《1.3.1 二項(xiàng)式定理》學(xué)歷案

《1.3.1二項(xiàng)式定理》學(xué)歷案姓名：班級(jí)：學(xué)號(hào)：【主題與課時(shí)】人民教育出版社高中選修23第一章計(jì)數(shù)原理1.3.1二項(xiàng)式定理【課標(biāo)要求】1、理解二項(xiàng)式定理，能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理。2、會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1、同學(xué)們?cè)趯W(xué)完這節(jié)課后，能準(zhǔn)確說出二項(xiàng)式定理的表達(dá)式。比如說，像$（a＋b)＾n$展開后是什么樣的式子，要能說得出來。2、能夠理解二項(xiàng)式定理推導(dǎo)過程中所用到的計(jì)數(shù)原理，就是知道這個(gè)式子是怎么來的，而不是死記硬背。3、可以熟練運(yùn)用二項(xiàng)式定理去求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，例如求第k項(xiàng)是啥樣的。4、能解決一些簡單的二項(xiàng)式相關(guān)的實(shí)際問題，就像在生活里遇到的一些類似情況，也能把這個(gè)知識(shí)用上?！驹u(píng)價(jià)任務(wù)】1、通過課堂提問和小組討論的表現(xiàn)，來檢測(cè)目標(biāo)1和2是否達(dá)成。如果在課堂上能積極回答關(guān)于二項(xiàng)式定理表達(dá)式和推導(dǎo)原理的問題，那就說明掌握得還不錯(cuò)。2、做一些專門設(shè)計(jì)的練習(xí)題，要是能順利求出二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，就達(dá)到目標(biāo)3啦。3、布置一個(gè)實(shí)際的小問題，要是能運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決，那目標(biāo)4就達(dá)成了?！緦W(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)入同學(xué)們，咱們來想象一下這樣一個(gè)場(chǎng)景啊。學(xué)校要組織一場(chǎng)趣味數(shù)學(xué)競賽，其中有一個(gè)挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)是關(guān)于數(shù)字組合的。給你一個(gè)像$（a＋b)＾n$這樣的式子，讓你快速算出它展開后的結(jié)果。這可不像咱們平常簡單的加法或者乘法運(yùn)算哦。這就好比你要把一堆不同顏色的積木按照特定的規(guī)則組合起來，而且這個(gè)規(guī)則還和數(shù)學(xué)里的計(jì)數(shù)原理有關(guān)系呢。這時(shí)候啊，咱們要是掌握了一個(gè)神奇的公式，就能輕松搞定這個(gè)挑戰(zhàn)啦，這個(gè)神奇的公式就是咱們今天要學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理。二、任務(wù)一：二項(xiàng)式定理的表達(dá)式1、首先呢，咱們來探索一下二項(xiàng)式定理的表達(dá)式到底長啥樣。咱們從簡單的例子開始看啊。比如說$（a＋b)＾2$，根據(jù)咱們學(xué)過的乘法分配律，＄（a＋b)＾2=（a＋b)（a＋b)＝a^2+2ab＋b^2$。那要是$（a＋b)＾3$呢？咱們可以這樣一步一步算，＄（a＋b)＾3=（a＋b)（a＋b)（a＋b)＄，展開之后就得到$a^3+3a^2b＋3ab^2+b^3$。2、大家觀察一下這兩個(gè)式子，有沒有發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律呢？咱們可以一起討論一下。是不是發(fā)現(xiàn)展開式中的每一項(xiàng)都是由a和b的冪次組成的，而且冪次之和就等于原來的指數(shù)n呢？比如說在$（a＋b)＾2$的展開式中，＄a^2$里a的冪次是2，b的冪次是0，2+0＝2；＄2ab$里a的冪次是1，b的冪次是1，1+1＝2；＄b^2$里a的冪次是0，b的冪次是2，0+2＝2。