2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題72 三角形中的新定義問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°＝；（2）對(duì)于0°＜A＜180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是；（3）如圖，已知cosA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．變式訓(xùn)練【變1-1】．定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，則△ABC的面積為．【變1-2】．定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求證：△ABD為“奇妙三角形”（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)．【例2】．定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為120°的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度數(shù)．【解決問題】（3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，點(diǎn)D在AC邊上，若△BCD是“準(zhǔn)等邊三角形”，求BD的長．變式訓(xùn)練【變2-1】．新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖所示，△ABC中AF、BE是中線，且AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此時(shí)AC的長為．【變2-2】．【了解概念】定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱這個(gè)三角形為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線．【理解運(yùn)用】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△ABC是否為半線三角形，并說明理由；【拓展提升】（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB，MC，若△ABC和△MBC均為半線三角形，且AD和MD分別為這兩個(gè)三角形BC邊的半線，求∠AMC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若MD＝，AM＝1，直接寫出BM的長．1．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為42°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為．2．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“奇妙三角形”，其中α稱為“奇妙角”．如果一個(gè)“奇妙三角形”的一個(gè)內(nèi)角為60°，那么這個(gè)“奇妙三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．3．新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，探究如下問題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果準(zhǔn)外心P在BC邊上，那么PC的長為．4．定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱為垂足三角形．在銳角三角形ABC的每條邊上各取一點(diǎn)D，E，F(xiàn)，△DEF稱為△ABC的內(nèi)接三角形．垂足三角形的性質(zhì)：在銳角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝AC＝5，BC＝6，則△DEF周長的最小值為．5．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖①在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°＝．（2）sad90°＝．（3）如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．6．定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．（1）如圖①，△ABC是頂角為36°的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫出，判斷△DAB與△EBC是否相似：（填“是”或“否”）；（2）如圖②，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，則△ABC的三分線的長為．7．概念學(xué)習(xí)規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．理解概念：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”．概念應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．求證：CD為△ABC的等角分割線．動(dòng)手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的∠ACB的度數(shù)．8．定義：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c滿足ac+a2＝b2則稱這個(gè)三角形為“類勾股三角形”．請(qǐng)根據(jù)以上定義解決下列問題：（1）命題：“直角三角形都是類勾股三角形”是（填“真”或“假”）命題．（2）如圖1所示，若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，請(qǐng)求∠A的度數(shù)．（3）如圖2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求證：△ABC為“類勾股三角形”．志明同學(xué)想到可以在AB上找一點(diǎn)D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，請(qǐng)你幫助志明完成證明過程.9．我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)（D與A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，則△ABC的正度為；（2）在圖1，當(dāng)點(diǎn)D在腰AB上（D與A、B不重合）時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．（3）若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長為22，是否存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說明理由．10．定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有（只填寫序號(hào)）．①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形．（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點(diǎn)E，連接BE．①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠E的度數(shù)．11．定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形．探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫出分割線，并說明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三角形的面積為SN．①若△DEF的面積為10000，當(dāng)n為何值時(shí)，2＜Sn＜3？（請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）②當(dāng)n＞1時(shí)，請(qǐng)寫出一個(gè)反映Sn﹣1，Sn，Sn+1之間關(guān)系的等式．（不必證明）12．定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”．