《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》電子教案第一章隨機(jī)事件與概率

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》電子教案第一章隨機(jī)事件與概率《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》教案第一章隨機(jī)事件與概率教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》總安排學(xué)時(shí)：90本章學(xué)時(shí)：14第一講：隨機(jī)事件及其運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容：引言、概率論的基本概念、事件之間的關(guān)系及運(yùn)算、事件之間的運(yùn)算規(guī)律。教學(xué)目的：（1）了解概率論這門(mén)學(xué)科的研究對(duì)象，主要任務(wù)和應(yīng)用領(lǐng)域；（2）深刻理解隨機(jī)試驗(yàn)、基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念；掌握一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間、基本事件和有關(guān)事件的表示方法。（3）深刻理解事件的包含關(guān)系、和事件、積事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意義；掌握事件之間的各種運(yùn)算，熟練掌握用已知事件的運(yùn)算表示隨機(jī)事件；（4）掌握事件之間的運(yùn)算規(guī)律，理解對(duì)偶律的意義。教學(xué)的過(guò)程和要求：（1）概率論的研究對(duì)象及主要任務(wù)（10分鐘）舉例說(shuō)明概率論的研究對(duì)象和任務(wù)，與高等數(shù)學(xué)和其它數(shù)學(xué)學(xué)科的不同之處，簡(jiǎn)單介紹概率論發(fā)展的歷史和應(yīng)用；(i)概率論的研究對(duì)象：確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象：在相同的條件下，每次觀察（試驗(yàn)）得到的結(jié)果是完全相同的現(xiàn)象。例：向空中拋擲一物體，此物體上升到一定高度后必然下落；例：在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃必然會(huì)沸騰等現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象：在相同的條件下，每次觀察(試驗(yàn))可能出現(xiàn)不同結(jié)果的現(xiàn)象。例：在相同的條件下拋一枚均勻的硬幣，其結(jié)果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重復(fù)投擲，每次的結(jié)果在出現(xiàn)之前都不能確定；例：從同一生產(chǎn)線上生產(chǎn)的燈泡的壽命等現(xiàn)象。(ii)概率論的研究任務(wù)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。(iii)概率論發(fā)展的歷史：概率論起源于賭博問(wèn)題。大約在17世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡(B?Pascal)、費(fèi)馬（fermat）及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(C?Hugeness)用排列組合的方法，研究了賭博中一些較復(fù)雜的問(wèn)題。隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的迅速發(fā)展，起源于賭博的概率論逐漸被應(yīng)用于生物、物理等研究領(lǐng)域，同時(shí)也推動(dòng)了概率理論研究的發(fā)展.概率論作為一門(mén)數(shù)學(xué)分支日趨完善，形成了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系。(iv)概率論發(fā)展的應(yīng)用：概率論的理論和方法應(yīng)用十分廣泛，幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域以及工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén).如應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法可以進(jìn)行氣象預(yù)報(bào)，水文預(yù)報(bào)和市場(chǎng)預(yù)測(cè)、股市分析等；在工業(yè)中，可用概率統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行產(chǎn)品壽命估計(jì)和可靠性分析等。