2.4 圓的方程(分層練習)（解析版）

第二章直線和圓的方程2.4圓的方程精選練習基礎篇基礎篇方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線是以?2,3為圓心，4A．4,?6,3 B．?4,6,3C．?4,6,?3 D．4,?6,?3【答案】D【分析】先求得圓的標準方程，再轉(zhuǎn)化為一般方程，從而求得D,E,F.【詳解】以?2,3為圓心，4為半徑的圓的標準方程為x+22即x2+y2+4x?6y?3=0已知直線l:mx+y?1=0m∈R是圓C:x2+yA．1 B．?1C．2 D．3【答案】A【分析】由圓的方程可得圓心坐標，根據(jù)圓心在直線l上可求得結(jié)果.【詳解】由圓C方程得：圓心C2,?1∵直線l是圓C的對稱軸，∴圓心C在直線l上，即2m?1?1=0，解得：m=1.故選：A.若當方程x2+y2+kx+2y+k2A．π2B．π4C．3π4 【答案】C【分析】首先將圓的一般方程化為標準方程，并求半徑最大時，k的值，并求此時直線的斜率和傾斜角.【詳解】x2+y所以k=0時圓的半徑最大，面積也最大，此時直線的斜率為－1，所以傾斜角為3π4故選：C直線l過圓C:x+32+y2=4的圓心，并且與直線A．x+y?2=0 B．x?y+2=0 C．x+y?3=0 D．x?y+3=0【答案】D【分析】求圓心坐標，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點斜式可得.【詳解】由(x+3)2+y又因為直線l與直線x+y+2=0垂直，所以直線l的斜率為k=1，由點斜式得直線l:y?0=x+3，化簡得直線l的方程是x?y+3=0．故選：D．與圓x2+y2?6x+2y+6=0A．(x?3)2+(y+1)C．(x?3)2+(y+1)【答案】C【分析】先求得已知圓的圓心，根據(jù)圓心設出要求的圓的標準方程，然后將點(1，?1)代入即可求得半徑，則方程可解．【詳解】圓x2+y故設要求的圓的方程為x?32將點(1，?1)代入x?32+y+12=故要求的圓的方程為x?3故選：C以A0,0，B2,0為直徑兩端點的圓的方程為（A．x2+yC．x2+y【答案】A【分析】由中點坐標公式求出圓心坐標，兩點間距離公式求出圓的直徑，得解.【詳解】∵A0,0，B2,0，∴AB的中點坐標為∴以AB為直徑的圓的圓心為1,0，又AB=2，∴∴以AB為直徑的圓的方程為x?12+y2=1圓心在y軸上，半徑長為2，且過點(1,?2)的圓的方程為（

）A．xB．xC．x2+D．x2+【答案】C【解析】設圓方程為x2+(y?a)【詳解】設圓心為(0,a)，則圓方程為x2+(y?a)12+(?2?a)2所以圓方程為x2+故選：C與圓C:x2+y2【答案】(x?1)【分析】先求得所求圓的圓心坐標，進而得到該圓的標準方程.【詳解】圓C:x2+y2點C12,?1關(guān)于直線則所求圓的標準方程為(x?1)故答案為：(x?1)試判斷A1,0，B2,1，C?2,3【答案】共圓，理由見解析【分析】先假設A、B、C三點共圓，利用待定系數(shù)法求解圓的方程，然后代入點D的坐標進行檢驗是否滿足圓的方程即可求解．【詳解】設A、B、C三點所在圓的方程為x2+則1+0+D+0+F=04+1+2D+E+F=04+9?2D+3E+F=0，解得∴圓的方程為x2代入點D(?2,1)的坐標，左邊=4+1?4?1=0=右邊．∴A、B、C、D四點共圓．圓x2+y2?4x?4y?10=0A．22 B．42 C．82【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標準方程得圓心及半徑，圓上點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑.【詳解】圓x2+y圓心坐標為2,2，半徑為32，圓心到直線x+y+6=0的距離為所以圓上的點到直線x+y+6=0的最大距離為52故選:C.提升篇提升篇已知Pa,b是圓x2+y2【答案】30?10【分析】利用圓上的點到原點的距離來求得正確答案.【詳解】圓x2+y所以圓的圓心為1,?2，半徑為5，原點0,0到圓心1,?2的距離是5，所以圓上的點到原點的距離的最小值是5?5則a2+b故答案為：30?10過點2,?1的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線x+2y+3=0的距離為（

）A．55 B．255 C．3【答案】B【分析】先根據(jù)圓與x，y軸都相切，求出圓心，然后利用點到直線的距離公式求出結(jié)果．【詳解】設圓心為(a,b)，由已知得a>0,b<0a=?b解得a=1，b=?1，或a=5，b=?5，所以圓心為(1,?1)或(5,?5)．當圓心為(1,?1)時，圓心到直線x+2y+3=0的距離d=|1?2+3|當圓心為(5,?5)時，圓心到直線x+2y+3=0的距離d=|5+2×(?5)+3|故選：B．已知圓x+12+y+22=4關(guān)于直線ax+by+1=0（a>0，b>0A．52 B．9 C．4 【答案】B【分析】由題可得a+2b=1a>0,b>0【詳解】圓x+12+y+22=4的圓心為?1,?2因此?a?2b+1=0，即a+2b=1a>0,b>0∴1a當且僅當2ba=2a所以1a故選：B.如圖等腰直角三角形OAB，OB＝1，以AB為直徑作一半圓，點P為半圓上任意一點，則OP?OB的最大值是（

