(dá)定理，得，．②設(shè)，，則直線的方程為，③直線的方程為，④由③④兩式解得，即，所以直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．解法二：設(shè)直線（即直線）與直線（軸）的交點(diǎn)為，直線與直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)，，構(gòu)成橢圓的自極三點(diǎn)形，點(diǎn)一定在點(diǎn)對應(yīng)的極線上，其方程為，即，就是說直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.【答案】(1)(2)（i）或；（ii）證明見解析【分析】（1）由已知條件去設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示斜率之積，通過點(diǎn)在雙曲線上，代入并消元一個變量，即可得到，從而求出雙曲線方程；（2）（i）利用過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支相交，必滿足,從而去求出的取值范圍；（ii）先用交點(diǎn)坐標(biāo)去表示直線的方程，然后猜想交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，所以消去縱坐標(biāo)得到關(guān)于交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后利用韋達(dá)定理代入化簡，可得定值，即問題可得證.【詳解】（1）由題意可知，因為，所以.設(shè)，則，所以，又，所以.所以雙曲線C的方程為.（2）（i）由題意知直線l的方程為.聯(lián)立，化簡得，因為直線l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，所以或；（ii），直線AD的方程為直線BE的方程為.聯(lián)立直線AD與BE的方程，得，所以，所以，所以.所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)Q在定直線上.4．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列等式，然后化簡即可得到的方程；（2）分斜率為0和不為0兩種情況考慮，當(dāng)直線的斜率為0時得到，當(dāng)直線的斜率不為0時，聯(lián)立直線和雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和得到點(diǎn)在定直線上，又也在直線上，即可證明點(diǎn)在一條定直線上.【詳解】（1）由題意知，所以，所以，化簡得，的方程為.（2）依題意，設(shè)，①當(dāng)直線的斜率為0時，則，因為，所以，所以，從而，則，即，解得，即.②當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)的方程為，由消去，得，則且，因為，所以，消去，得，所以，從而，又也在直線上.綜上，點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解動點(diǎn)在定直線上的方法：（1）先猜后證：現(xiàn)根據(jù)特殊情況猜想，然后證明；（2）參數(shù)法：用題目中參數(shù)表示動點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，然后消參，即可得到直線方程.5．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，求；(3)過點(diǎn)的動直線交于不同的兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)在某定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)；(2)8；(3)證明見解析，【分析】（1）由焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為即可求得p值，則拋物線方程可求；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及過拋物線焦點(diǎn)的弦長公式即可求解；（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理化簡，分析可得，則定直線方程可求.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，于是，解得：，所以拋物線的方程為．（2）由（1）知，直線的方程為，設(shè)，由消去得：，則，所以．（3）由題意可得直線的斜率存在．設(shè)直線的方程為，代人拋物線方程，整理得或．設(shè)，則，由，得，化簡得，當(dāng)時，因，化簡得，與直線的斜率存在矛盾，不合題意；當(dāng)時，化簡得．即化簡得，又，所以，化簡得，所以點(diǎn)在直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合已知推理求解.6．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，和動點(diǎn)滿足是，的等差中項．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點(diǎn)M，N的連線交軸于點(diǎn)，如果（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為銳角，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點(diǎn)和處的切線的交點(diǎn)為，求證：在一條定直線上．【答案】(1)；(2)或；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合等差中項的定義代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由平移公式可得曲線的方程，然后與直線的方程聯(lián)立，由平面向量的夾角公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立兩條切線方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，，則，，又是，的等差中項，，整理得點(diǎn)的軌跡方程為．（2）由（1）知，又，平移公式為即，代入曲線的方程得到曲線的方程為：，即．曲線的方程為．如圖由題意可設(shè)M，N所在的直線方程為，由消去得，令，，則，，，又為銳角，，即，，又，，得或．（3）當(dāng)時，由（2）可得，對求導(dǎo)可得，拋物線在點(diǎn)，，處的切線的斜率分別為，，在點(diǎn)M，N處的切線方程分別為，，由，解得交點(diǎn)的坐標(biāo)．滿足即，點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了曲線的軌跡方程問題以及切線問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理計算以及轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.三、專項訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，是經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的一條弦（不經(jīng)過點(diǎn)）．記直線，，的斜率依次為，，，問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及橢圓過點(diǎn)，可列方程，解方程即可；（2）易知直線斜率一定存在，設(shè)，當(dāng)直線斜率為時，分別表示，，，可得成立，當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理，分別表示，，，即可得.【詳解】（1）由橢圓離心率，則，即，所以橢圓方程為，又橢圓過點(diǎn)，則，解得，，所以橢圓方程為.（2）由已知，經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)，可知直線的斜率一定存在，設(shè)，當(dāng)直線斜率為時，，，則，，，此時，當(dāng)直線斜率不為時，如圖，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，設(shè)，，于是，即．又，則，，綜上所述存在常數(shù)，使得．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率