2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題65 反比例函數(shù)背景下的面積問題（含答案及解析）

模型介紹模型介紹一、反比例函數(shù)的幾何意義1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為二、利用k的幾何意義進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化1.如圖，直線與反比例函數(shù)（）交于、兩點(diǎn)，與、軸的交點(diǎn)分別為、，那么，此方法是絕大部分學(xué)生選用的方法。但是，從效率來講，就比較低2.如圖，過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，則根據(jù)的幾何意義可得，，而，所以，此方法的好處，在于方便，快捷，不易出錯(cuò)。例題精講例題精講【例1】．如圖，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上有兩點(diǎn)A，B，它們的橫坐標(biāo)分別是2，6，則△AOB的面積是．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，若，△AOB的面積為12，則k的值為（）A．4 B．6 C．10 D．12【變1-2】．如圖，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，S△BEF＝4，則k的值為．【例2】．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為6，4，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，若菱形ABCD的面積為2，則k的值為．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，A、B的縱坐標(biāo)分別是3和6，連接OA、OB，則△OAB的面積是（）A．9 B．8 C．7 D．6【變2-2】．如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)y＝與y＝（a＞b＞0）在第一象限的圖象分別為曲線C1，C2，點(diǎn)P為曲線C1上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線交C2于點(diǎn)A，作x軸的垂線交C2于點(diǎn)B，則陰影部分的面積S△AOB＝．（結(jié)果用a，b表示）1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，OC＝OB，延長AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．42．如圖，OC交雙曲線y＝于點(diǎn)A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面積是8，且AB∥x軸，則k的值是（）A．18 B．50 C．12 D．3．如圖，已知點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y1＝﹣和y2＝的圖象上，若點(diǎn)A是線段OB的中點(diǎn)，則k的值為（）A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．﹣44．如圖，點(diǎn)A（m，n），B（4，）在雙曲線y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面積為，則m+n＝（）A．7 B． C． D．35．如圖，點(diǎn)A，B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OA、BC，已知點(diǎn)C（2，0），BD＝3，S△BCD＝3，則S△AOC為（）A．2 B．3 C．4 D．66．如圖，平行于y軸的直線分別交y＝與y＝的圖象（部分）于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）7．已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線y＝與邊BC交于點(diǎn)D、與對(duì)角線OB交于中點(diǎn)E，若△OBD的面積為10，則k的值是（）A．10 B．5 C． D．8．如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD＝3AD，且△ODE的面積是12，則k＝（）A．6 B．9 C． D．9．如圖，一直線經(jīng)過原點(diǎn)O，且與反比例函數(shù)y＝（k＞0）相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為C，連接BC．若△ABC面積為8，則k＝．10．如圖，若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過等邊三角形POQ的頂點(diǎn)P，則△POQ的邊長為．11．如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y＝在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接OA，過A作AB∥x軸，截取AB＝OA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)P．則△OAP的面積為．12．如圖，直線y＝x+m與雙曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象過點(diǎn)C，且交線段AB于點(diǎn)D，連接CD，OD．若S△OCD＝6，則k的值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)C在y軸上，經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交BC于點(diǎn)D．若CD＝2BD，?OABC的面積為15，則k的值為．15．如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點(diǎn)E在線段AC上，且AE＝3EC，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3，則k的值為．16．如圖，已知反比例函數(shù)y1＝與一次函數(shù)y2＝k2x+b的圖象交于點(diǎn)A（1，8），B（﹣4，m）兩點(diǎn)．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面積；（3）請(qǐng)直接寫出不等式x+b的解．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，6），AB⊥x軸于點(diǎn)B，cos∠OAB＝，反比例函數(shù)y＝的圖象的一支分別交AO、AB于點(diǎn)C、D．延長AO交反比例函數(shù)的圖象的另一支于點(diǎn)E．已知點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求直線EB的解析式；（3）求S△OEB．18．如圖，直線y＝x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，a），第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，OB與x軸正半軸的夾角為α，且tanα＝．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）求S△OAB．19．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的交于點(diǎn)B（2，n），連接BO，若S△AOB＝4．