《1.6.1 余弦定理》說課稿

《1.6.1余弦定理》說課稿尊敬的各位評委、老師：大家好！今天我說課的題目是湘教版（2019）高中必修（第二冊）第1章平面向量及其應(yīng)用中的1.6.1余弦定理。下面我將從說教材、說學(xué)情、說教法、說學(xué)法、說教學(xué)過程以及板書設(shè)計這幾個方面來展開我的說課。一、說教材1、教材的地位和作用余弦定理是高中數(shù)學(xué)中的重要定理之一，它是解決三角形問題的有力工具。在前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些基本概念，如邊、角等，還學(xué)習(xí)了正弦定理。而余弦定理進一步完善了三角形邊角關(guān)系的知識體系，它可以在已知兩邊及其夾角或者已知三邊的情況下求解三角形的其他邊和角。這不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部有著廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)、工程學(xué)等其他領(lǐng)域也有著重要的意義，比如說在建筑設(shè)計中計算三角形結(jié)構(gòu)的邊長或者角度等。2、教材內(nèi)容分析教材首先通過實際問題引入，引導(dǎo)學(xué)生思考如何在已知兩邊及其夾角的情況下求第三邊。然后利用向量的方法對余弦定理進行推導(dǎo)，這種推導(dǎo)方法體現(xiàn)了向量這一工具在解決幾何問題中的強大作用。在得出余弦定理之后，教材詳細(xì)介紹了定理的表達(dá)式，并且通過例題和練習(xí)讓學(xué)生掌握如何運用余弦定理解決不同類型的三角形問題，從簡單的直接代入計算到復(fù)雜的綜合運用，逐步加深學(xué)生對定理的理解和應(yīng)用能力。3、教學(xué)目標(biāo)（1）知識與技能目標(biāo)學(xué)生能夠準(zhǔn)確敘述余弦定理的內(nèi)容，理解余弦定理的證明過程。能夠熟練運用余弦定理解決已知兩邊及其夾角求第三邊或者已知三邊求角等三角形問題。（2）過程與方法目標(biāo)通過對余弦定理的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運用向量工具解決幾何問題的能力，提高學(xué)生的邏輯推理能力。在解決三角形問題的過程中，讓學(xué)生學(xué)會分析問題、建立數(shù)學(xué)模型、求解問題的一般方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。（3）情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)讓學(xué)生在探索余弦定理的過程中，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和熱愛。通過實際問題的解決，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在實際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。4、教學(xué)重難點（1）教學(xué)重點余弦定理的推導(dǎo)過程。這是因為推導(dǎo)過程能夠幫助學(xué)生深入理解定理的本質(zhì)，并且推導(dǎo)過程中涉及到向量的知識和運算，是培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識能力的重要環(huán)節(jié)。余弦定理的應(yīng)用。學(xué)生需要掌握如何根據(jù)不同的已知條件正確運用余弦定理來求解三角形的邊和角，這是學(xué)習(xí)余弦定理的核心目的。（2）教學(xué)難點余弦定理的推導(dǎo)。特別是利用向量的方法進行推導(dǎo)，對于學(xué)生來說可能比較抽象，需要學(xué)生具備較強的向量運算能力和空間想象能力。在解決三角形問題時，如何正確判斷使用正弦定理還是余弦定理，以及如何根據(jù)已知條件合理地進行計算和化簡，這需要學(xué)生對兩種定理有深入的理解并且具備較強的解題能力。二、說學(xué)情1、知識基礎(chǔ)學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的基本概念、正弦定理以及向量的相關(guān)知識。他們已經(jīng)掌握了三角形的邊、角關(guān)系的一些基本知識，并且能夠運用正弦定理解決一些簡單的三角形問題。同時，對于向量的運算也有了一定的了解，這些知識為學(xué)習(xí)余弦定理奠定了堅實的基礎(chǔ)。2、能力水平高中學(xué)生正處于邏輯思維能力快速發(fā)展的階段，他們已經(jīng)具備了一定的邏輯推理能力和抽象思維能力。