江蘇高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題題型歸納

GaoKao應(yīng)用題題型歸納在備考中，需要重點(diǎn)關(guān)注以下幾方面問題：1.掌握常見函數(shù)如二次函數(shù)、三次函數(shù)、有理分式函數(shù)〔尤其二次分式函數(shù)、無理函數(shù)等最值的求法，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值要引起重視；2.加強(qiáng)閱讀理解能力的培養(yǎng)，對圖形的識別、識別、分析尋找等量關(guān)系式的訓(xùn)練要加強(qiáng)；3.對于由圖標(biāo)(尤其表格)給出的函數(shù)應(yīng)用題的訓(xùn)練要重視；4.應(yīng)用題的背景圖形可能由平面多邊形、空間多面體轉(zhuǎn)為由平面曲線，如圓，拋物線等圍成的圖形；空間旋轉(zhuǎn)體等的面積、體積的最值問題5.熟悉應(yīng)用題的解題過程：讀題、建模、求解、評價(jià)、作答.“抓重點(diǎn)：等量關(guān)系是關(guān)鍵；破難點(diǎn)：變量思想是主線.”一、利潤問題1、某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件．〔1〕據(jù)市場調(diào)查，假設(shè)價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？〔2〕為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到元．公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量至少應(yīng)到達(dá)多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．2、某小商品2012年的價(jià)格為8元/件,年銷量為件，現(xiàn)經(jīng)銷商方案在2013年將該商品的價(jià)格降至5.5元/件到7.5元/件之間，經(jīng)調(diào)查，顧客的期望價(jià)格為4元/件，經(jīng)測算，該商品的價(jià)格下降后新增的年銷量與實(shí)際價(jià)格和顧客期望價(jià)格的差成反比，比例系數(shù)為，該商品的本錢價(jià)格為3元/件。〔1〕寫出該商品價(jià)格下降后，經(jīng)銷商的年收益與實(shí)際價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式。〔2〕設(shè)，當(dāng)實(shí)際價(jià)格最低定為多少時(shí)，仍然可以保證經(jīng)銷商2013年的收益比2012年至少增長20%？解：〔1〕設(shè)該商品價(jià)格下降后為元/件，銷量增加到件，年收益，〔2〕當(dāng)時(shí)，有解之得又所以因此當(dāng)實(shí)際價(jià)格最低定為6元/件時(shí)，仍然可以保證經(jīng)銷商2013年的收益比2012年至少增長20%。3.近年來,某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位:萬元)與太陽能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補(bǔ)供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費(fèi)用與該村15年共將消耗的電費(fèi)之和.(1)試解釋的實(shí)際意義,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)為多少平方米時(shí),取得最小值?最小值是多少萬元?4.某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的本錢為元,并且每件商品需向總店交元的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí),一年的銷售量為萬件．〔Ｉ〕求該連鎖分店一年的利潤〔萬元〕與每件商品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；〔II〕當(dāng)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí),該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值．5.某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率與日產(chǎn)量〔萬件〕之間大體滿足關(guān)系：〔其中為小于6的正常數(shù)〕〔注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品〕每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出適宜的日產(chǎn)量.〔1〕試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額〔萬元〕表示為日產(chǎn)量〔萬件〕的函數(shù)；〔2〕當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？解：〔1〕當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，日盈利額〔萬元〕與日產(chǎn)量〔萬件〕的函數(shù)關(guān)系為：〔2〕由〔1〕知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，由知函數(shù)在上遞增，，此時(shí)綜上，假設(shè)，那么當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時(shí)，可獲得最大利潤假設(shè)，那么當(dāng)日產(chǎn)量為萬件時(shí)，可獲得最大利潤6.為穩(wěn)定房價(jià),某地政府決定建造一批保障房供應(yīng)社會.方案用1

600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)每幢樓的樓層數(shù)相同,且每層建筑面積均為1

000平方米,每平方米的建筑費(fèi)用與樓層有關(guān),第x層樓房每平方米的建筑費(fèi)用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)).經(jīng)測算,假設(shè)每幢樓為5層,那么該小區(qū)每平方米的平均綜合費(fèi)用為1

270元.(每平方米平均綜合費(fèi)用=eq\f(購地費(fèi)用+所有建筑費(fèi)用,所有建筑面積)).(1)求k的值;(2)問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,應(yīng)將這10幢樓房建成多少層?此時(shí)每平方米的平均綜合費(fèi)用為多少元?解：(1)如果每幢樓為5層,那么所有建筑面積為10×1