（2）隨機(jī)事件與樣本空間；（25分鐘）（重點(diǎn)）重點(diǎn)講清隨機(jī)試驗(yàn)的目的、隨機(jī)試驗(yàn)要求具備的條件、概率論中隨機(jī)試驗(yàn)可以是主動(dòng)做試驗(yàn)，也可能是被動(dòng)觀察某一隨機(jī)現(xiàn)象；講清楚隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件、樣本空間的定義，對(duì)于每個(gè)概念要舉例說(shuō)明，可用書(shū)中例1、例2、例3、例4或其它，例子中應(yīng)該包括有限的、無(wú)限可數(shù)，連續(xù)的等類(lèi)型。應(yīng)該使學(xué)生了解樣本空間可以是有限的也可以是無(wú)限的，可以是離散的也可以是連續(xù)的。隨機(jī)事件的概念，基本事件與一般隨機(jī)事件關(guān)系、區(qū)別，在上述例子中繼續(xù)給出事件的例子。著重說(shuō)明事件發(fā)生和不發(fā)生的含義，引進(jìn)必然事件和不可能事件的意義。(i)隨機(jī)試驗(yàn)的目的：要研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律需要進(jìn)行大量的觀察和試驗(yàn)。(ii)隨機(jī)試驗(yàn)要求具備的條件：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是明確知道的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)必然出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果；這樣的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，用字母E表示.例：擲一枚均勻硬幣觀察正面和反面出現(xiàn)的情況；例：某日電話(huà)總機(jī)所接到的呼叫次數(shù)；例：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試其壽命等等都是隨機(jī)試驗(yàn)。(iii)基本概念：基本事件（樣本點(diǎn)）：每一個(gè)可能的基本結(jié)果（不可分解）稱(chēng)為E的基本事件，通常用ω表示.基本事件空間（樣本空間）：E的所有基本事件組成的集合稱(chēng)為E的基本事件空間，常用}{ω=Ω表示。例1（1）拋一枚均勻的硬幣，其可能出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種：正面、反面.若令1ω=正面，2ω=反面，則21,ωω為該隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)基本事件，{}21ωω，=Ω為樣本空間.（2）投擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).其可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為：1、2、3、4、5、6，若令iω=i，i=1，2，3，4，5，6，則iω為隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件，樣本空間21,{ωω=Ω}654321{},,,,6543，，，，，=ωωωω.（3）觀察單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)某公交車(chē)站候車(chē)的人數(shù)，令iω=單位時(shí)間內(nèi)有i人到達(dá)車(chē)站候車(chē)，Λ，，，210=i，則基本事件為iω，樣本空間},2,1,0{},,,{210ΛΛ==Ωωωω.（4）從一批燈泡中任取一只，以小時(shí)為單位，測(cè)試這只燈泡的壽命，令t表示燈泡的壽命，則大于等于零的任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是該試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，{}0≥=Ωtt.隨機(jī)事件：在隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事情稱(chēng)為隨機(jī)事件，通常用大寫(xiě)字母CBA、、等表示.例：投擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)可以用事件A表示，A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}={2，4，6}，而B(niǎo)={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}={5，6}、C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}等等都是隨機(jī)試驗(yàn)的事件.事件發(fā)生：若一次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)了事件A中的樣本點(diǎn)，即當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果為1ω且A∈1ω時(shí)，則稱(chēng)事件A發(fā)生，否則稱(chēng)A不發(fā)生.必然事件：稱(chēng)Ω為必然事件.