但是，由于余弦定理的推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，尤其是利用向量的方法推導(dǎo)，對于學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力仍然是一個較大的挑戰(zhàn)。在解題能力方面，學(xué)生已經(jīng)有了一定的解題經(jīng)驗，但是在解決三角形問題時，還需要進一步提高分析問題和選擇合適定理的能力。3、學(xué)習(xí)習(xí)慣和態(tài)度大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時具有積極的態(tài)度，他們渴望掌握新的知識和技能。然而，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性和邏輯性，部分學(xué)生可能會在學(xué)習(xí)過程中遇到困難而產(chǎn)生畏難情緒。在學(xué)習(xí)習(xí)慣上，一些學(xué)生缺乏主動思考和自主探究的能力，習(xí)慣于老師的講解和指導(dǎo)。因此，在教學(xué)過程中，需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動參與到教學(xué)活動中來，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。就拿我之前教過的一個學(xué)生來說吧。這個學(xué)生平時學(xué)習(xí)很努力，基礎(chǔ)知識掌握得也還不錯。但是在學(xué)習(xí)類似余弦定理這種需要綜合運用多種知識進行推導(dǎo)和解題的內(nèi)容時，就顯得有些吃力。他總是習(xí)慣于按照老師講的步驟去做，缺乏自己的思考和探索。有一次做一道已知三邊求角的三角形問題，他一開始就不知道該用什么定理，在我的提示下用了余弦定理，但是在計算過程中又出現(xiàn)了很多小錯誤，比如向量運算的符號錯誤等。這讓我意識到，在教學(xué)過程中，不僅要讓學(xué)生掌握知識本身，更要注重培養(yǎng)他們的思維能力和解題習(xí)慣。三、說教法1、講授法對于余弦定理的概念、表達(dá)式以及推導(dǎo)過程中的一些關(guān)鍵步驟，需要通過講授法進行詳細(xì)的講解。這樣可以確保學(xué)生準(zhǔn)確地理解知識內(nèi)容，避免學(xué)生在自學(xué)過程中可能出現(xiàn)的誤解。2、問題驅(qū)動法通過設(shè)置一系列有層次的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索。例如在推導(dǎo)余弦定理之前，可以先提出問題：“已知三角形的兩邊及其夾角，如何求第三邊呢？”然后逐步引導(dǎo)學(xué)生利用向量的方法去解決這個問題。這種方法可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。3、多媒體輔助教學(xué)法在教學(xué)過程中，利用多媒體展示三角形的動態(tài)變化、向量的運算過程等。比如在推導(dǎo)余弦定理時，通過動畫演示向量的平移、合成等操作，讓學(xué)生更加直觀地理解向量與三角形邊、角之間的關(guān)系。這有助于將抽象的知識形象化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。采用這些教學(xué)方法的依據(jù)主要是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點和學(xué)生的學(xué)情。余弦定理的內(nèi)容比較抽象，需要教師進行詳細(xì)的講解；問題驅(qū)動法可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；而多媒體輔助教學(xué)法能夠?qū)⒊橄蟮闹R直觀化，有助于學(xué)生理解和掌握。四、說學(xué)法1、自主探究法在學(xué)習(xí)余弦定理的推導(dǎo)過程中，鼓勵學(xué)生自主探究，嘗試用不同的方法去推導(dǎo)定理。例如，除了教材上的向量方法，學(xué)生可以思考是否還有其他幾何方法或者代數(shù)方法來推導(dǎo)余弦定理。這種方法可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和自主學(xué)習(xí)能力。2、合作學(xué)習(xí)法在解決一些復(fù)雜的三角形問題時，組織學(xué)生進行小組合作學(xué)習(xí)。小組成員之間可以互相討論、交流解題思路和方法，共同解決問題。通過合作學(xué)習(xí)，學(xué)生可以學(xué)會從不同的角度思考問題，提高自己的解題能力和團隊協(xié)作能力。3、總結(jié)歸納法在學(xué)習(xí)完余弦定理的應(yīng)用之后，引導(dǎo)學(xué)生對解題方法進行總結(jié)歸納。例如，總結(jié)在什么情況下使用余弦定理，以及如何根據(jù)已知條件選擇合適的計算方法等。