大學(xué)物理課件：動力學(xué)基本定理與守恒定律

動力學(xué)基本定理與守恒定律一、理解動量、沖量等概念，掌握動量定理、動量守恒定律及其應(yīng)用；三、掌握保守力作功特點及勢能、變力功的計算；四、掌握動能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律，及運(yùn)用守恒定律分析問題的方法；五、了解完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的特點；教學(xué)基本要求：二、理解角動量等概念，掌握角動量定律、角動量守恒定律及其應(yīng)用；六、了解質(zhì)心運(yùn)動定律；3.1.1沖量質(zhì)點動量定理動量(momentum):(1)

1.沖量(impulse)3.1動量定理及動量守恒定律質(zhì)點動量定理：給定時間間隔內(nèi)，合力作用于質(zhì)點的沖量等于質(zhì)點在該時間間隔內(nèi)動量的增量.(2)故(1)式可寫為：定義沖量：力對時間的積累2.質(zhì)點的動量定理注意：由于推導(dǎo)過程應(yīng)用了牛頓第二定律，故動量定理僅適用于慣性系！3.沖量的分量形式(3)在直角坐標(biāo)系有：4.碰撞問題與平均沖力(4)例如人從高處跳下、飛機(jī)與鳥相撞、打樁等碰撞事件中，作用時間很短，沖力很大.則的值越大！一定時，越小，注意：解：建立慣性系，取球為研究對象，由動量定理得：例1：質(zhì)量、速率為0.05kg、10m·s-1的剛球,以與鋼板法線呈45o角方向撞擊板上,以相同的速率和角度彈回.設(shè)碰撞時間為0.05s.求此時間間隔內(nèi)鋼板所受平均沖力

.(2)(1)鋼板受到的平均沖力為鋼球受到平均沖力的反作用力！故所求結(jié)果為：(3)討論：人從兩米高處跳下，沖力可達(dá)體重的200倍!1.如何避免沖力的危害？！

2.如何利用沖力效應(yīng)？！看出：如果沖量一定，沖力與作用時間間隔成反比！故有結(jié)論：1.避免沖力危害：利用緩沖增加作用，減小沖力；2.利用沖力效應(yīng)：利用快速作用減小，增加沖力；

例題3.1.1飛鳥對飛機(jī)的碰撞是威脅航空安全的重要因素之一，為避免此類事故的發(fā)生，機(jī)場通常都配備專門的驅(qū)鳥設(shè)施。設(shè)飛機(jī)以

的速率正常航行，不幸與質(zhì)量、身長

的飛鳥相撞，試計算所產(chǎn)生的撞擊力。解：分析選地面慣性系，由質(zhì)點動量定理可求。相對飛機(jī)撞擊前飛鳥的速度可忽略不計（初態(tài)），故兩者撞擊產(chǎn)生的沖力即為撞擊力，設(shè)撞擊后飛鳥粉碎性傷亡，故可認(rèn)為其緊貼機(jī)身并與飛機(jī)同速（末態(tài)），則撞擊時間為：(1)故飛鳥受到平均沖力的值為:由牛頓第三定律可知飛鳥作用于飛機(jī)的平均沖力為:由質(zhì)點動量定理得:(2)(3)(4)例題3.1.2冰壺又稱“冰上溜石”，是一項傳統(tǒng)技巧運(yùn)動，1998年長野冬奧會上被列為正式比賽項目。設(shè)質(zhì)量約20kg的冰壺在冰面上穩(wěn)定滑動，

時冰壺靜止于坐標(biāo)原點，在水平力

的作用下運(yùn)動3s，不計冰壺轉(zhuǎn)動，試求其末速。解：由題意不計冰壺轉(zhuǎn)動，故可將其視為質(zhì)點，設(shè)冰面水平并選其為慣性系，坐標(biāo)原點位于冰面上，由題意已選平面直角坐標(biāo)系，由質(zhì)點動量定理可解。冰球靜止，即有：故：冰球末速：(1)(2)(3)0.質(zhì)點系：相互有聯(lián)系的質(zhì)點組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間的相互作用叫內(nèi)力（internalforce）；系統(tǒng)外質(zhì)點對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點的作用叫外力（externalforce）。性質(zhì)1.內(nèi)力的和恒為零；性質(zhì)2.內(nèi)力矩的和恒為零；3.1.2質(zhì)點系動量定理和質(zhì)點系動量守恒定律例：設(shè)有兩個質(zhì)點的質(zhì)點系；分別對應(yīng)內(nèi)力、外力，于是對單個質(zhì)點應(yīng)用質(zhì)點動量定理得到：因為對于內(nèi)力有：其中：分別為外力、內(nèi)力；對于該質(zhì)點系有：作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)