如圖1，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，若AD2＝BD?CD，則稱點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的“好點(diǎn)”．（1）如圖2，△ABC的頂點(diǎn)是4×3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫出（或在圖中直接描出）AB邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)D；（2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線段BD的長；（3）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連結(jié)CH并延長交⊙O于點(diǎn)D．若點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”．①求證：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半徑為r，且r＝3OH，求的值．13．定義1：如圖1，若點(diǎn)H在直線l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線段MH、NH，滿足∠1＝∠2，則稱MH和NH關(guān)于直線l滿足“光學(xué)性質(zhì)”；定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC，AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR為△ABC的光線三角形．閱讀以上定義，并探究問題：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC，AB上．（1）如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求∠EDC的度數(shù)；（2）如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點(diǎn)E，D．①證明：△DEF為△ABC的光線三角形；②證明：△ABC的光線三角形是唯一的．14．新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．寫出∠BAD，∠BAC和∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)D、點(diǎn)E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM平分∠BME．（3）如圖③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，試探究∠B和∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．15．我們定義：三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形是2倍角三角形．（1）定義應(yīng)用如果一個(gè)等腰三角形是2倍角三角形，則其底角的度數(shù)為；（2）性質(zhì)探索小思同學(xué)通過從“特殊到一般”的過程，對(duì)2倍角三角形進(jìn)行研究，得出結(jié)論：如圖1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB+AC）．下面是小思同學(xué)對(duì)其中一種特殊情形的證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：BC2＝AC（AB+AC）．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時(shí)，稱這個(gè)三角形叫“和諧三角形”，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離”．（1）已知A（2，0），B（0，4），C（1，2），D（4，1），這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”的點(diǎn)是，“和諧距離”是；（2）連接BD，點(diǎn)M，N是BD上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，N不重合），點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△EMN是以MN為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，直線y＝?x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)H、G，點(diǎn)Q是線段HG上一點(diǎn)，若存在△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，直接寫出b的取值范圍．17．定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段能把該三角形分成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的智慧線，這個(gè)三角形叫做智慧三角形．（1）如圖1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD為該三角形的智慧線，CD＝1，AC＝，則BD長為，∠B的度數(shù)為．（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F(xiàn)是斜邊BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AF，以AF為直角邊作等腰直角三角形AFE（點(diǎn)A，F(xiàn)，E按順時(shí)針排列），∠EAF＝90°，AE交BC于點(diǎn)D，連結(jié)EC，EB．當(dāng)∠BDE＝2∠BCE時(shí)，求證：ED是△EBC的智慧線．（3）如圖3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝．若△BCD是智慧三角形，且AC為智慧線，求△BCD的面積．18．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE＝BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，求出△ABC的面積．19．定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝°；（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，①求證：△BDC是“近直角三角形”；②在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的圓交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的長．20．愛好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，c＝時(shí)，a＝，b＝；如圖2，當(dāng)∠PAB＝30°，c＝2時(shí)，a2+b2＝；【歸納證明】（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．【拓展證明】（3）如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD＝3，AB＝3，求AF的長．21．定義：若△ABC中，其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的一半，則稱△ABC為“半角三角形”．（1）若Rt△ABC為半角三角形，∠A＝90°，則其余兩個(gè)角的度數(shù)為．（2）如圖1，在?ABCD中，∠C＝72°，點(diǎn)E在邊CD上，以BE為折痕，將△BCE向上翻折，點(diǎn)E恰好落在AD邊上的點(diǎn)F，若BF⊥AD，求證：△EDF為半角三角形；（3）如圖2，以△ABC的邊AB為直徑畫圓，與邊AC交于M，與邊BC交于N，已知△ABC的面積是△CMN面積的4倍．①求證：∠C＝60°．②若△ABC是半角三角形，直接寫出∠B的度數(shù)．22．定義：若兩個(gè)三角形有一對(duì)公共邊，且另有一組對(duì)應(yīng)邊和一對(duì)對(duì)應(yīng)角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形稱為鄰等三角形．例如：如圖1，△ABC中，AD＝AD，AB＝AC，∠B＝∠C，則△ABD與△ACD是鄰等三角形．（1）如圖2，⊙O中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，那么請(qǐng)判斷△ABD與△ACD是否為鄰等三角形，并說明理由．