這樣可以幫助學(xué)生加深對知識的理解和記憶，提高學(xué)習(xí)效率。五、說教學(xué)過程1、導(dǎo)入新課（約5分鐘）（1）創(chuàng)設(shè)情境我先給學(xué)生講一個故事。我家附近有一個小公園，里面有一個三角形的花壇。有一天，園丁想知道這個花壇的一條邊的長度，他只知道另外兩條邊的長度和這兩條邊的夾角。他很發(fā)愁，不知道該怎么計算。同學(xué)們，你們能幫他想想辦法嗎？（2）提出問題通過這個故事引出問題：在已知三角形兩邊及其夾角的情況下，如何求第三邊呢？這就激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，為學(xué)習(xí)余弦定理做好鋪墊。2、探究新知（約20分鐘）（1）向量法推導(dǎo)余弦定理引導(dǎo)學(xué)生回顧向量的加減法和數(shù)量積的相關(guān)知識，為推導(dǎo)做準(zhǔn)備。在黑板上畫出一個三角形ABC，設(shè)\（＼overrightarrow{AB}＝＼vec{c}＼），＼（＼overrightarrow{BC}＝＼vec{a}＼），＼（＼overrightarrow{CA}＝＼vec＼）。根據(jù)向量的三角形法則，＼（＼vec{a}＋＼vec＋＼vec{c}＝0\），移項得到\（＼vec{c}＝（＼vec{a}＋＼vec）＼）。然后對\（＼vec{c}＾｛2}＝（＼vec{a}＋＼vec）＾｛2}＼）進行展開，得到\（＼vec{c}＾｛2}＝＼vec{a}＾｛2}＋＼vec＾｛2}＋2\vec{a}＼cdot\vec＼）。再根據(jù)向量數(shù)量積的定義\（＼vec{a}＼cdot\vec＝＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec＼vert\cosC\），將其代入上式，就得到了余弦定理\（c^｛2}＝a^｛2}＋b^｛2}－2ab\cosC\）。在推導(dǎo)過程中，我會詳細(xì)地講解每一步的依據(jù)和運算規(guī)則，并且通過提問的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，比如問學(xué)生：“這里為什么要把\（＼vec{c}＼）寫成\（（＼vec{a}＋＼vec）＼）呢？”讓學(xué)生積極參與到推導(dǎo)過程中來。（2）余弦定理的其他形式引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)同樣的方法推導(dǎo)出\（a^｛2}＝b^｛2}＋c^｛2}－2bc\cosA\）和\（b^｛2}＝a^｛2}＋c^｛2}－2ac\cosB\）。讓學(xué)生觀察這三個公式的特點，總結(jié)出余弦定理是關(guān)于三角形三邊和一個角的余弦之間的關(guān)系。3、理解定理（約10分鐘）（1）定理的解讀讓學(xué)生用自己的話敘述余弦定理的內(nèi)容，加深對定理的理解。強調(diào)余弦定理中的邊和角是一一對應(yīng)的關(guān)系，并且每個公式中都包含了三角形的三條邊和一個角。（2）幾何意義的講解通過在黑板上畫出不同形狀的三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），分別講解余弦定理在這些三角形中的幾何意義。例如，在直角三角形中，當(dāng)\（C＝90^｛＼circ}＼）時，＼（＼cosC＝0\），此時余弦定理就變成了勾股定理\（c^｛2}＝a^｛2}＋b^｛2}＼），這說明勾股定理是余弦定理的一個特殊情況。4、應(yīng)用舉例（約15分鐘）（1）簡單應(yīng)用例1：已知三角形ABC中，＼（a＝3\），＼（b＝4\），＼（C＝60^｛＼circ}＼），求邊\（c\）的值。引導(dǎo)學(xué)生分析：這是已知兩邊及其夾角求第三邊的問題，直接應(yīng)用余弦定理\（c^｛2}＝a^｛2}＋b^｛2}－2ab\cosC\）。讓學(xué)生自己動手計算，一名學(xué)生上黑板板演，然后其他學(xué)生進行評價和糾錯。計算過程：＼（c^｛2}＝3^｛2}＋4^｛2}－2\times3\times4\times\cos60^｛＼circ}＝2512＝13\），所以\（c=＼sqrt{13}＼）。（2）綜合應(yīng)用例2：已知三角形ABC的三邊\（a＝5\），＼（b＝6\），＼（c＝7\），求角\（A\）的值。分析：這是已知三邊求角的問題，應(yīng)用余弦定理的變形公式\（＼cosA=＼frac{b^｛2}＋c^｛2}a^｛2}｝｛2bc}＼）。同樣讓學(xué)生自己計算，然后進行展示和評價。計算過程：＼（＼cosA=＼frac{6^｛2}＋7^｛2}－5^｛2}｝｛2\times6\times7}＝＼frac{36＋4925}｛84}＝＼frac{60}｛84}＝＼frac{5}｛7}＼），所以\（A=＼arccos\frac{5}｛7}＼）。