《二倍角的正弦、余弦和正切公式》教學(xué)設(shè)計

3/183.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(名師：李偉)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過二倍角公式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，使學(xué)生體會化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)和解決問題過程中的作用．在直觀想象、數(shù)學(xué)推理中感受二倍角公式的特點(diǎn)．（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解二倍角公式的來由、過程，探求二倍角公式證明的思想方法．2．通過學(xué)習(xí)二倍角公式的產(chǎn)生過程，深刻理解二倍角公式的本質(zhì)．3．能熟練地正用、逆用以及變形利用二倍角公式解決一些基本的問題．（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1．深刻理解二倍角公式的由來、產(chǎn)生公式的過程．2．認(rèn)識二倍角公式的本質(zhì)．（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)二倍角公式的本質(zhì)及拓廣應(yīng)用．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第132頁至第135頁，填空：二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝.(S2α)cos2α＝(C2α)＝＝.tan2α＝.(T2α)．（2）推一推：由二倍角公式進(jìn)行公式的變形，填空：＝＝；＝；＝；

cos2α＝；sin2α＝．2．預(yù)習(xí)自測（1）已知，則()A．B.C．D．

答案：A．

解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的正用．【解題過程】∵，∴，，.

∴，

點(diǎn)撥：先算單倍角的三角函數(shù)值，再通過倍角公式即可得．（2）=()A．0B.C．1D．答案：B．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的逆用．【解題過程】∵，∴選B，

點(diǎn)撥：需要觀察所求式子的特征，符合二倍角的余弦公式．

（3）若tan(α＋eq\f(π,4))＝3＋2eq\r(2)，則＝________.答案：．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的正用及其逆用．【解題過程】∵又點(diǎn)撥：先化簡所求的式子，再結(jié)合已知條件，構(gòu)造所要求的條件和結(jié)構(gòu)

（4）求值：答案：．

解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的變用．【解題過程】由，則有，那.又，則，所以點(diǎn)撥：注意到，所以先將已知條件化簡得到，進(jìn)而用二倍角公式求.(二)課堂設(shè)計1．知識回顧（1）兩角和與差的余弦公式cos(α－β)＝.(C(α－β))cos(α＋β)＝.(C(α＋β))（2）兩角和與差的正弦公式sin(α＋β)＝.(S(α＋β))sin(α－β)＝.(S(α＋β))（3）兩角和與差的正切公式tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.2．問題探究探究一結(jié)合實(shí)例，得到二倍角公式★●活動①提出問題要在半徑為的半圓材料上(如圖1)截成一條邊在直徑上的內(nèi)接長方形．設(shè)，當(dāng)為多大時，才能使長方形面積最大?易得，那么當(dāng)為多大時，才能使長方形面積最大？這就需要考慮，這里分別最大都是1，但不能同時取到，所以需要化簡．請學(xué)生回顧，在哪里見過這種正弦余弦相乘的結(jié)構(gòu)，自然想到和差角的正弦公式．【設(shè)計意圖】從實(shí)際數(shù)學(xué)問題入手，體會二倍角公式學(xué)習(xí)的必要性．●活動②知識回憶，公式探索兩角和與差的正弦公式sin(α＋β)＝.(S(α＋β))sin(α－β)＝.(S(α＋β))提問1：在已學(xué)的和差角的正弦公式中，怎樣才能出現(xiàn)剛才的？明顯需要把都賦值成，所以即可以得二倍角的正弦公式：.此外，在差角公式中得出來的就是恒等式，無研究意義了．提問2：按照同樣的方法，能否推出二倍角的余弦和正切公式？由學(xué)生自己動手完成．；提問3：對于，在展開式當(dāng)中，能否寫成其他的形式？用可以替換其中的一個三角函數(shù)，所以，從而可以將二倍角的余弦寫成只有中的一個即可，為今后的運(yùn)算帶來更大的方便．【設(shè)計意圖】通過二倍角公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體會倍角公式是從一般到特殊的替代賦值過程．探究二理解二倍角公式的本質(zhì)★●活動①理解二倍角的本質(zhì)提問1：如何理解二倍角中的“倍”的含義？倍是針對兩個量之間的關(guān)系的，倍角是相對而言的．比如的2倍，的2倍，的2倍，所以這里的二倍角其本質(zhì)蘊(yùn)含著換元的思想．提問2：二倍角公式中角的取值范圍有什么要求？根據(jù)前面學(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義，就只有正切有要求，只要有正切作用的角，都不能取●活動②鞏固理解，加深認(rèn)識提問3：這些公式有什么特征？公式從左到右，次數(shù)由一次變成二次，而角度由雙倍角變?yōu)閱伪督牵簿褪谴螖?shù)在增倍，角度在減半，所以都是處在平衡之中的．即從左到右減倍增次．【設(shè)計意圖】在對公式的特點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步分析，讓學(xué)生能夠體會這其中的換元的思想，以及在恒等式的變形中都會有一個平衡，次數(shù)增加必有角度減半，反之亦然．探究三公式的變形及應(yīng)用★▲●活動①理解提升，公式的拓展變形提問：如何進(jìn)一步理解倍角和次數(shù)的關(guān)系，二倍角公式還可以做哪些變形？學(xué)生自主探究，相互討論，合作交流．二倍角公式反應(yīng)的是將二倍角的三角函數(shù)值與單倍角的三角函數(shù)值的轉(zhuǎn)化，從而對于二倍角的余弦公式就可以拓廣有升冪（降角）公式，降冪（升角）公式．二倍角的正弦拓廣就有：，【設(shè)計意圖】通過學(xué)生自主探究，合作交流，加深對公示的理解和記憶，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸類梳理意識．●活動②初步實(shí)踐，解決引入數(shù)學(xué)問題在剛才的引入的具體數(shù)學(xué)問題中可變形為，所以當(dāng)，即時，最大，【設(shè)計意圖】應(yīng)用所學(xué)的公式解決引入的問題，讓學(xué)生加深對倍角公式應(yīng)用的理解．活動③鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1已知且，求和.【知識點(diǎn)】二倍角公式的正用．【解題過程】∵，，∴.