（2）如圖3，以點(diǎn)A（2，2）為圓心，OA為半徑的⊙A交x軸于點(diǎn)B（4，0），△OBC是⊙A的內(nèi)接三角形，∠COB＝30°．①求∠C的度數(shù)和OC的長；②點(diǎn)P在⊙A上，若△OCP與△OBC是鄰等三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．23．定義：在△ABC中，若有兩條中線互相垂直，則稱△ABC為中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周長，記作L，即L＝AB2+BC2+CA2．（1）如圖1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，若AC＝BC，求證：△AOB是等腰直角三角形；（2）如圖2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，且AE⊥BD于點(diǎn)O，試探究△ABC的方周長L與AB2之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，已知拋物線y＝與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與該拋物線相交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，且BD＝CD，連接AC交y軸于點(diǎn)E．①求證：△ABC是中垂三角形；②若△ABC為直角三角形，求△ABC的方周長L的值．

例題精講例題精講【例1】．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°＝1；（2）對(duì)于0°＜A＜180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是0＜sadA＜2；（3）如圖，已知cosA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則sad60°＝＝1．故答案為：1．（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadA接近0，當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．故答案為0＜sadA＜2．（3）如圖，過B作BD⊥AC于D．在Rt△ABD中，cosA＝＝．設(shè)AD＝4k，AB＝5k，則BD＝3k，∴DC＝5k﹣4k＝k．在Rt△BDC中，BC＝＝k，∴sadA＝＝．變式訓(xùn)練【變1-1】．定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，則△ABC的面積為4或2．解：∵△ABC是“倍角三角形”，∴分四種情況：當(dāng)∠A＝2∠B＝90°時(shí)，∴∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴AB＝AC＝＝＝2，∴△ABC的面積＝AB?AC＝×2×2＝4；當(dāng)∠A＝2∠C＝90°時(shí)，同理可得：△ABC的面積為4；當(dāng)∠B＝2∠C時(shí)，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝2∠C，∴∠C＝30°，∠B＝60°，∵BC＝4，∴AB＝BC＝2，AC＝AB＝2，∴△ABC的面積＝AB?AC＝×2×2＝2；當(dāng)∠C＝2∠B時(shí)，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠C＝2∠B，∴∠B＝30°，∠C＝60°，∵BC＝4，∴AC＝BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC的面積＝AB?AC＝×2×2＝2；綜上所述：△ABC的面積為4或2，故答案為：4或2．【變1-2】．定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求證：△ABD為“奇妙三角形”（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)．（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD為“奇妙三角形”．（2）證明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，當(dāng)∠B＝10°時(shí)，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．當(dāng)∠A＝10°時(shí)，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此證得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD為“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①當(dāng)∠A+2∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②當(dāng)2∠A+∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；綜上得出：∠C的度數(shù)為80°或100°．【例2】．定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為120°的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度數(shù)．【解決問題】（3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，點(diǎn)D在AC邊上，若△BCD是“準(zhǔn)等邊三角形”，求BD的長．解：（1）∵等腰三角形的頂角為120°，∴等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)分別為30°，30°，∴頂角為120°的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”；（2）∵△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，∴分兩種情況：當(dāng)∠C﹣∠A＝60°時(shí)，∴∠C＝∠A+60°＝95°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；當(dāng)∠C﹣∠B＝60°時(shí)，∵∠A＝35°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，∴2∠B＝85°，∴∠B＝42.5°；綜上所述：∠B的度數(shù)為50°或42.5°；（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2，∵△BCD是“準(zhǔn)等邊三角形”，∴分兩種情況：當(dāng)∠C﹣∠CBD＝60°時(shí)，∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，∴BD＝2CD，∵CD2+BC2＝BD2，∴CD2+（1+）2＝（2CD）2，解得：CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BD＝2CD＝；當(dāng)∠BDC﹣∠CBD＝60°時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴2∠BDC＝150°，∴∠BDC＝75°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE＝DE，BD＝DE，設(shè)DE＝BE＝x，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴AE＝DE＝x，∵BE+AE＝AB，∴x+x＝2+2，解得：x＝2，∴BE＝DE＝2，∴BD＝DE＝2；綜上所述：BD的長為或2．變式訓(xùn)練【變2-1】．新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖所示，△ABC中AF、BE是中線，且AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此時(shí)AC的長為3．解：如圖，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝90°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝3，BP＝AP＝3，∵AF、BE是中線，∴AE＝CE，點(diǎn)P為△ABC的重心，∴PE＝BP＝，在Rt△APE中，AE＝＝，∴AC＝2AE＝3．故答案為3．【變2-2】．