5、課堂練習(xí)（約10分鐘）（1）布置練習(xí)題目練習(xí)1：已知三角形ABC中，＼（a＝2\），＼（b＝3\），＼（C＝120^｛＼circ}＼），求邊\（c\）的值。練習(xí)2：已知三角形ABC的三邊\（a＝4\），＼（b＝5\），＼（c＝6\），求角\（B\）的值。（2）學(xué)生練習(xí)學(xué)生獨立完成練習(xí)題目，教師巡視指導(dǎo)，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并進行個別輔導(dǎo)。（3）練習(xí)反饋讓兩名學(xué)生上黑板分別展示練習(xí)1和練習(xí)2的解題過程，然后全班同學(xué)進行評價和討論。對于學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)的共性問題，如計算錯誤、公式運用錯誤等，教師進行集中講解和糾正。6、課堂小結(jié)（約5分鐘）（1）知識總結(jié)回顧余弦定理的內(nèi)容、推導(dǎo)過程、表達(dá)式的三種形式以及在不同類型三角形問題中的應(yīng)用。強調(diào)余弦定理與正弦定理的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生在解決三角形問題時能夠正確選擇合適的定理。（2）方法總結(jié)總結(jié)在學(xué)習(xí)余弦定理過程中所用到的學(xué)習(xí)方法，如自主探究法、合作學(xué)習(xí)法、總結(jié)歸納法等，鼓勵學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)運用這些方法。7、布置作業(yè)（約1分鐘）（1）書面作業(yè)布置課本上的課后練習(xí)題，讓學(xué)生通過練習(xí)進一步鞏固所學(xué)知識。（2）拓展作業(yè)讓學(xué)生思考如何用余弦定理證明三角形中的一些不等式，如\（a^｛2}＋b^｛2}＋c^｛2}＼geqslantab＋bc＋ca\），提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。六、說板書設(shè)計我的板書設(shè)計主要分為以下幾個板塊：1、主板書在黑板的左側(cè)，主要書寫余弦定理的推導(dǎo)過程。從向量的設(shè)想到向量的運算，再到最終得出余弦定理的表達(dá)式，每一步都詳細(xì)地寫出來，這樣可以讓學(xué)生清楚地看到定理的推導(dǎo)思路。在黑板的中間部分，書寫余弦定理的三種表達(dá)式\（c^｛2}＝a^｛2}＋b^｛2}－2ab\cosC\）、＼（a^｛2}＝b^｛2}＋c^｛2}－2bc\cosA\）、＼（b^｛2}＝a^｛2}＋c^｛2}－2ac\cosB\），并且用不同顏色的粉筆將邊和角標(biāo)記出來，突出它們之間的對應(yīng)關(guān)系。在黑板的右側(cè)，主要用于書寫例題和練習(xí)的解題過程。通過詳細(xì)的解題步驟，讓學(xué)生掌握如何運用余弦定理解決實際問題。2、副板書在黑板的下方或者旁邊的小區(qū)域，用于記錄學(xué)生在課堂上提出的問題、回答的要點以及臨時補充的知識點等。這樣可以方便學(xué)生隨時回顧和復(fù)習(xí)課堂上的重點內(nèi)容。七、教學(xué)特色和亮點1、故事導(dǎo)入，激發(fā)興趣通過講述園丁計算三角形花壇邊長的故事，將實際生活中的問題引入課堂，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的實用性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這種導(dǎo)入方式能夠使學(xué)生更加主動地參與到課堂教學(xué)中來。2、注重推導(dǎo)過程在教學(xué)過程中，詳細(xì)地講解余弦定理的推導(dǎo)過程，并且引導(dǎo)學(xué)生參與到推導(dǎo)過程中來。這不僅能夠幫助學(xué)生深入理解定理的本質(zhì)，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維能力。3、多樣化的教學(xué)方法采用講授法、問題驅(qū)動法、多媒體輔助教學(xué)法等多種教學(xué)方法，以及自主探究法、合作學(xué)習(xí)法、總結(jié)歸納法等多種學(xué)習(xí)方法。這些方法的綜合運用能夠滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提高教學(xué)效果。4、強調(diào)知識的聯(lián)系和應(yīng)用在教學(xué)過程中，不僅注重余弦定理本身的教學(xué)，還強調(diào)余弦定理與之前學(xué)習(xí)的正弦定理的聯(lián)系，以及余弦定理在解決實際問題中的應(yīng)用