在$（a＋b)＾3$的展開式中也有同樣的規(guī)律哦。3、那咱們?cè)偻笠稽c(diǎn)的指數(shù)看看，假如是$（a＋b)＾n$呢？這時(shí)候啊，就有一個(gè)通用的表達(dá)式啦，這個(gè)表達(dá)式就是二項(xiàng)式定理的表達(dá)式：＄（a＋b)＾n＝C_{n}＾0a^n+C_{n}＾1a^｛n1}b＋C_{n}＾2a^｛n2}b^2+＼cdots+C_{n}＾nb^n$，這里面的$C_{n}＾k$就是組合數(shù)，組合數(shù)的計(jì)算咱們以前也學(xué)過哦。這個(gè)式子看起來有點(diǎn)復(fù)雜，但是只要咱們理解了前面的例子，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)它就是把前面那些簡單情況的規(guī)律總結(jié)出來的。4、現(xiàn)在咱們來做個(gè)小游戲，我在黑板上寫幾個(gè)簡單的二項(xiàng)式，像$（a＋b)＾4$、＄（a＋b)＾5$，大家分組來寫一下它們的展開式，然后咱們互相檢查一下，看看是不是按照二項(xiàng)式定理的表達(dá)式來寫的。三、任務(wù)二：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)原理1、那這個(gè)二項(xiàng)式定理是怎么推導(dǎo)出來的呢？這就和咱們之前學(xué)過的計(jì)數(shù)原理有關(guān)系啦。咱們還是從簡單的例子開始想。比如說$（a＋b)＾3=（a＋b)（a＋b)（a＋b)＄，展開式中的每一項(xiàng)是怎么來的呢？2、對(duì)于$a^3$這一項(xiàng)，它是從三個(gè)括號(hào)里都選了a相乘得到的，那根據(jù)計(jì)數(shù)原理，這只有一種選法，也就是$C_{3}＾0＝1$種選法，所以前面的系數(shù)就是1。3、對(duì)于$a^2b$這一項(xiàng)呢，它是從三個(gè)括號(hào)里選了兩個(gè)a和一個(gè)b相乘得到的。那從三個(gè)里面選兩個(gè)a的選法有多少種呢？這就是組合數(shù)$C_{3}＾2＝3$種選法，所以這一項(xiàng)的系數(shù)就是3。4、同樣的道理，對(duì)于$ab^2$這一項(xiàng)，是從三個(gè)括號(hào)里選了一個(gè)a和兩個(gè)b相乘得到的，選法有$C_{3}＾1＝3$種，系數(shù)就是3；對(duì)于$b^3$這一項(xiàng)，是從三個(gè)括號(hào)里都選了b相乘得到的，選法有$C_{3}＾3＝1$種，系數(shù)就是1。5、大家現(xiàn)在能不能理解二項(xiàng)式定理推導(dǎo)過程中的計(jì)數(shù)原理了呢？咱們?cè)倥e個(gè)例子，比如說$（a＋b)＾4$，大家自己試著用計(jì)數(shù)原理來推導(dǎo)一下它的展開式，然后小組之間互相交流一下自己的推導(dǎo)過程，看看有沒有不同的想法。四、任務(wù)三：運(yùn)用二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)1、學(xué)會(huì)了二項(xiàng)式定理的表達(dá)式和推導(dǎo)原理，那咱們就要用它來解決實(shí)際問題啦。比如說，咱們要求$（a＋b)＾n$展開式中的第k項(xiàng)。根據(jù)二項(xiàng)式定理的表達(dá)式，第k項(xiàng)的表達(dá)式是$T_{k}＝C_{n}＾｛k1}a^｛n(k1)｝b^｛k1}＄。2、咱們來做個(gè)練習(xí)題，求$（2xy)＾5$展開式中的第3項(xiàng)。首先呢，這里$n＝5$，＄k＝3$，＄a＝2x$，＄b=y$。那根據(jù)公式，第3項(xiàng)$T_{3}＝C_{5}＾｛2}（2x)＾｛52}（y)＾｛2}＄。先計(jì)算組合數(shù)$C_{5}＾｛2}＝＼frac{5!｝｛2!（52)?。剑躥rac{5\times4}｛2\times1}＝10$，然后$（2x)＾｛3}＝8x^3$，＄（y)＾｛2}＝y(tǒng)^2$，所以第3項(xiàng)就是$10\times8x^3y^2＝80x^3y^2$。3、現(xiàn)在大家自己做幾個(gè)練習(xí)題吧。