不可能事件：不包含任何基本事件的事件稱(chēng)為不可能事件，記作φ.（3）事件之間的運(yùn)算關(guān)系；（30分鐘）重點(diǎn)對(duì)于每一種關(guān)系應(yīng)該舉例、畫(huà)維恩圖說(shuō)明其含義，積事件和和事件要著重說(shuō)明并推廣到多個(gè)事件，說(shuō)明對(duì)立事件與互斥事件的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)及其應(yīng)用，差事件的意義及幾種表示方法及運(yùn)算關(guān)系；事件之間的運(yùn)算關(guān)系：1）事件的包含關(guān)系：設(shè)在同一個(gè)試驗(yàn)E中有兩個(gè)事件A與B，若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生（即A中任意一個(gè)基本事件都在B中），則稱(chēng)事件B包含事件A，記作AB?（或BA?）.例：如投擲一顆骰子的試驗(yàn)，A={出現(xiàn)4點(diǎn)}，B={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，則A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，故BA?。2）事件相等：若BA?且AB?，則稱(chēng)事件BA=.例：如擲骰子試驗(yàn)中，記A={擲出3點(diǎn)或6點(diǎn)}，B={擲出3的倍數(shù)點(diǎn)}，這兩個(gè)事件所包含樣本點(diǎn)相同，因而B(niǎo)A=。3）和事件：稱(chēng)事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成的事件為A與B的和事件，記作BAY.例：如擲一顆骰子觀察所得的點(diǎn)數(shù)，設(shè)A={1，3，5}，B={1，2，3}，則BAY={1，2，3，5}。例2：測(cè)試燈泡壽命的試驗(yàn)中，令{}1000≤=ttB（壽命不超過(guò)1000小時(shí)），{}500≤=ttA（壽命不超過(guò)500小時(shí)），則{}1000≤==ttBBAY（壽命不超過(guò)1000小時(shí)）。4）積事件：稱(chēng)事件A與B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件為A與B的積事件，記作BAI或AB.例：如在擲骰子的試驗(yàn)中}5,4,3{},6,4,2{==BA，則AB={4}，即只有隨機(jī)試驗(yàn)出現(xiàn)4點(diǎn)時(shí)，A與B同時(shí)發(fā)生。5）互斥事件：若事件BA、不能同時(shí)發(fā)生，即φ=AB，則稱(chēng)事件A與B是互斥事件或互不相容事件。例3：擲一顆骰子，令A(yù)={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，B={出現(xiàn)4點(diǎn)}，則有φ=AB，即A與B互斥，{}5431，，，=+=BABAY。6）互逆事件：若事件A與事件B在一次試驗(yàn)中必有且只有一個(gè)發(fā)生，則稱(chēng)事件A與B為互逆事件或?qū)α⑹录?。?：擲一顆骰子，令C={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，則φ=AC，且CAY{}Ω==654321，，，，，，所以AC=，即C與A是互逆事件；但由于φ=AB，而}5431{，，，=BAYΩ≠，所以BA、不是互逆事件.7）差事件：稱(chēng)事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生所構(gòu)成的事件為A與B的差事件，記作BA-.例5：擲骰子試驗(yàn)中，令C={2，4，6}，D={1，2，3}，則DCDC=-{}64，=，}31{，==-CDCD.（4）事件之間的運(yùn)算規(guī)律（5分鐘）事件之間的交換律、結(jié)合律、分配律只需簡(jiǎn)單說(shuō)明，舉例說(shuō)明對(duì)偶律的意義和應(yīng)用。事件之間的運(yùn)算律：1）交換律：BAABABBA==，YY2）結(jié)合律：)()()(BCACABCBACBA==；）（YYYY3）分配律：))(()(CBCACABBCACCBAYYYYY==；）（4）德摩根定律（對(duì)偶律）：YIIYBABABABA==,（可以推廣到任意多個(gè)事件的情形）。（5）以例6和例7為主。學(xué)生練習(xí)（10分鐘）例6：設(shè)CBA、、是樣本空間Ω中的三個(gè)隨機(jī)事件，試用CBA、、的運(yùn)算表達(dá)式表示下列隨機(jī)事件.（1）A與B發(fā)生但C不發(fā)生；（2）事件CBA、、中至少有一個(gè)發(fā)生；（3）事件CBA、、中至少有兩個(gè)發(fā)生；（4）事件CBA、、中恰好有兩個(gè)發(fā)生；（5）事件CBA、、中不多于一個(gè)事件發(fā)生.解：（1）CAB；（2）CBAYY；（3）ACBCABYY；（4）BCACBACABBCACBACAB++=YY；（5）CBACBACBACBA+++或ACBCABYY。練習(xí)（10分鐘）。