【了解概念】定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱這個(gè)三角形為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線．【理解運(yùn)用】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△ABC是否為半線三角形，并說明理由；【拓展提升】（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB，MC，若△ABC和△MBC均為半線三角形，且AD和MD分別為這兩個(gè)三角形BC邊的半線，求∠AMC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若MD＝，AM＝1，直接寫出BM的長．解：（1）△ABC是半線三角形，理由如下：取BC得中點(diǎn)D，連接AD，∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB，∴△ABC是半線三角形．（2）過點(diǎn)A作AN⊥AM交MC于點(diǎn)N，如圖，∵M(jìn)D為△MBC的BC邊的半線，∴MD＝BC＝BD＝CD，∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，∴∠BMC＝90°，同理∠BAC＝90°，又∵∠MOB＝∠AOC，∴∠MBA＝∠MCA，∵∠MAN＝∠BAC＝90°，∴∠MAB＝∠NAC．∵AB＝AC，∴△MAB≌△NAC（ASA），∴AM＝AN，又∵∠MAN＝90°，∴∠AMC＝∠ANM＝45°．（3）由題意可知，BC＝2MD＝3，由（2）知△MAB≌△NAC（ASA），∴MB＝NC，AM＝AN＝1，∴MN＝，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，∴MB2+（+MB）2＝32，解得，MB＝2﹣（負(fù)值舍去）．故MB的值為2﹣．1．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為42°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為42°或84°或92°．解：①42°角是α，則友好角度數(shù)為42°；②42°角是β，則α＝2β＝84°，∴友好角α＝84°；③42°角既不是α也不是β，則α+β+42°＝180°，所以，α+α+42°＝180°，解得α＝92°，綜上所述，友好角度數(shù)為42°或84°或92°．故答案為：42°或84°或92°．2．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“奇妙三角形”，其中α稱為“奇妙角”．如果一個(gè)“奇妙三角形”的一個(gè)內(nèi)角為60°，那么這個(gè)“奇妙三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為30°，90°或40°，80°．解：由題意得：①當(dāng)60°的角為“奇妙角”時(shí)，有另一個(gè)角為30°，∴第三個(gè)內(nèi)角為180°﹣60°﹣30°＝90°；②當(dāng)60°的角不是“奇妙角”時(shí)，設(shè)另兩個(gè)內(nèi)角分別為∠1，∠2，且∠1＝2∠2，有∠1+∠2+60°＝180°，即2∠2+∠2＝120°，解得：∠2＝40°，故∠1＝80°．綜上所述：這個(gè)“奇妙三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為30°，90°或40°，80°．故答案為：30°，90°或40°，80°．3．新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，探究如下問題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果準(zhǔn)外心P在BC邊上，那么PC的長為4或．解：在Rt△ABC中，∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，若PB＝PA，連接PA，設(shè)PC＝x，則PA＝PB＝8﹣x，在Rt△PAC中，∵PA2＝CP2+AC2，∴（8﹣x）2＝x2+62，∴x＝，即PC＝，若PB＝PC，則PC＝4，若PA＝PC，由圖知，在Rt△PAC中，不可能，故PC的長為：4或．故答案是：4或．4．定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱為垂足三角形．在銳角三角形ABC的每條邊上各取一點(diǎn)D，E，F(xiàn)，△DEF稱為△ABC的內(nèi)接三角形．垂足三角形的性質(zhì)：在銳角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝AC＝5，BC＝6，則△DEF周長的最小值為．解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝CE＝3，∴AE＝＝4，∵CD⊥AB，BF⊥AC∴DE＝EF＝BC＝3，∵S△ABC＝AC?BF＝BC?AE，∴BF＝，∴CF＝＝，∴AF＝，∵△ADF∽△ABC，∴＝，∴DF＝，∴△DEF的周長的最小值＝3+3+＝．故答案為：．5．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖①在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°＝1．（2）sad90°＝．（3）如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．解：（1）sad60°＝1；（2）sad90°＝；（3）設(shè)AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a，在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：則DE＝AD?sinA＝4a?＝，AE＝AD?cosA＝4a?＝，CE＝4a﹣＝，a，∴sadA＝．6．定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．（1）如圖①，△ABC是頂角為36°的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫出，判斷△DAB與△EBC是否相似：是（填“是”或“否”）；（2）如圖②，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，則△ABC的三分線的長為和．解：（1）是，故答案為：是；（2）如圖3所示，CD、AE就是所求的三分線．設(shè)∠B＝α，則∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此時(shí)△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，設(shè)AE＝AD＝x，BD＝CD＝y(tǒng)，∵△AEC∽△BDC，∴x：y＝2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x＝（x+y）：2，所以聯(lián)立得方程組，解得，即三分線長分別是和．故答案為：和．7．概念學(xué)習(xí)規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．理解概念：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”．概念應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．求證：CD為△ABC的等角分割線．動(dòng)手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的∠ACB的度數(shù)．解：（1）△ABC與△ACD，△ABC與△BCD，△ACD與△BCD是“等角三角形”；（2）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD為角平分線，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD為△ABC的等角分割線；（3）當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖2，DA＝DC時(shí)，∠ACD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖3，DA＝AC時(shí)，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝50°+65°＝115°，當(dāng)△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情況不存在，當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖4，DC＝BD時(shí)，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，∴∠ACB＝，當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖5，DB＝BC時(shí)，∠BDC＝∠BCD，設(shè)∠BDC＝∠BCD＝x，則∠B＝180°﹣2x，則∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由題意得，180°﹣2x+50°＝x，解得，x＝，∴∠ACD＝180°﹣2x＝，∴∠ACB＝，綜上所述：∠ACB的度數(shù)為100°或115°或或．