動量的增量，內(nèi)力無貢獻(xiàn)。(a)(b)故有：質(zhì)點系動量定理:作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量，內(nèi)力無貢獻(xiàn)。(4)可寫為：將以上結(jié)論推廣到一般情況得到質(zhì)點系動量定理；(5)由質(zhì)點系動量定理：此即質(zhì)點系動量守恒定律(lawofconservationofmomentum)。令質(zhì)點系所受合外力為零：

可得系統(tǒng)的總動量守恒：(1)(2)2.質(zhì)點系動量守恒定律3.若合外力沿某方向投影為零,該方向分動量守恒；

2.守恒條件是合外力為零：但當(dāng)

時，可略去外力作用近似取系統(tǒng)動量守恒，以擴(kuò)大其應(yīng)用范圍；

1.系統(tǒng)動量守恒指其總動量不變，但系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點的動量可變，且各質(zhì)點的動量必相對同一慣性系；注意：

4.動量守恒定律只在慣性系中成立,是自然界最普遍、最基本的定律之一.

例3.1.3

返回式火箭以2.5

103m·s-1的速率相對慣性系沿水平方向飛行?，F(xiàn)使質(zhì)量100kg的儀器艙脫離，已知后方的返回艙質(zhì)量200kg.若前者相對后者的水平速率為1.0

103m·s-1.空氣阻力不計，試求兩者相對慣性系的速度.解：分析受合外力為零系統(tǒng)動量守恒，用絕對速度；有慣性系，設(shè)返回艙為慣性系，有：(3)(1)(0)則：(2)初態(tài)已知量：末態(tài)待求量：

，；例題3.1.3

設(shè)在光滑的水平面上有質(zhì)量

、長

的小車，如圖3.2所示車上一端有質(zhì)量

的少年，起初小車和少年均靜止，若少年從車的一端走到另一端時，試求解少年與車相對地面運(yùn)動的距離

。解：以車、少年為質(zhì)點系，地面為慣性系，此系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，故在此方向質(zhì)點系動量守恒:因少年、小車在同一方向上做直線運(yùn)動，故可寫為標(biāo)量式:即有：

兩邊對時間積分得:(1)(2)(3)于是：又因：由以上兩式得：(4)(5)(6)1.質(zhì)點的角動量設(shè)質(zhì)量m速度，位矢的質(zhì)點，其相對原點O的角動量為：方向：右手法則.(1)3.2.1質(zhì)點角動量定理3.2角動量定理及角動量守恒定律例：質(zhì)點以角速度作半徑為的圓周運(yùn)動，相對圓心的角動量：z2.質(zhì)點角動量定理(2)質(zhì)點角動量定理：作用于質(zhì)點的合力對參考點O

的力矩，等于質(zhì)點對該點的角動量隨時間的變化率.質(zhì)點角動量定理：對同一參考點O

，質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量.(3)沖量矩：3.2.2質(zhì)點角動量守恒定律質(zhì)點角動量守恒定律：質(zhì)點所受對參考點O

的合力矩為零時，質(zhì)點對該參考點O

的角動量為一恒矢量.(4)恒矢量例：若選太陽中心為參考點，行星受太陽萬有引力對參考點的力矩為零，故八大行星對太陽中心角動量守恒！于是均恒在固定平面內(nèi)沿同方向運(yùn)動。z例題3.2.1地球同步衛(wèi)星為運(yùn)行在地球同步軌道上的人造衛(wèi)星。在地球同步軌道上布設(shè)3顆通訊衛(wèi)星，可實現(xiàn)除兩極以外的全球通訊。該類衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)同向，其運(yùn)行軌道為位于地球赤道平面上的圓形軌道，距地心約，其運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等。設(shè)

1

顆地球同步衛(wèi)星的質(zhì)量

，試計算該衛(wèi)星相對地心的角動量。解：分析取地心為慣性系且又為坐標(biāo)原點，設(shè)時刻該衛(wèi)星的位矢

、速度

，于是可得：其中:帶入數(shù)據(jù)解得：角動量的方向垂直于衛(wèi)星相對地心的

與

確定的平面.故角動量的大小為:z例題3.2.2哈雷彗星繞太陽的運(yùn)行軌跡為橢圓曲線，如圖所示設(shè)太陽位于橢圓的一個焦點，哈雷彗星距太陽的最近距離

，對應(yīng)速率

，距太陽最遠(yuǎn)時速率為

，求該彗星距太陽的最遠(yuǎn)距離。解：分析由于彗星繞太陽公轉(zhuǎn)過程相對其中心所受力矩為零，故相對中心彗星角動量守恒：即有：即該彗星距太陽的最遠(yuǎn)距離為：.彗星距太陽最近、最遠(yuǎn)處有：解得：例題3.2.3