第二講：概率的定義和性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：概率的古典定義、統(tǒng)計(jì)定義、幾何定義，概率的公理化體系及概率的性質(zhì)。教學(xué)目的：（1）理解概率的古典定義的條件，掌握計(jì)算的一般方法，理解古典概率具備的三條性質(zhì)；（2）粗知概率的統(tǒng)計(jì)定義和幾何定義，歸納其性質(zhì)；（3）深刻理解概率的公理化定義的意義，掌握概率的性質(zhì)在概率計(jì)算中的應(yīng)用。教學(xué)的過(guò)程和要求：（1）舉例簡(jiǎn)單說(shuō)明什么是概率；（5分鐘）闡述概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。舉例說(shuō)明：例：拋一枚均勻的硬幣，因?yàn)橐阎霈F(xiàn)正、反面的可能性相同，各為21，足球裁判就用拋硬幣的方法讓雙方隊(duì)長(zhǎng)選擇場(chǎng)地，以示機(jī)會(huì)均等.例：某廠研制出一種新藥，要考慮新藥在未來(lái)市場(chǎng)的占有率將是多少.市場(chǎng)占有率高，就應(yīng)多生產(chǎn)，獲取更多利潤(rùn)；市場(chǎng)占有率低，就不能多生產(chǎn)，否則會(huì)造成產(chǎn)品積壓.上述問(wèn)題中的機(jī)會(huì)、市場(chǎng)占有率以及彩票的中獎(jiǎng)率、產(chǎn)品的次品率，射擊的命中率等都是用來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的.都可以用0到1之間的一個(gè)數(shù)值（也稱(chēng)為比率）來(lái)作為隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的度量，即事件A發(fā)生的概率，記作)(Ap.把隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小的度量值稱(chēng)為該隨機(jī)事件的概率.（2）概率的古典定義和計(jì)算（30分鐘）：由簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明古典概率應(yīng)具備的條件，即有限性和等可能性，重點(diǎn)講解古典概型的條件和計(jì)算，定義中強(qiáng)調(diào)事件和樣本空間所含樣本點(diǎn)數(shù)，而不需知道是什么樣本點(diǎn)；講解書(shū)中例1和例2，并通過(guò)簡(jiǎn)單的例子（如擲骰子）歸納古典概率的三個(gè)性質(zhì)。（20分鐘）。書(shū)中例3可不講，補(bǔ)充習(xí)題（學(xué)生先做教師講解）。（10分鐘）(i)古典概率應(yīng)具備的條件：試驗(yàn)的樣本空間Ω中只含有有限多個(gè)基本事件，稱(chēng)為有限性；在每次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同，稱(chēng)為等可能性.具有這種特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型.(ii)概率的古典定義：定義：若隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型，且已知樣本空間Ω中含有n個(gè)基本事件，事件A中含有k個(gè)基本事件，則事件A的概率nkAAp=Ω=基本事件總數(shù)含中所中所包含的基本事件數(shù))(定義中強(qiáng)調(diào)事件和樣本空間所含樣本點(diǎn)數(shù)，而不需知道是什么樣本點(diǎn)。(iii)古典概型的計(jì)算：利用概率的古典定義計(jì)算隨機(jī)事件A的概率，首先要確定隨機(jī)試驗(yàn)E滿(mǎn)足古典概型的特點(diǎn)，然后確定樣本空間Ω所包含的基本事件總數(shù)n和事件A中包含的基本事件數(shù)k.有nkAp=)(。例1：從有9件正品、3件次品的箱子中抽取兩次，每次一件，按兩種方式抽取（1）不放回；（2）有放回，求事件A={取得兩件正品}和事件B={取得一件正品一件次品}的概率.解：（1）從12件產(chǎn)品中不放回抽取兩件，Ω所含的基本事件數(shù)為212P，A包含的基本事件數(shù)為29P，B包含的基本事件數(shù)為1319·2PP，所以：2291112392·2)(,116111289)(212131921229=???===??==PPPBpPPAp（2）從12件產(chǎn)品中有放回抽取兩件，Ω所含的基本事件數(shù)為212，A包含的基本事件數(shù)為29，B包含的基本事件數(shù)為9339?+?，所以：831212392)(,43129)(222=???=?????==BpAp例2：將n個(gè)球隨意地放入N個(gè)箱子中)nN≥（，假設(shè)每個(gè)球都等可能地放入任意一個(gè)箱子，求下列各事件的概率：（1）指定的n個(gè)箱子各放一個(gè)球；（2）每個(gè)箱子最多放入一個(gè)球；（3）某指定的箱子里恰好放入k（nk≤）個(gè)球.解：將n個(gè)球隨意地放入N個(gè)箱子中，共有nN種放法，記（1）、（2）、（3）的事件分別為CBA，，.（1）將n個(gè)球放入指定的n個(gè)箱子，每個(gè)箱子各有一球，其放法有!n種，故有nNnAp!)