8．定義：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c滿足ac+a2＝b2則稱這個(gè)三角形為“類勾股三角形”．請(qǐng)根據(jù)以上定義解決下列問題：（1）命題：“直角三角形都是類勾股三角形”是假（填“真”或“假”）命題．（2）如圖1所示，若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，請(qǐng)求∠A的度數(shù)．（3）如圖2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求證：△ABC為“類勾股三角形”．志明同學(xué)想到可以在AB上找一點(diǎn)D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，請(qǐng)你幫助志明完成證明過程.（1）解：在類勾股△ABC中，ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：b2+a2＝c2，∴ab+a2＝b2+a2，∴a＝b，∴當(dāng)直角三角形是等腰直角三角形時(shí)，這個(gè)直角三角形是類勾股三角形，∴命題：“直角三角形都是類勾股三角形”是假命題，故答案為：假；（2）解：∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是類勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°；（3）證明：∵AD＝CD，∴∠ACD+∠A，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CE⊥AB，∴DE＝BE＝（c﹣a），∴AE＝AD+DE＝a+（c﹣a）＝（a+c），在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝b2﹣[（c+a）]2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2＝a2﹣[（c﹣a）]2，∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“類勾股三角形”．9．我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)（D與A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，則△ABC的正度為；（2）在圖1，當(dāng)點(diǎn)D在腰AB上（D與A、B不重合）時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．（3）若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長為22，是否存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說明理由．解：（1）若∠A＝90°，，則△ABC的正度為，故答案為：；（2）用尺規(guī)作出等腰△ACD，如圖1，作AC的中垂線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．∵△ACD的正度是，∴，∴，∴．在Rt△ADE中，設(shè)AD＝x，AE＝x，∴．∴DE＝AE．∴△ADE是等腰直角三角形．∴∠A＝45°．（3）存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度．∵△ABC的正度為，△ABC的周長為22，∴．設(shè)AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x．∵△ABC的周長為22，∴3x+5x+3x＝22．∴x＝2．∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，則BH＝CH＝5，∴AH＝．①當(dāng)AD＝DC時(shí)，如圖2所示，設(shè)AD＝DC＝y(tǒng)，則HD＝5﹣y，由AH2+HD2＝AD2，得11+（5﹣y）2＝y(tǒng)2．解得y＝，即AD＝．∴△ACD的正度為．②當(dāng)AC＝DC＝6時(shí)，如圖3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，∴DA＝．∴△ACD的正度為．綜上所述，△ACD的正度為或．10．定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填寫序號(hào)）．①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形．（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點(diǎn)E，連接BE．①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠E的度數(shù)．（1）解：若頂角是30°的等腰三角形，∴兩個(gè)底角分別為75°，75°，∴頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三個(gè)角分別為45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一個(gè)是30°的直角三角形，∴另兩個(gè)角分別為60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一個(gè)30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案為：②③；（2）①證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如圖，若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等邊三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，綜上所述：∠BPE的度數(shù)為45°或15°或20°或40°．11．定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形．探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫出分割線，并說明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三角形的面積為SN．①若△DEF的面積為10000，當(dāng)n為何值時(shí)，2＜Sn＜3？（請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）②當(dāng)n＞1時(shí)，請(qǐng)寫出一個(gè)反映Sn﹣1，Sn，Sn+1之間關(guān)系的等式．（不必證明）解：（1）如圖：割線CD就是所求的線段．理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB．（2）①△DEF經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為，∴Sn＝．當(dāng)n＝5時(shí)，S5＝≈9.77，當(dāng)n＝6時(shí)，S6＝≈2.44，當(dāng)n＝7時(shí)，S7＝≈0.61，∴當(dāng)n＝6時(shí)，2＜S6＜3．②Sn2＝Sn﹣1×Sn+1．12．定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”．如圖1，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，若AD2＝BD?CD，則稱點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的“好點(diǎn)”．