開普勒第二定律也稱面積定律，即相等時間內(nèi)太陽與繞其運(yùn)動行星的連線所掃過的面積相等。試應(yīng)用角動量守恒定律證明該定律。解：分析

設(shè)行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運(yùn)行，太陽位于橢圓軌道的一個焦點。由于引力方向總是指向太陽中心，故行星所受引力對中心力矩為零，故行星相對中心角動量守恒：

的方向不變說明由

和

所決定平面的方位不變，即行星總在同一個平面內(nèi)運(yùn)動!行星對該中心角動量的大小為：其中：代入上式可得：于是位矢在單位時間內(nèi)掃過的面積為：即在相等的時間內(nèi)，太陽與繞其運(yùn)行行星的連線所掃過的面積相等！1.功(work)

：力對質(zhì)點作的功為力與質(zhì)點位移的點

乘積，功是標(biāo)量和過程量。元功為：B**A(1)討論：3.3動能定理及機(jī)械能守恒定律3.3.1功功率(2)(3)可證：合力的功=

分力功的代數(shù)和。(4)有關(guān)功的問題：(1).功與參照系有關(guān)；

(2).功的量綱：2.

瞬時功率：

功率的單位（瓦特）例題3.3.1農(nóng)場工人從10.0m深的井中提水，初始桶中裝有10.0kg的水，由于水桶漏水，提到井口時剛好全部漏完。試求水桶勻速提到井口，工人對于桶內(nèi)的水所作的功解：分析

取豎直向上為y軸正向，坐標(biāo)原點位于井內(nèi)水面處。桶內(nèi)的水的質(zhì)量因漏水隨提升高度而變，因此本題為變力做功問題。水桶在勻速上提過程中，工人對桶內(nèi)水的拉力等于桶中水的重力，而水的重力隨其位置變化關(guān)系為

，其中

，故工人對于桶內(nèi)的水所作的功為：1.質(zhì)點動能定理(1)(2)又有：3.3.2動能定理ABθ由自然坐標(biāo)系求功：

3.動能為狀態(tài)函數(shù)，功是過程量：(4)1.功、動能與參考系有關(guān)；2.該定理僅適用于慣性系；質(zhì)點動能定理：

合力對質(zhì)點作的功，等于質(zhì)點動能的增量。

(3)注意例題3.3.2

質(zhì)量10kg的物體作直線運(yùn)動所受力與坐標(biāo)關(guān)系如圖所示，

時

，試

求

處物體速度的大小。上式表示功的大小等于力

與

軸所圍面積，故得：由動能定理：最終解得：解：分析由動能定理可解。由圖知到合力的功為：注意初、末態(tài)：

1.選擇對象及慣性系，受力分析；

2.計算合力功，定初、末態(tài)；

3.由定理列方程；

4.求解討論；應(yīng)用動能定理求解步驟：2.質(zhì)點系動能定理

2.對整個質(zhì)點系有：1.對第個質(zhì)點應(yīng)用質(zhì)點動能定理：考慮n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：3.質(zhì)點系動能定理:

(1)1.作用于質(zhì)點系所有力之總功等于系統(tǒng)動能增量；2.作用于質(zhì)點系內(nèi)、外力功之和等于系統(tǒng)動能增量；質(zhì)點系動能定理可表述為:1.每一質(zhì)點受力作功的總和＝內(nèi)、外力功的總和；2.內(nèi)力對質(zhì)點系動能的改變有貢獻(xiàn)；注意1.萬有引力以

為參考系、

位置矢量為，對

的萬有引力為：設(shè)：m由A點沿其軌跡移動到B點，則作功為：(1)3.3.3保守力與勢能(2)(a)AB2.重力(3)(4)(5)3.彈性力(6)(7)(8)4.保守力與非保守力引力功：(1)重力功：(2)彈力功：(3)b.保守力的功:a.保守力:所作功與路徑無關(guān)，僅決定于相互作用質(zhì)點的始末相對位置，此類力稱為保守力。c.保守力判據(jù)：保守力判據(jù)：設(shè)有一閉合路徑如圖所示，則對于保守力來說有：物體沿任意閉合路徑運(yùn)動一周時,

保守力對其所作的功為零！以此可作為保守力或非保守力的判據(jù)。

(4)d.非保守力:所作功與路徑有關(guān)；結(jié)論：5.勢能a.勢能:與物體間相互作用及相對位置有關(guān)的能量；彈性勢能：引力勢能:重力勢能:彈力功:引力功:重力功:定義：(5)2.勢能具有相對性，其表達(dá)式與勢能零點選取有關(guān)；1.勢能是狀態(tài)函數(shù):3.勢能是屬于系統(tǒng)的物理量；注意：4.勢能計算：(6)(7)彈性勢能曲線重力勢能曲線引力勢能曲線例題3.10從地球表面發(fā)射質(zhì)量