求$（3x＋2y)＾6$展開式中的第4項(xiàng)，還有$（x＼frac{1}｛x}）＾7$展開式中的第5項(xiàng)。做完之后同桌之間互相檢查一下，看看做得對(duì)不對(duì)。五、任務(wù)四：二項(xiàng)式定理的實(shí)際應(yīng)用1、咱們前面說過要把二項(xiàng)式定理用到實(shí)際生活中，現(xiàn)在就來看看一個(gè)實(shí)際的例子。假設(shè)一個(gè)工廠要生產(chǎn)一種新的產(chǎn)品，有兩種原材料A和B，在生產(chǎn)過程中，A和B的使用比例會(huì)影響產(chǎn)品的質(zhì)量。如果把產(chǎn)品質(zhì)量看成是一個(gè)關(guān)于A和B使用比例的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就可以用二項(xiàng)式定理來近似表示。比如說，假設(shè)產(chǎn)品質(zhì)量Q和A、B的使用比例x、y有關(guān)系，＄Q=（x＋y)＾n$（這里n是一個(gè)根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)情況確定的常數(shù)），那我們就可以用二項(xiàng)式定理展開這個(gè)式子，然后根據(jù)不同的需求來調(diào)整A和B的使用比例，以達(dá)到最佳的產(chǎn)品質(zhì)量。2、再舉個(gè)例子，在一個(gè)投資組合中，有兩種投資產(chǎn)品A和B，它們的收益情況和市場(chǎng)波動(dòng)有關(guān)系。假設(shè)總收益R可以用一個(gè)類似二項(xiàng)式的式子表示，＄R=（a＋b)＾n$（這里a和b是和A、B收益相關(guān)的系數(shù)，n是投資周期等因素相關(guān)的數(shù)），那我們就可以用二項(xiàng)式定理展開這個(gè)式子，分析在不同市場(chǎng)情況下，如何調(diào)整A和B的投資比例來獲得最大的收益。3、現(xiàn)在老師給大家出一個(gè)小問題。假設(shè)有一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有兩種獎(jiǎng)項(xiàng)，一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率分別為p和q（p+q＝1），一共抽n次，那抽中k次一等獎(jiǎng)的概率是多少呢？大家可以試著用二項(xiàng)式定理來解決這個(gè)問題哦?！咀鳂I(yè)與檢測(cè)】1、基礎(chǔ)題（1)寫出$（a＋3b)＾4$的展開式。（2)求$（x2y)＾5$展開式中的第3項(xiàng)。2、提高題（1)在$（1＋x)＾n$的展開式中，若第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求n的值。（2)已知$（2x＋＼frac{1}｛＼sqrt{x}｝）＾n$的展開式中第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求n的值并求出這個(gè)常數(shù)項(xiàng)。3、拓展題某公司推出一款新產(chǎn)品，市場(chǎng)反應(yīng)與產(chǎn)品的價(jià)格和功能有關(guān)。假設(shè)市場(chǎng)反應(yīng)M可以用式子$M=（p＋f)＾n$表示（其中p為價(jià)格因素，f為功能因素，n為市場(chǎng)相關(guān)的常數(shù)），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)p＝0.6，f＝0.4，n＝5時(shí)，市場(chǎng)反應(yīng)較好。現(xiàn)在公司想調(diào)整價(jià)格和功能因素，當(dāng)p＝0.5時(shí)，要保持市場(chǎng)反應(yīng)不變，f應(yīng)該調(diào)整為多少？（提示：用二項(xiàng)式定理展開式子，根據(jù)已知條件求出相關(guān)值）【課后反思】1、在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的表達(dá)式過程中，有沒有覺得哪個(gè)地方比較難理解呢？是組合數(shù)