（1）如圖2，△ABC的頂點(diǎn)是4×3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫出（或在圖中直接描出）AB邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)D；（2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線段BD的長；（3）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連結(jié)CH并延長交⊙O于點(diǎn)D．若點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”．①求證：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半徑為r，且r＝3OH，求的值．解：（1）如圖1，斜邊AB的中點(diǎn)D與斜邊AB上的高CD'的垂足D'均為AB邊長的“好點(diǎn)”．（2）如圖2，作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tanB＝，∴設(shè)AE＝3a，BE＝4a，tanC＝，∴CE＝AE＝3a，∴3a+4a＝7，∴a＝1，∴AE＝CE＝3，BE＝4，∴AB＝5，設(shè)BD＝x，∴DE＝|4﹣x|，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＝DE2+AE2＝（4﹣x）2+32，∵點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，∴AD2＝BD?CD＝x?（7﹣x），∴x?（7﹣x）＝（4﹣x）2+32，∴x1＝5，x2＝，即BD＝5或．（3）如圖3，①證明：∵點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”，∴BH2＝CH?HD，∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴CH?HD＝AH?BH，∴BH2＝AH?BH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②連接AD，設(shè)OH＝a，則OA＝3a，由①知，OH⊥AB，又∵OH∥BD，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直徑，∴OA＝OD＝3a，在Rt△AOH中，由勾股定理得，AH＝，∵AH＝BH＝，OA＝OD，∴BD＝2a，在Rt△BDH中，由勾股定理得，DH＝＝，由BH2＝CH?DH得：，∴CH＝，∴．13．定義1：如圖1，若點(diǎn)H在直線l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線段MH、NH，滿足∠1＝∠2，則稱MH和NH關(guān)于直線l滿足“光學(xué)性質(zhì)”；定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC，AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR為△ABC的光線三角形．閱讀以上定義，并探究問題：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC，AB上．（1）如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求∠EDC的度數(shù)；（2）如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點(diǎn)E，D．①證明：△DEF為△ABC的光線三角形；②證明：△ABC的光線三角形是唯一的．（1）解：如圖3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝75°，∵EF∥CB，∴∠AEF＝75°，∵DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，∴∠AEF＝∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；（2）①證明：如圖4中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∵CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，∵DB＝DC，∴DF＝DB＝DC，∴DF＝DB＝DE＝DC，∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∴DF，DE關(guān)于BC滿足光學(xué)性質(zhì)，∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝30°，∴∠DEF＝∠EDC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∴FE，DE關(guān)于AC滿足光學(xué)性質(zhì)，EF，DF關(guān)于AB滿足光學(xué)性質(zhì)，∴△DEF是為△ABC的光線三角形；②證明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，∴△DFE是頂角為120°，腰長為BC的一半的等腰三角形，∴△DEF是唯一確定的，∴△ABC的光線三角形是唯一的．14．新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．寫出∠BAD，∠BAC和∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)D、點(diǎn)E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM平分∠BME．（3）如圖③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，試探究∠B和∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由如下：∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；（2）證明：如圖②，過點(diǎn)A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AG＝AH，∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AM平分∠BME．（3）∠B+∠C＝180°，理由如下：如圖③，延長DC至點(diǎn)P，使DP＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△ADP為等邊三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAP，在△BAD和△CAP中，，∴△BAD≌△CAP（SAS），∴∠B＝∠ACP，∵∠ACD+∠ACP＝180°，∴∠B+∠ACD＝180°．15．我們定義：三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形是2倍角三角形．（1）定義應(yīng)用如果一個(gè)等腰三角形是2倍角三角形，則其底角的度數(shù)為45°或72°；（2）性質(zhì)探索小思同學(xué)通過從“特殊到一般”的過程，對(duì)2倍角三角形進(jìn)行研究，得出結(jié)論：如圖1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB+AC）．下面是小思同學(xué)對(duì)其中一種特殊情形的證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：BC2＝AC（AB+AC）．證明：如圖2，延長CA到D，使得AD＝AB，連接BD．∴∠D＝∠ABD，AB+AC＝AD+AC＝CD∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴∴BC2＝AC?CD∴BC2＝AC（AB+AC）根據(jù)上述材料提供的信息，請(qǐng)你完成下列情形的證明：已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求證：BC2＝AC（AB+AC）．（3）性質(zhì)應(yīng)用已知：如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，則AC＝8；（4）拓展應(yīng)用已知：如圖4，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB的長．