（1）求該反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式；（2）若直線AB與雙曲線的另一交點(diǎn)為D點(diǎn)，求△ODB的面積．20．如圖，在平行四邊形OABC中，，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)．（1）求k的值；（2）求四邊形OABC的面積．21．如圖，直線y＝6x與雙曲線y＝（k≠0，且x＞0）交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及雙曲線的解析式；（2）點(diǎn)B是雙曲線上的點(diǎn)，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是6，連接OB，AB，求△AOB的面積．22．如圖，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）若D（x，0）是x軸上原點(diǎn)左側(cè)的一點(diǎn)，且滿足，求x的取值范圍．23．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，2）、點(diǎn)B（﹣4，n）．（1）求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）在x軸上存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A（3，2），交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y＝k2x+b．（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；（2）求△OEF的面積；（3）請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式k2x+b＞0的解集．25．如圖，已知反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，4），一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q（﹣4，n）．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連結(jié)OP、OQ．求△OPQ的面積．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為4的等邊△OAB的邊OB在x軸的負(fù)半軸上，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過AB邊的中點(diǎn)C，且與OA邊交于點(diǎn)D．（1）求k的值；（2）連接OC，CD，求△OCD的面積；（3）若直線y＝mx+n與直線CD平行，且與△OAB的邊有交點(diǎn)，直接寫出n的取值范圍．

模型介紹模型介紹一、反比例函數(shù)的幾何意義1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為二、利用k的幾何意義進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化1.如圖，直線與反比例函數(shù)（）交于、兩點(diǎn)，與、軸的交點(diǎn)分別為、，那么，此方法是絕大部分學(xué)生選用的方法。但是，從效率來講，就比較低2.如圖，過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，則根據(jù)的幾何意義可得，，而，所以，此方法的好處，在于方便，快捷，不易出錯(cuò)。例題精講例題精講【例1】．如圖，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上有兩點(diǎn)A，B，它們的橫坐標(biāo)分別是2，6，則△AOB的面積是8．解：如圖所示：過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，∵反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上有兩點(diǎn)A，B，它們的橫坐標(biāo)分別是2，6，∴x＝2時(shí)，y＝3；x＝6時(shí)，y＝1，故S△ACO＝S△OBD＝3，S四邊形AODB＝×（3+1）×4+3＝11，故△AOB的面積是：11﹣3＝8．故答案為：8．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，若，△AOB的面積為12，則k的值為（）A．4 B．6 C．10 D．12解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，∵OC∥AD，，∴，∴，k＞0，∴k＝12，故選：D．【變1-2】．如圖，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，S△BEF＝4，則k的值為16．解：設(shè)E（a，），則B縱坐標(biāo)也為，∵E是AB中點(diǎn)，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，），∴BF＝BC﹣FC＝﹣＝，∵S△BEF＝4，∴a?＝4，∴k＝16．故答案是：16．【例2】．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為6，4，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，若菱形ABCD的面積為2，則k的值為12．解：解法一：過點(diǎn)A作x軸的垂線，交CB的延長線于點(diǎn)E，∵BC∥x軸，∴AE⊥BC，∵A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象，且縱坐標(biāo)分別為6，4，∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，∵菱形ABCD的面積為2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12．解法二：同理知：BE＝1，設(shè)A（a，6），則B（a+1，4），∴6a＝4（a+1），∴a＝2，∴k＝2×6＝12．故答案為12．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，A、B的縱坐標(biāo)分別是3和6，連接OA、OB，則△OAB的面積是（）A．9 B．8 C．7 D．6解：∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，A、B的縱坐標(biāo)分別是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y軸于D，BE⊥y軸于E，∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6，∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∴S△AOB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，故選：A．【變2-2】．如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)y＝與y＝（a＞b＞0）在第一象限的圖象分別為曲線C1，C2，點(diǎn)P為曲線C1上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線交C2于點(diǎn)A，作x軸的垂線交C2于點(diǎn)B，則陰影部分的面積S△AOB＝a﹣．（結(jié)果用a，b表示）解：設(shè)B（m，），A（，n），則P（m，n），∵點(diǎn)P為曲線C1上的任意一點(diǎn)，∴mn＝a，∴陰影部分的面積S△AOB＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案為：a﹣．