的探測飛船，試求能使飛船脫離地球引力成為人造行星所需最小初速度。解:分析選飛船為研究對象取地球中心為坐標(biāo)原點，設(shè)地球為勻質(zhì)球體，飛船從初始位置

運(yùn)動到終態(tài)位置

的過程中，萬有引力的功為：考慮到所求為最小發(fā)射初速度，故

時，飛船的速率：(1)由動能定理得：解得：飛船在地球表面時：故得：(2)(3)1.質(zhì)點系功能原理由質(zhì)點系動能定理：

因為有：又有：令機(jī)械能：(1)3.3.4功能原理機(jī)械能守恒定律2.機(jī)械能守恒定律

機(jī)械能守恒定律:

只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系的機(jī)械能保持不變.當(dāng)時，有：(2)(3)

質(zhì)點系功能原理:質(zhì)點系機(jī)械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和.由功能原理:a.守恒定律(1)質(zhì)點動能定理質(zhì)點系動能定理質(zhì)點系功能原理機(jī)械能守恒定律；忠告：應(yīng)用物理解決工程問題的工程技術(shù)人員，聰明的做法是，優(yōu)先考慮守恒定律，然后才是其他。b.守恒定律的特點:不追究過程細(xì)節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是守恒定律的特點和優(yōu)點。回顧推導(dǎo)過程：例題3.11

設(shè)加農(nóng)榴彈炮發(fā)射質(zhì)量

的炮彈，且以初速度

做斜拋運(yùn)動如圖所示，試分別應(yīng)用質(zhì)點動能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律求其上升最大高度。解：分析由質(zhì)點動能定理知合力功等于質(zhì)點動能的

增量，于是得:解得:(1)(2)解：分析由功能原理知質(zhì)點系機(jī)械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和.取炮彈、地球為質(zhì)點系，坐標(biāo)原點為零勢點，于是可得：解得：(3)(4)解：取炮彈、地球為質(zhì)點系，坐標(biāo)原點為零勢點，由于：解得：故機(jī)械能守恒：即有：3.3.4功能原理機(jī)械能守恒定律(5)(6)(7)4.完全非彈性碰撞：兩物體碰撞后以同一速度運(yùn)動.系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能不守恒；1.碰撞：兩物體作用時間極短而作用力較大的相互作用.一般有：2.完全彈性碰撞：碰撞前后機(jī)械能守恒，系統(tǒng)動量守恒；3.非彈性碰撞：由于非保守力作用，碰撞后機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能等其他形式的能量.系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能不守恒；3.3.5

完全彈性碰撞與完全非彈性碰撞A.碰撞現(xiàn)象特點：1.碰撞作用力較大，可不計外力影響；2.相互作用時間間隔較?。籅.碰撞分類：1.完全彈性碰撞：系統(tǒng)動量、機(jī)械能均守恒；2.完全非彈性碰撞：系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能不守恒；3.非彈性碰撞：系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能不守恒；例題3.12如圖所示長

的細(xì)繩子一端系著質(zhì)量

的鋼球，另一端固定于

點?，F(xiàn)把繩拉至水平位置后將鋼球由靜止釋放，鋼球在最低點和質(zhì)量的靜止鋼塊發(fā)生完全彈性碰撞后反彈，求碰撞后鋼球回彈的高度。解：由鋼球、地球組成的系統(tǒng)在鋼球下擺過程機(jī)械能守恒，選鋼球最低位置為重力勢能零點，鋼球到達(dá)最低位置時速率為：則有：設(shè)鋼球、鋼塊碰撞后速度大小分別為：

、兩者完全彈性碰撞過程動量守恒、機(jī)械能守恒：設(shè)碰撞后鋼球回彈高度，取其最低點為零勢點，由機(jī)械能守恒定律得：故得：討論若在上題中與鋼球碰撞的是質(zhì)量

靜止的粘土塊，碰撞后粘在鋼球上與其一起運(yùn)動，則又能擺起多高？3.3.5完全彈性碰撞與完全非彈性碰撞解：同上題鋼球到達(dá)最低位置有：鋼球和粘土塊完全非彈性碰撞，設(shè)兩者碰撞后速率，根據(jù)動量守恒定律得：兩者碰撞后繼續(xù)上擺的過程，粘土塊、鋼球及地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則：則有：亥姆霍茲（1821—1894），德國物理學(xué)家和生理學(xué)家，能量守恒定律的創(chuàng)立者之一.于1874年發(fā)表《論