對(duì)面積的曲面積分

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一、概念的引入實(shí)例

所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面,且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí),切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,其中,

表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).

二、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)1.定義注意：

1.若曲面是閉曲面，記為

2.被積函數(shù)在曲面上是一個(gè)二元函數(shù)；

3.曲面的面積：?線性性質(zhì).2.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)則對(duì)面積的曲面積分存在.在光滑曲面

上連續(xù),?積分的存在性.

?對(duì)積分域的可加性.則有若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面?對(duì)稱性.見(jiàn)BOOKP454三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法則按照曲面的不同情況分為以下三種：注意：為什么要求投影必須無(wú)重影呢？則則例1解例2.

計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:例3.

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示

在平面解概括為：投：將積分曲面投影到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)面上(如xoy面)

（要求無(wú)重影）一投、二代、三換

對(duì)面積的曲面積分計(jì)算法小結(jié)代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，如然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)換：將曲面的微元換成投影面上的面積微元形式，如解依對(duì)稱性知：練習(xí)：解（左右兩片投影相同）例6.

已知曲面殼求此曲面殼在平面z＝1以上部分

的的面密度質(zhì)量M.

解:

在xoy

面上的投影為

故解:例8.計(jì)算其中

是球面利用對(duì)稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)1.

設(shè)一卦限中的部分,則有().(2000考研)思考

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