（1）解：當(dāng)?shù)妊切蔚膬?nèi)角分別為x，x，2x時(shí)，4x＝180°，解得x＝45°，當(dāng)?shù)妊切蔚膬?nèi)角分別為x，2x，2x時(shí)，5x＝180°，解得x＝36°，2x＝72°，∴底角的度數(shù)為45°或72°，故答案為45°或72°；（2）如圖1，作AD平分∠BAC，交BC于D，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠BAD，∵∠BAC＝2∠B，∴∠ABC＝∠DAC＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠ABC＝∠DAC，∠ACD＝∠ACB，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝BC?CD，AC?AB＝BC?AD＝BC?BD，∴AC2+AC?AB＝BC?CD+BC?BD＝BC?（BD+CD），∴BC2＝AC（AC+AB）．（3）由性質(zhì)探索可知：AB2＝AC（BC+AC），∴AC2+10AC﹣144＝0，解得AC＝8或﹣18（舍棄）．故答案為8；（4）如圖3，作∠CBD＝∠A，交AC于點(diǎn)D，則∠ABD＝2∠A，∴△ABD是2倍角三角形．∴AD2＝BD（BD+AB），∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠A，∴∠BDC＝∠ABC＝3∠A，又∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴，∴CD＝，，∴AD＝AC﹣CD＝，設(shè)BD＝2x，則AB＝3x，∴（）2＝2x（2x+3x），∴x＝或x＝﹣（不合題意舍去），∴AB＝3x＝．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時(shí)，稱這個(gè)三角形叫“和諧三角形”，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離”．（1）已知A（2，0），B（0，4），C（1，2），D（4，1），這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”的點(diǎn)是A、B，“和諧距離”是2；（2）連接BD，點(diǎn)M，N是BD上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，N不重合），點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△EMN是以MN為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，直線y＝?x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)H、G，點(diǎn)Q是線段HG上一點(diǎn)，若存在△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，直接寫出b的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意得，當(dāng)A（2，0），B（0，4）與原點(diǎn)O構(gòu)成三角形時(shí)，AB邊上的中線等于AB邊的一半，即點(diǎn)A、B能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”，∵AB＝＝2，∴“和諧距離”是，故答案為：A、B，；（2）根據(jù)題意作圖如下：以BD為直徑，線段BD的中點(diǎn)為圓心，過圓心作x軸的平行線交圓于點(diǎn)E和點(diǎn)E'，點(diǎn)E和E'在圖中位置時(shí)為t的臨界值，∵BD＝＝5，A（2，0），∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2﹣＝﹣，點(diǎn)E'的橫坐標(biāo)為+2＝，∴﹣；（3）當(dāng)PQ為和諧邊時(shí)，∠POQ＝90°，∵“和諧距離”是2，設(shè)PQ的中點(diǎn)為F，∴OF＝2，PQ＝4，∴OQ＝＝2，∴點(diǎn)Q在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，∵直線y＝﹣x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)H、G，∴當(dāng)直線GH與點(diǎn)Q所在的圓相切于點(diǎn)Q時(shí)，b取最值，∴GH＝2OQ＝4，∴OG＝OH＝4×sin45°＝2，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，即點(diǎn)G處時(shí)，|b|＝2，∴b的取值范圍是：2≤b≤2或﹣2≤b≤﹣2；當(dāng)OQ為和諧邊時(shí)，∠OPQ＝90°，∵“和諧距離”是2，設(shè)PQ的中點(diǎn)為F'，則點(diǎn)Q在以O(shè)為圓心，4為半徑的圓上，即OQ＝4，當(dāng)直線GH與該圓相切時(shí)，GH＝8，∴OG＝8×sin45°＝4，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，即點(diǎn)G處時(shí)，|b|＝4，∴b的取值范圍是：4≤b≤4或﹣4≤b≤﹣4；當(dāng)OQ為和諧邊時(shí)，∠OQP＝90°，∵OP＝2，∴OP邊上的中線不可能是2，即“和諧距離”不為2，不符合題意；綜上，b的取值范圍為：2≤b≤2或﹣2≤b≤﹣2或4≤b≤4或﹣4≤b≤﹣4．17．定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段能把該三角形分成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的智慧線，這個(gè)三角形叫做智慧三角形．（1）如圖1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD為該三角形的智慧線，CD＝1，AC＝，則BD長為2，∠B的度數(shù)為45°．（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F(xiàn)是斜邊BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AF，以AF為直角邊作等腰直角三角形AFE（點(diǎn)A，F(xiàn)，E按順時(shí)針排列），∠EAF＝90°，AE交BC于點(diǎn)D，連結(jié)EC，EB．當(dāng)∠BDE＝2∠BCE時(shí)，求證：ED是△EBC的智慧線．（3）如圖3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝．若△BCD是智慧三角形，且AC為智慧線，求△BCD的面積．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵CD＝1，AC＝，∴AD＝＝＝2，∵△ABC是智慧三角形，∴△ADB是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝2，∠B＝45°，故答案為：2，45°（2）證明：如圖2中，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝135°，∴∠EBD＝90°，∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形，∵△EDB是直角三角形，∴△BEC是智慧三角形；（3）解：如圖3中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．有兩種情形：當(dāng)CD⊥BD時(shí)，或當(dāng)CD′⊥AC時(shí)，△BCD，△BCD′是智慧三角形．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝2，∴AH＝＝＝，∵S△ABC＝?BC?AH＝?AB?CD，∴CD＝＝4，∴AD＝＝＝3，∴S△BCD＝?BD?CD＝×8×4＝16，∵∠ACD′＝90°，∠ADC＝∠CDD′＝90°，∴∠ACD+∠DCD′＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠DCD′，∴△ADC∽△CDD′，∴＝，∴＝，∴DD′＝，∴BD′＝BD+DD′＝8+＝，∴S△CBD′＝××4＝，解法二：設(shè)CD′＝x，DD′＝y(tǒng)，則有，解得，可得S△CBD′＝××4＝，綜上所述，滿足條件的△BCD的面積為16或．18．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE＝BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，求出△ABC的面積．應(yīng)用：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE＝BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE＝OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB＝S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，∴S四邊形CDOF＝S矩形ABCD﹣2S△ABF＝4×6﹣2××4×3＝12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD＝S△BCD．