000×5平方米,所有建筑費(fèi)用為[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1

000×10,所以,1270=eq\f(16000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10,10×1000×5),解之得:k=50\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)(2)設(shè)小區(qū)每幢為n(n∈N*)層時(shí),每平方米平均綜合費(fèi)用為f(n),由題設(shè)可知f(n)=eq\f(16000000+［(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)］×1000×10,10×1000×n)=eq\f(1600,n)+25n+825≥2eq\r(1600×25)+825=1225(元)\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1600,n)=25n,即n=8時(shí)等號成立\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)7．某單位決定對本單位職工實(shí)行年醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷制度,擬制定年醫(yī)療總費(fèi)用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報(bào)銷方案,該方案要求同時(shí)具備以下三個(gè)條件:①報(bào)銷的醫(yī)療費(fèi)用y(萬元)隨醫(yī)療總費(fèi)用x(萬元)增加而增加;②報(bào)銷的醫(yī)療費(fèi)用不得低于醫(yī)療總費(fèi)用的50%;③報(bào)銷的醫(yī)療費(fèi)用不得超過8萬元.(1)請你分析該單位能否采用函數(shù)模型y=0.05(x2+4x+8)作為報(bào)銷方案;(2)假設(shè)該單位決定采用函數(shù)模型y=x2lnx+a(a為常數(shù))作為報(bào)銷方案,請你確定整數(shù)的值.(參考數(shù)據(jù):ln20.69,ln102.3)【解】(1)函數(shù)y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函數(shù),滿足條件①,當(dāng)x=10時(shí),y有最大值7.4萬元,小于8萬元,滿足條件③，但當(dāng)x=3時(shí),y=eq\f(29,20)<eq\f(3,2),即yeq\f(x,2)不恒成立,不滿足條件②,故該函數(shù)模型不符合該單位報(bào)銷方案(2)對于函數(shù)模型y=x2lnx+a,設(shè)f(x)=x2lnx+a,那么f′(x)=1eq\f(2,x)=eq\f(x－2,x)0.所以f(x)在[2,10]上是增函數(shù),滿足條件①,由條件②,得x2lnx+aeq\f(x,2),即a2lnxeq\f(x,2)在x[2,10]上恒成立,令g(x)=2lnxeq\f(x,2),那么g′(x)=eq\f(2,x)－\f(1,2)=eq\f(4－x,2x),由g′(x)>0得x<4,g(x)在(0,4)上增函數(shù),在(4,10)上是減函數(shù).ag(4)=2ln42=4ln22，由條件③,得f(10)=102ln10+a8,解得a2ln102另一方面,由x2lnx+ax,得a2lnx在x[2,10]上恒成立,a2ln2,綜上所述,a的取值范圍為[4ln22,2ln2],所以滿足條件的整數(shù)a的值為1二、與幾何圖形有關(guān)的實(shí)際問題1.某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米．

(1)現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客欣賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF

面積S△DEF的最大值；

(2)現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖(2)，建造△DEF連廊〔不考慮寬度〕供游客休憩，且使△DEF為正三角形，設(shè)求△DEF邊長的最小值．2.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為〔如圖〕，考慮到防洪堤鞏固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長為〔米〕，外周長〔梯形的上底線段與兩腰長的和〕為〔米〕.⑴求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；⑵要使防洪堤橫斷面的外周長不超過米，那么其腰長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？⑶當(dāng)防洪堤的腰長為多少米時(shí)，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省〔即斷面的外周長最小〕？求此時(shí)外周長的值.3、如圖，兩座建筑物的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.求的長度；在線段上取一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合〕，從點(diǎn)看這兩座建筑物的視角分別為問點(diǎn)在何處時(shí)，最?。康?7題圖第17題圖4、某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對角線在l上的四邊形電氣線路，如下圖．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB＝BC．〔1〕設(shè)AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(第2題圖〕C(第2題圖〕CABDl解：〔1〕在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC．因?yàn)椤螦和∠C互補(bǔ)，所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA．即x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2+(5－x)2＋2x(5－x)cosA．解得cosA＝eq\f(2,x)，即f(x)＝eq\f(2,x)．其中x∈(2，5)．〔2〕四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)(AB·AD+CB·CD)sinA＝eq\f(1,2)[x(5－x)+x(9－x)]eq\r(,1－cos2A)．＝x(7－x)eq\r(,1－(eq\f(2,x))2)＝eq\r(,(x2－4)(7－x)2)＝eq\r(,(x2－4)(x2－14x＋49))．記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－eq\f(1,2)舍)．所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(2，4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞減．因此g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值為EQ\r(,108)＝6eq\R(,3)．5.如圖,有三個(gè)生活小區(qū)(均可看成點(diǎn))分別位于三點(diǎn)處,,到線段的距離,(參考數(shù)據(jù):).今方案建一個(gè)生活垃圾中轉(zhuǎn)站,為方便運(yùn)輸,準(zhǔn)備建在線段(不含端點(diǎn))上.設(shè),試將到三個(gè)小區(qū)距離的最遠(yuǎn)者表示為的函數(shù),并求的最小值；設(shè),試將到三個(gè)小區(qū)的距離之和表示為的函數(shù),并確定當(dāng)取何值時(shí),可使最小?6、如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點(diǎn)，作扇形的內(nèi)接矩形，使點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，設(shè)矩形的面積為,〔1〕按以下要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：POABQMN①設(shè)POABQMN②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式，〔2〕請你選用〔1〕中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值.解：〔1〕①因?yàn)?，，所以，所?②因?yàn)?，，，所以，所以，即，?〕選擇，所以7、某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車間分別在、兩個(gè)位置，車間有100名員工，車間有400名員工，現(xiàn)要在公路上找一點(diǎn)，修一條公路，并在處建一個(gè)食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，、、中任意兩點(diǎn)間的距離均是1，設(shè)，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.〔1〕寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；〔2〕問食堂建在距離多遠(yuǎn)時(shí)，可使總路程最少？解：〔1〕在中，∵，∴，.那么.，其中.〔2〕令，得.當(dāng)時(shí)，，是的單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是的單調(diào)增函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.此時(shí)，，8、如圖，是一塊邊長，的剩余角料.現(xiàn)要從中裁剪出一塊面積最大的平行四邊形用料，要求頂點(diǎn)分別在邊上.問點(diǎn)在邊上的什么位置時(shí)，剪裁符合要求？并求這個(gè)最大值.解：設(shè)BQ＝x，那么CQ＝7－x，且0＜x＜7.由余弦定理，得A＝120°，cosB＝eq\f(11,14)，cosC＝eq\f(13,14)，∴sinB＝eq\f(5\r(3),14)，sinC＝eq\f(3\r(3),14).在△PQB中，由正弦定理，得PQ＝eq\f(xsinB,sin120°).在△RQC中，由正弦定理，得RQ＝eq\f((7－x)sinC,sin120°).∴S?APQR＝PQ·RQ·sin120°＝eq\f(x(7－x)sinBsinC,sin120°)＝eq\f(15\r(3),98)x(7－x)，當(dāng)x＝eq\f(7,2)時(shí)，取最大值eq\f(15\r(3),8).故當(dāng)Q是BC中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形APQR面積最大，最大面積為eq\f(15\r(3),8)米.9、如下圖，某動物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，已有兩面墻的夾角為60°〔即〕，現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米〔兩面墻的長均大于6米〕，為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大，記，問當(dāng)為多少時(shí)，所建造的三角形露天活動室的面積最大？解：在中，由正弦定理： 化簡得：所以即所以當(dāng)即時(shí)，=10.如圖，某海域中有甲、乙兩艘測量船分別停留在相距海里的M,N兩點(diǎn)，他們在同時(shí)觀測島嶼上中國移動信號塔AB，設(shè)塔底延長線與海平面交于點(diǎn)O．點(diǎn)M在點(diǎn)O的正東方向，點(diǎn)N在點(diǎn)O的南偏西方向，海里，在M處測得塔底B和塔頂A的仰角分別為和．〔1〕求信號塔的高度；〔2〕乙船試圖在線段上選取一點(diǎn)，使得在點(diǎn)處觀測信號塔的視角最大，請判斷這樣的點(diǎn)是否存在，假設(shè)存在，求出最大視角及的長；假設(shè)不存在，說明理由．第10第10題圖11.如圖，某小區(qū)有一邊長為2