1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，OC＝OB，延長AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．4解：作AE⊥BC于E，連接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面積等于1，OC＝OB，∴S△COD＝S△BCD＝，∴S△CEA＝4×＝1，∵OC＝CE，∴S△AOC＝S△CEA＝，∴S△AOE＝+1＝，∵S△AOE＝k（k＞0），∴k＝3，故選：A．2．如圖，OC交雙曲線y＝于點(diǎn)A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面積是8，且AB∥x軸，則k的值是（）A．18 B．50 C．12 D．解：延長DA、交x軸于E，∵四邊形ABCD是矩形，且AB∥x軸，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x軸，CB⊥x軸，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面積是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面積為4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，∴S△AOE＝9，∵雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)A，∴S△AOE＝|k|＝9，∵k＞0，∴k＝18，故選：A．3．如圖，已知點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y1＝﹣和y2＝的圖象上，若點(diǎn)A是線段OB的中點(diǎn)，則k的值為（）A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．﹣4解：設(shè)A（a，b），則B（2a，2b），∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1＝﹣的圖象上，∴ab＝﹣2；∵B點(diǎn)在反比例函數(shù)y2＝的圖象上，∴k＝2a?2b＝4ab＝﹣8．故選：A．4．如圖，點(diǎn)A（m，n），B（4，）在雙曲線y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面積為，則m+n＝（）A．7 B． C． D．3解：∵點(diǎn)A（m，n），B（4，）在雙曲線y＝上，∴mn＝4×＝k，∴mn＝k＝6，∴雙曲線為y＝，∴n＝，作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，∵S△AOB＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∴（+）（4﹣m）＝，解得m1＝1，m2＝﹣16，∵0＜m＜n．∴m＝1，∴n＝6，∴m+n＝7，故選：A．5．如圖，點(diǎn)A，B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OA、BC，已知點(diǎn)C（2，0），BD＝3，S△BCD＝3，則S△AOC為（）A．2 B．3 C．4 D．6解：在Rt△BCD中，∵×CD×BD＝3，∴×CD×3＝3，∴CD＝2，∵C（2，0），∴OC＝2，∴OD＝4，∴B（4，3），∵點(diǎn)B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點(diǎn)，∴k＝12，∵AC⊥x軸，∴S△AOC＝＝6，故選：D．6．如圖，平行于y軸的直線分別交y＝與y＝的圖象（部分）于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）解：由題意可知，AB＝﹣，AB邊上的高為x，∴S△ABC＝×（﹣）?x＝（k1﹣k2），故選：B．7．已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線y＝與邊BC交于點(diǎn)D、與對(duì)角線OB交于中點(diǎn)E，若△OBD的面積為10，則k的值是（）A．10 B．5 C． D．解：設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），∵E是OB的中點(diǎn)，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（2x，2y），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是（，2y），∵△OBD的面積為10，∴×（2x﹣）×2y＝10，解得，k＝，故選：D．8．如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD＝3AD，且△ODE的面積是12，則k＝（）A．6 B．9 C． D．解：∵四邊形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函數(shù)的圖象上，∴＝k，設(shè)E的坐標(biāo)為（a，y），∴ay＝k∴E（a，），∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣??（b﹣）＝12，∴4k﹣k﹣+＝12k＝故選：D．9．如圖，一直線經(jīng)過原點(diǎn)O，且與反比例函數(shù)y＝（k＞0）相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為C，連接BC．若△ABC面積為8，則k＝8．解：∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA＝OB，∴△BOC的面積＝△AOC的面積＝8÷2＝4，又∵A是反比例函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)，且AC⊥y軸于點(diǎn)C，∴△AOC的面積＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案為8．10．如圖，若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過等邊三角形POQ的頂點(diǎn)P，則△POQ的邊長為2．解：如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線于M，∵△POQ為等邊三角形，∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，∴設(shè)P（a，）（a＞0），則OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝，在Rt△OPM中，PM＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1（負(fù)值舍去），∴OQ＝2a＝2，故答案為：2．11．如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y＝在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接OA，過A作AB∥x軸，截取AB＝OA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)P．則△OAP的面積為5．