∴AD＝BD＝AB＝4，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD＝A′D＝AB＝×8＝4，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，∴DO＝OB，A′O＝CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC＝A′D＝4，過B作BM⊥AC于M，∵AB＝8，∠BAC＝30°，∴BM＝AB＝4＝BC，即C和M重合，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC＝＝4，∴△ABC的面積是×BC×AC＝×4×4＝8；②如圖2，∵S△ACD＝S△BCD．∴AD＝BD＝AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD＝A′D＝AB＝×8＝4，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，∴DO＝OA′，BO＝CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C＝BD＝4，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C＝4，∠DA′C＝∠BAC＝30°，∴CQ＝A′C＝2，∴S△ABC＝2S△ADC＝2S△A′DC＝2××A′D×CQ＝2××4×2＝8；即△ABC的面積是8或8．19．定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝20°；（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，①求證：△BDC是“近直角三角形”；②在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的圓交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的長．解：（1）∠B不可能是α或β，當(dāng)∠A＝α?xí)r，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°，故答案為20；（2）①如圖1，設(shè)∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝4，則BC＝5，則∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，則CE＝4﹣＝；（3）①如圖2所示，連接DE，當(dāng)∠ACB+2∠DBC＝90°時(shí)，又∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠DBC＝β，∴AD＝DE，∵BD是直徑，∴∠BAD＝∠BED＝90°，∴∠ADB＝∠BDE，∴AB＝BE，∴BD垂直平分AE，∴BF＝＝＝4，∵∠DAE＝∠DBE＝∠ABD，∠AFD＝∠AFB＝90°，∴△ADF∽△BAF，∴＝，∴＝，∴AD＝；②如圖3所示，當(dāng)2∠C+∠DBC＝90°時(shí)，又∵∠DBC+∠C+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C＝β，過點(diǎn)A作AH⊥BE交BE于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)G，則點(diǎn)G是圓的圓心（BE的中垂線與直徑的交點(diǎn)），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，∴AE＝AB＝5，∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，則AF：EF＝AG：DE＝3：2，則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，則GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝＝2k，∵AG＝3k，GH＝k，∴AH＝4k，∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，∴∠C＝∠BAH，∴tanC＝tan∠BAH＝tan∠ABD＝＝，∴，∴AD＝，綜上所述：AD的長為或．20．愛好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，c＝時(shí)，a＝4，b＝4；如圖2，當(dāng)∠PAB＝30°，c＝2時(shí)，a2+b2＝20；【歸納證明】（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．【拓展證明】（3）如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD＝3，AB＝3，求AF的長．解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，則PA＝PB＝c＝4，∵M(jìn)、N分別為CB、CA的中點(diǎn)，∴MN＝AB＝2，MN∥AB，∴△APB∽△MPN，∴＝＝＝，∴PM＝PN＝2，∴BM＝＝2，∴a＝2BM＝4，同理：b＝2AN＝4，如圖2，連接MN，在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，∴PB＝c＝1，∴PA＝＝，∴PN＝，PM＝，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝，b＝，∴a2+b2＝20，故答案為：4；4；20；（2）a2+b2＝5c2，理由如下：如圖3，連接MN，設(shè)PN＝x，PM＝y(tǒng)，則PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝2，b＝2，∴a2+b2＝20（x2+y2），∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），∴a2+b2＝5c2；（3）取AB的中點(diǎn)H，連接FH并延長交DA的延長線于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AHP∽△BHF，∴＝＝1，∴AP＝BF，∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，∴AE＝BF＝，∴PE＝FC，∴四邊形PFCE為平行四邊形，∵BE⊥CE，∴BG⊥FH，∵AE∥BF，AE＝BF，∴AG＝GF，∴△ABF為“中垂三角形”，∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（）2，解得：AF＝4．21．定義：若△ABC中，其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的一半，則稱△ABC為“半角三角形”．（1）若Rt△ABC為半角三角形，∠A＝90°，則其余兩個(gè)角的度數(shù)為45°，45°或30°，60°．（2）如圖1，在?ABCD中，∠C＝72°，點(diǎn)E在邊CD上，以BE為折痕，將△BCE向上翻折，點(diǎn)E恰好落在AD邊上的點(diǎn)F，若BF⊥AD，求證：△EDF為半角三角形；（3）如圖2，以△ABC的邊AB為直徑畫圓，與邊AC交于M，與邊BC交于N，已知△ABC的面積是△CMN面積的4倍．①求證：∠C＝60°．②若△ABC是半角三角形，直接寫出∠B的度數(shù)．解：（1）∵Rt△ABC為半角三角形，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°，∴其余兩個(gè)角的度數(shù)為45°，45°或30°，60°，故答案為45°，45°或30°，60°．（2）如圖1中，∵平行四邊形ABCD中，∠C＝72°，∴∠D＝108°，由翻折可知：∠EFB＝72°，∵BF⊥AD，∴∠EFD＝18°，∴∠DEF＝54°，∴∠DEF＝∠D，即△DEF是半角三角形．（2）①如圖2中，連接AN．∵AB是直徑，∴∠ANB＝90°，∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B，∴△CMN∽△CBA，∴（）2＝，即＝，在Rt△ACN中，sin∠CAN＝＝，∴∠CAN＝30°，∴∠C＝60°．②∵△ABC是半角三角形，∠C＝60°，∴∠B＝30°或40°或80°或90°．22．定義：若兩個(gè)三角形有一對(duì)公共邊，且另有一組對(duì)應(yīng)邊和一對(duì)對(duì)應(yīng)角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形稱為鄰等三角形．例如：如圖1，△ABC中，AD＝AD，AB＝AC，