∴，【思路點(diǎn)撥】先算單倍角的三角函數(shù)值，通過被角公式即可算所求．【答案】，．同類訓(xùn)練：已知且，求.答案：．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的正用．【解題過程】∵，，，∴.

∴點(diǎn)撥：先算單倍角的三角函數(shù)值，通過被角公式即可算所求．

例2求值：（1）；（2）；（3）.答案：（1）；（2）2；（3）．解析：【知識點(diǎn)】公式的逆用．【解題過程】（1）原式＝===（2）原式＝.（3）原式＝點(diǎn)撥：通過適當(dāng)變形，創(chuàng)造適合公式的條件．（1）由，所以，利用二倍角公式求解；（2）由倒數(shù)關(guān)系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解；（3）利用誘導(dǎo)公式及倍角公式求解．同類訓(xùn)練求值：（1）；（2）；答案：（1）；（2）．解析：【知識點(diǎn)】公式的逆用．【解題過程】（1）原式=．（2）點(diǎn)撥：根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行二倍角公式的逆用，通過適當(dāng)變形，創(chuàng)造適合公式的條件．【設(shè)計意圖】鞏固二倍角公式，讓學(xué)生學(xué)會正用和逆用公式，加深對于倍角公式的理解運(yùn)用，并且讓學(xué)生體會逆用公式解題是訓(xùn)練學(xué)生逆向思維和靈活思維的重要手段．●活動4強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例3在中，求．【知識點(diǎn)】公式的綜合應(yīng)用．【解題過程】解法1：在中，由,所以．，又所以.所以解法2：在中，由,所以．又所以，所以【思路點(diǎn)撥】從要求的角可以看出和已知的角是具有2倍關(guān)系的，所以創(chuàng)造適合公式的條件．法一：用；法二：用【答案】．同類訓(xùn)練：已知，求答案：．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的綜合應(yīng)用【解題過程】解法1：由則,所以．則，又所以.所以解法2：由則,所以．又所以，所以解法3：在中，由則,所以．又且所以,其中，所以原式=．點(diǎn)撥：從要求的角可以看出和已知的角是具有2倍關(guān)系的，所以創(chuàng)造適合公式的條件．法一：用；法二：用；法三：經(jīng)計算可得，所以可求．例4．化簡下列各式：(1)；(2)；

【知識點(diǎn)】二倍角公式的變用．【解題過程】（1）（2）原式=＝＝＝＝.【思路點(diǎn)撥】各題的解法均為構(gòu)造法，連續(xù)用公式：.產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”起到化簡作用．【答案】（1）；（2）．

同類訓(xùn)練化簡下列各式：(1)；(2)；

答案：（1）；（2）．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的變用．【解題過程】（1）（2）原式＝＝＝＝＝.點(diǎn)撥：各題的解法為構(gòu)造法，連續(xù)用公式：.產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”起到化簡作用．【設(shè)計意圖】由淺入深，讓學(xué)生感受公式的正用，逆用外，以及公式的變用，感悟?qū)W以致用．3.課堂總結(jié)知識梳理（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝.(S2α)cos2α＝(C2α)＝＝.tan2α＝.(T2α)．（2）由二倍角公式進(jìn)行公式的變形：1±sin2α＝＝；升冪公式：1＋＝；1－＝；