解：過P作MN⊥x軸于M，交AB于N，過A作AD⊥x軸于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x軸，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4+5＝9，縱坐標(biāo)是3，即點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，3），設(shè)直線OB的解析式是y＝ax，把B點(diǎn)的坐標(biāo)（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x軸，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程組得：或，∵點(diǎn)P在第一象限，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，2），∵A（4，3），AB∥x軸，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，∴△OAP的面積是S△ABO﹣S△APB＝3﹣＝5，故答案為：5．12．如圖，直線y＝x+m與雙曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為6．解：方法一：設(shè)A（a，），B（b，），則C（a，）．將y＝x+m代入y＝，得x+m＝，整理，得x2+mx﹣3＝0，則a+b＝﹣m，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．∵S△ABC＝AC?BC＝（﹣）（a﹣b）＝??（a﹣b）＝（a﹣b）2＝（m2+12）＝m2+6，∴當(dāng)m＝0時(shí)，△ABC的面積有最小值6．故答案為6．方法二：因?yàn)閥＝x+m斜率為1，且BC∥x軸，AC∥y軸，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB，∴S△ABC＝AC?BC＝AB2，當(dāng)AB最小時(shí)，m＝0，直線為y＝x，聯(lián)立方程，解得或，∴A（，），B（﹣，﹣），AB＝×2＝2，∴S△ABC最?。健?×6＝6．故答案為：6．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象過點(diǎn)C，且交線段AB于點(diǎn)D，連接CD，OD．若S△OCD＝6，則k的值為8．解：根據(jù)題意設(shè)B（m，m），則A（m，0），∵點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，∴C（，），∵反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象過點(diǎn)C，∴k＝?＝，∵∠OAB＝90°，∴D的橫坐標(biāo)為m，∵反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象過點(diǎn)D，∴D的縱坐標(biāo)為，作CE⊥x軸于E，∵S△COE＝S△AOD，S△OCD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝6，∴（AD+CE）?AE＝6，即（+）?（m﹣m）＝6，∴m2＝32，∴k＝＝8，故答案為：8．解法二：作CE⊥OA于E，∵C為AB的中點(diǎn)，OA＝AB，∠OAB＝90°，∴S△OEC＝S△AOD＝k，S△AOB＝2k，∴S△BOD＝k，∵C為斜邊OB的中點(diǎn)，∴S△OCD＝S△BCD＝S△BOD＝6，∴×k＝6，∴k＝8．故答案為：8．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)C在y軸上，經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交BC于點(diǎn)D．若CD＝2BD，?OABC的面積為15，則k的值為18．解：過點(diǎn)D作DN⊥y軸于N，過點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，設(shè)OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵?OABC的面積為15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，3b），（，a+2b），∴?3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝?3b＝?3×a＝18，故答案為：18．15．如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點(diǎn)E在線段AC上，且AE＝3EC，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3，則k的值為．解：連DC，如圖，∵AE＝3EC，△ADE的面積為3，∴△CDE的面積為1，∴△ADC的面積為4，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則AB＝a，OC＝2AB＝2a，而點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴BD＝OD＝b，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入雙曲線y＝，∴k＝ab＝．故答案為：．16．如圖，已知反比例函數(shù)y1＝與一次函數(shù)y2＝k2x+b的圖象交于點(diǎn)A（1，8），B（﹣4，m）兩點(diǎn)．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面積；（3）請(qǐng)直接寫出不等式x+b的解．解：（1）∵反比例函數(shù)y1＝與一次函數(shù)y2＝k2x+b的圖象交于點(diǎn)A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），解方程組，解得；（2）由（1）知一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），∴S△AOB＝×6×4+×6×1＝15；（3）﹣4≤x＜0或x≥1．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，6），AB⊥x軸于點(diǎn)B，cos∠OAB＝，反比例函數(shù)y＝的圖象的一支分別交AO、AB于點(diǎn)C、D．延長AO交反比例函數(shù)的圖象的另一支于點(diǎn)E．已知點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求直線EB的解析式；（3）求S△OEB．解：（1）∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，6），AB⊥x軸，∴AB＝6，∵cos∠OAB＝＝，∴，∴OA＝10，由勾股定理得：OB＝8，∴A（8，6），∴D（8，），∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝8×＝12，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；（2）設(shè)直線OA的解析式為：y＝bx，∵A（8，6），∴8b＝6，b＝，∴直線OA的解析式為：y＝x，則，x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），設(shè)直線BE的解式為：y＝mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直線BE的解式為：y＝x﹣2；（3）S△OEB＝OB?|yE|＝×8×3＝12．18．如圖，直線y＝x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，a），第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，OB與x軸正半軸的夾角為α，且tanα＝．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）求S△OAB．解：（1）∵直線y＝x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，a），∴a＝×3＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝．（2）∵點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵點(diǎn)B在第一象限，∴x＝6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）．（3）設(shè)直線OB為y＝kx，（k≠0），將點(diǎn)B（6，2）代入得：2＝6k，解得：k＝，∴OB直線解析式為：y＝x．過A點(diǎn)做AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)C，如圖所示：則點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，1），∴AC＝3．S△OAB的面積＝S△OAC的面積+S△ACB的面積＝×|AC|×6＝9．∴△OAB的面積為9．19．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的交于點(diǎn)B（2，n），連接BO，若S△AOB＝4．（1）求該反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式；（2）若直線AB與雙曲線的另一交點(diǎn)為D點(diǎn)，求△ODB的面積．解：（1）由題意得：S△AOB＝?|xA|?yB，即×2×yB＝4，yB＝4，∴B（2，4），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y＝，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：k＝2×4＝8，∴y＝，設(shè)直線AB的解析式為：y＝ax+b，把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得：，解得：，∴y＝x+2；（2）由題意得：x+2＝，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴D（﹣4，﹣2），∴S△ODB＝S△OAD+S△OAB＝×2×2+4＝6．20．如圖，在平行四邊形OABC中，，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)．（1）求k的值；（2）求四邊形OABC的面積．解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，∵∠AOC＝45°，∴OE＝CE，∴OE2+CE2＝OC2∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C點(diǎn)，∴k＝2×2＝4；（2）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB＝OC＝2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝，AF＝DF，∴AF2+DF2＝AD2，∴AF＝DF＝1，∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)D點(diǎn)，∴D（4，1），∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，∴平行四邊形OABC的面積S＝OA?CE＝3×2＝6．21．如圖，直線y＝6x與雙曲線y＝（k≠0，且x＞0）交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及雙曲線的解析式；（2）點(diǎn)B是雙曲線上的點(diǎn)，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是6，連接OB，AB，求△AOB的面積．解：（1）將x＝2代入y＝6x，得：y＝12，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，12），將A（2，12）代入y＝，得：k＝24，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）在y＝中y＝6時(shí)，x＝4，∴點(diǎn)B（4，6），而A（2，12），如圖，過A作AC⊥y軸，BD⊥x軸，交于點(diǎn)E，則OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，∴S△AOB＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝4×12﹣×2×12﹣×4×6﹣×2×6＝48﹣12﹣12﹣6＝18．22．如圖，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）若D（x，0）是x軸上原點(diǎn)左側(cè)的一點(diǎn)，且滿足，求x的取值范圍．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴m＝﹣8，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣．∵A（﹣4，n）在y＝﹣的圖象上，∴n＝2，∴A（﹣4，2）．∵y＝kx+b經(jīng)過A（﹣4，2）和B（2，﹣4），∴，解得∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x﹣2．（2）當(dāng)y＝﹣x﹣2＝0時(shí)，解得x＝﹣2．∴點(diǎn)C（﹣2，0），∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC+S△COB＝×2×2+×2×4＝6．（3）根據(jù)函數(shù)的圖象可知：若D（x，0）是x軸上原點(diǎn)左側(cè)的一點(diǎn)，當(dāng)﹣4＜x＜0時(shí)，滿足kx+b﹣＜0．23．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，2）、點(diǎn)B（﹣4，n）．（1）求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）在x軸上存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，），∵直線y＝k1x+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝+．（2）設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為C，如圖1，當(dāng)y＝0時(shí)，x+＝0，x＝﹣5；∴C點(diǎn)坐標(biāo)（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝?OC?|yA|＝×5×2＝5．S△BOC＝?OC?|yB|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)△PAB的周長最小，∵點(diǎn)A′和A（﹣1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），設(shè)直線A′B的表達(dá)式為y＝ax+c，∵經(jīng)過點(diǎn)A′（﹣1，﹣2），點(diǎn)B（﹣4，）∴，解得：，∴直線A′B的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣，當(dāng)y＝0時(shí)，則x＝﹣，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0）．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A（3，2），交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y＝k2x+b．（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；（2）求△OEF的面積