(=（2）每個(gè)箱子最多放入一個(gè)球，等價(jià)于先從N個(gè)箱子中任選出n個(gè)，然后每個(gè)箱子中放入一球，其放法有!nCnN種，故nnNNnCBp!)(=（3）先任取k個(gè)球（有knC種取法）放入指定的箱子中，然后將其余的kn-個(gè)球隨意地放入其余1-N個(gè)箱子，共有knN--)1(種放法，故有nknknNNCCp--=)1()(.補(bǔ)充例題：例題：一個(gè)機(jī)構(gòu)投資商考慮對(duì)5個(gè)公司中的2個(gè)公司進(jìn)行一項(xiàng)大的投資，假設(shè)投資者不知道5個(gè)公司中的2個(gè)公司關(guān)于新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)的基礎(chǔ)不穩(wěn)定。a．列出所有可能的基本事件。b．確定從3個(gè)基礎(chǔ)更好的公司中選出2個(gè)公司的概率。c．所選公司中包含1個(gè)基礎(chǔ)不穩(wěn)定的公司的概率是多少?d．選出2個(gè)基礎(chǔ)最不穩(wěn)定公司的概率是多少?(iv)古典概率的三個(gè)性質(zhì)：1）1)(0≤≤Ap；2）1)(=Ωp；3）設(shè)事件nAAA，，，Λ21兩兩互斥，則：+++=+++ΛΛ)()()(2121ApApAAApn)(nAp（3）簡(jiǎn)單介紹統(tǒng)計(jì)概率和幾何概率的定義，并說(shuō)明其與古典概率具有相同的性質(zhì)；（10分鐘）(i)統(tǒng)計(jì)概率的定義：定義：在一組不變的條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率nkAfn=)(穩(wěn)定地在某個(gè)固定的數(shù)值p的附近擺動(dòng)，我們稱(chēng)這個(gè)穩(wěn)定值p為隨機(jī)事件A的概率，記為pAp=)(.(ii)幾何概率的定義：定義：設(shè)在可測(cè)區(qū)域Ω內(nèi)，任一具有相同度量的子區(qū)域被取到的可能性相等，且從Ω中隨機(jī)取一點(diǎn)屬于子區(qū)域A的可能性只與A的測(cè)度成正比，而與A的形狀及位置無(wú)關(guān)，則事件A={點(diǎn)屬于A}的概率為：Ω==ΩSSApAA的測(cè)度區(qū)域的測(cè)度子區(qū)域)(統(tǒng)計(jì)概率和幾何概率與古典概率具有相同的性質(zhì)。（4）由前面概率的性質(zhì)引出概率的公理化定義，說(shuō)明公理化定義的偉大意義。（10分鐘）(i)概率的公理化定義：定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，對(duì)于E的每一個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù))(Ap，且)(Ap滿(mǎn)足以下三個(gè)條件（公理）：（1）非負(fù)性：對(duì)于任意Ω?A，有0)(≥Ap；（2）規(guī)范性：1)(=Ωp；（3）可列可加性：若ΛΛ，，，，nAAA21是兩兩互斥的事件列，有∑∞==++++121)()(iinApAAApΛΛ則稱(chēng))(Ap為事件A的概率.(ii)公理化定義的意義：事件概率的統(tǒng)計(jì)定義、古典概率定義、幾何概率定義在一定的范圍內(nèi)解決了某些實(shí)際問(wèn)題，但這幾種概率的定義都存在著應(yīng)用上的局限性，缺乏數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)密性與一般性.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究，到1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛟诳偨Y(jié)了前人的研究成果的基礎(chǔ)上，提出了概率的公理化體系，明確定義了概率的基本概念，使概率論成為一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。（5）重點(diǎn)講解概率的性質(zhì)及應(yīng)用。性質(zhì)1和性質(zhì)2比較顯然，直接給出，可不證，性質(zhì)3（說(shuō)明對(duì)立事件的應(yīng)用）、性質(zhì)4和性質(zhì)5給出證明，并舉出應(yīng)用的例子。性質(zhì)5（加法定理）給出三個(gè)事件的情形（可根據(jù)圖形讓學(xué)生自己總結(jié)）進(jìn)而推廣到n個(gè)事件的情形。（20分鐘）概率的性質(zhì)及證明：性質(zhì)1：0)(=φp；性質(zhì)2：（有限可加性）設(shè)有限個(gè)事件nAAA，，，Λ21兩兩相斥，則∑==+++=+++niinnApApApApAAAp12121)()()()()(ΛΛ性質(zhì)3：對(duì)任何事件A，有)(1)(ApAp-=.證明：由φ=AA且Ω=AAY，由性質(zhì)2有)()()()(ApApAApp+==ΩY即：?=+1)()(ApAp)(1)(ApAp-=.性質(zhì)4：設(shè)BA、為兩個(gè)事件，且AB?，則)()()(BpApBAp-=-.證明：因?yàn)锳B?，所以)(BABA-=Y且φ=-BBA)(，由可加性得)()()]([)(BApBpBABpAp-+=-