A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】建立直角坐標，應用圓上點的坐標及向量數(shù)量積的坐標運算計算即可.【詳解】

如圖以OA,OB所在直線分別為y軸，x軸建系．則A0,1以AB為直徑作一半圓，點P為半圓上任意一點，半圓為x?1設Px,y，則OBOP?在平面內(nèi)，一只螞蟻從點A(?2,?3)出發(fā)，爬到y(tǒng)軸后又爬到圓C:(x+3)2+【答案】4【分析】求得點A(?2,?3)關(guān)于y軸的對稱點為A'(2,?3)【詳解】由圓C:(x+3)2+(y?2)2求得點A(?2,?3)關(guān)于y軸的對稱點為A'可得A'如圖所示，可得爬到的最短路程為42故答案為：4已知A0,?2，B2,0，點P為圓x2+yA．5 B．5?22 C．52 【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線AB的方程，再求出點P到直線AB距離的最大值作答.【詳解】圓x2+y2?2x?8y+13=0的圓心C(1,4)，半徑r=2，直線于是點C到直線AB：x?y?2=0的距離d=|1?4?2|12+(?1)因此點P到直線AB距離的最大值為522+2所以△PAB面積的最大值為S=1故選：D由曲線x2+y【答案】32+16π【分析】曲線x2+y2=4【詳解】將?x或?y代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線x2+y2=4當x≥0，y≥0時，曲線x2+y表示的圖形為以2,2為圓心，半徑為22則第一象限圍成的面積為S1故曲線x2+y故答案為：32+16π.（多選）已知△ABC的三個頂點為A(4,2),B(2,6),C(5,3)，則（

）A．△ABC為直角三角形 B．△ABC的面積為3C．△ABC邊AB上的中線所在直線方程為x?2y+1=0 D．△ABC的外接圓方程為x【答案】ABD【分析】求出kAC，kBC，即可判斷A，再求出AC，BC，求出S△ABC即可判斷B，求出A、B的中點D的坐標，再求出kCD，由點斜式求出直線方程，即可判斷C，由圓心為A、B的中點【詳解】解：因為A4,2，B2,6，所以kAC=3?25?4=1，k所以∠ACB=90°，所以△ABC為直角三角形，故A正確；又AC=4?52所以S△ABC因為A、B的中點D為D3,4，所以k所以直線CD的方程為y?4=?12x?3即邊AB上的中線所在直線方程為x+2y?11=0，故C錯誤；因為△ABC為直角三角形，所以△ABC外接圓的直徑為AB，圓心為A、B的中點D3,4，又AB所以△ABC外接圓的方程為x?32+y?4故選：ABD已知圓的方程為x2+y2?6x?8y=0，設該圓過點3,5的最長弦和最短弦分別為AC【答案】20【分析】先分析已知點與圓的位置關(guān)系，再判斷出最長弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面積公式即可求出四邊形ABCD的面積.【詳解】設圓圓心為M，由題可得圓心坐標是M3,4，半徑是5，圓心到點E所以點3,5在圓內(nèi)，最長弦為圓的直徑，由垂徑定理得：最短弦BD和最長弦（即圓的直徑）AC垂直，故最短弦的長為BD=2最長弦即直徑，即AC=10所以四邊形ABCD的面積為12已知圓C過點A(4,0),B(0,4)，且圓心C在直線l:x+y?6=0上．(1)求圓C的方程；(2)若從點M(4,1)發(fā)出的光線經(jīng)過直線y=?x反射，反射光線l1恰好平分圓C的圓周，求反射光線l【答案】(1)(x?3)2+(y?3)【分析】（1）先求AB的垂直平分線方程，聯(lián)立直線l的方程可得圓心坐標，然后可得半徑，進而得出圓的標準方程；（2）根據(jù)點關(guān)于直線對稱的特征列方程可得N，利用直線點斜式方程即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由A(4,0),B(0,4)，得直線AB的斜率為kAB=所以kCD=1，直線CD的方程為y?2=x?2，即聯(lián)立x+y?6=0y=x，解得x=3y=3，即所以半徑r=|AC|=(4?3)所以圓C的方程為(x?3)2+（2）由l1恰好平分圓C的圓周，得l1經(jīng)過圓心設點M關(guān)于直線y=?x的對稱點N(x,y)，則直線MN與直線y=?x垂直，且線段MN的中點x+42,y+1則有y?1x?4×(?1)=?1y+12=?所以直線CN即為直線l1，且k直線l1方程為y?3=74已知點A1,?2(1)過點A，B且周長最小的圓的標準方程；(2)過點A，B且圓心在直線2x?y?4=0上的圓的標準方程.【答案】(1)x2+y?1【分析】（1）所求的圓，即以AB為直徑的圓，求出圓心和半徑，可得結(jié)果；（2）解法一：求出AB的垂直平分線的方程是x?3y+3=0，又圓心在直線2x?y?4=0上，得兩直線交點為圓心，即圓心坐標是C3