降冪公式：cos2α＝；sin2α＝．重難點(diǎn)歸納（1）)倍角公式探索是從一般到特殊的替代過程，是高中數(shù)學(xué)重要的一種思想方法，利用此方法，可以探索出更多的公式如三倍角公式．（2）倍角是相對的，是的倍角，是的倍角，是的倍角等．（3）公式的推廣、變形、逆用也是靈活運(yùn)用，是理解公式的關(guān)鍵所在．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．若，，則sin2θ＝（）

A.B.C.D.答案：D．解析：【知識點(diǎn)】二倍角的正弦公式．【解題過程】因?yàn)?，所以，所以，所以，選D.點(diǎn)撥：利用二倍角公式計算．2．若，，則θ在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：D．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的正用．【解題過程】，，∴θ在第四象限．點(diǎn)撥：計算θ的是三角函數(shù)值的符號以確定θ的位置．3．的值是()

A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.－eq\f(\r(3),2)答案：B．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的逆用．【解題過程】原式＝＝=＝eq\f(1,2).點(diǎn)撥：結(jié)合已知，創(chuàng)造適合公式的條件．4．求的值是()

A．0B．1C．－1D.eq\f(\r(2),2)答案：B．解析：【知識點(diǎn)】二倍角的正切公式的正用．【解題過程】原式=.

點(diǎn)撥：先通分即可化為二倍角的正切公式．5．若，則cosα＋sinα的值為()

A．B．C.D.答案：C．解析：【解題過程】由

所以點(diǎn)撥：利用二倍角公式和差角公式打開即得．6．若，則等于()

A.B．C.D．答案：B．解析：【知識點(diǎn)】升冪公式．【解題過程】∵，∴，∴．點(diǎn)撥：用升冪公式化簡所求，再結(jié)合已知判斷符號．

能力型師生共研7．若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋sin2α)的值為()A.eq\f(10,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D.－2答案：A．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的綜合應(yīng)用．【解題過程】由已知可得3sinα＝－cosα，則tanα＝－eq\f(1,3).則所求．點(diǎn)撥：先化簡已知可得tanα，再將所求化成分子分母二次齊次的式子．8．若△ABC的內(nèi)角A滿足sin2A＝eq\f(2,3)，則sinA＋cosA的值為()A.B．－C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)答案：A．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的變形應(yīng)用．【解題過程】∵sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(2,3)，∴1＋2sinAcosA＝eq\f(5,3)，且必有即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝eq\f(5,3).∴|sinA＋cosA|＝.又∵A為銳角，∴sinA＋cosA＝，故選A．點(diǎn)撥：已知sinA與cosA的乘積，算sinA與cosA的和差，均需平方以后再開方計算．探究型多維突破9．已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2).(1)求tan2α的值；(2)求β.答案：（1）；（2）β＝eq\f(π,3)．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的應(yīng)用．【解題過程】由cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，得.∴.于是.(2)∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2).又∵cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴.則.∴β＝eq\f(π,3).點(diǎn)撥：（1）先求，再用二倍角公式算；（2）算β的三角函數(shù)值，由條件需要用構(gòu)造．10．已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求的值；

(2)求的最大值和最小值．

答案：（1）；（2）最大值6；最小值.解析：【知識點(diǎn)】三角公式的簡單綜合應(yīng)用．【解題過程】(1).(2)，x∈R，，當(dāng)時，取最大值6；當(dāng)時，取最小值.點(diǎn)撥：（1）特殊角帶入計算即可；（2）由所給的式子，對于同一個角，既有二次項，又有一次項，則最終可化成一個二次型函數(shù)．自助餐1．已知，則_________.答案：．解析：【知識點(diǎn)】二倍角的余弦公式的正用以及誘導(dǎo)公式．【解題過程】由，所以，則．點(diǎn)撥：先用誘導(dǎo)公式求出單倍角的三角函數(shù)值，再用倍角公式計算．2．________.答案：．解析：【知識點(diǎn)】被角公式的變用．【解題過程】．點(diǎn)撥：解法構(gòu)造法，連續(xù)用公式：.產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”起到化簡作用．3．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是________．答案：．解析：【知識點(diǎn)】二倍角公式的變形以及三角函數(shù)的性質(zhì)【解題過程】，又x∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)]，所以的最大值為．點(diǎn)撥：對于齊次式，利用降冪公式將次數(shù)化為一次，然后再用輔助角公式化成一個三角函數(shù)．4．若，則＝________.答案：eq\f(1,2)．解析：【知識點(diǎn)】三角公式的變形及二倍角公式．【解題過程】法一：．∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(2tanθ,4tanθ)＝eq\f(1,2).法二：點(diǎn)撥：先將已知條件化簡轉(zhuǎn)化成單倍角的正切，再將所求也變形成的式子．5．已知函