專題73銳角三角函數(shù)（全章分層練習）（提升練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（蘇科版）

專題7.3銳角三角函數(shù)（全章分層練習）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2018上·吉林長春·九年級階段練習）計算：的結(jié)果等于（

）A． B．1 C． D．2．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，，若，，則cosA的值為A． B． C． D．3．（2023上·福建莆田·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點是延長線上的一點，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023上·河南南陽·九年級?？计谀┤鐖D，已知點P在格點△ABC的外接圓上，連接PB、PC，則tan∠BPC的值為（

）A． B． C． D．25．（2023上·陜西西安·九年級校聯(lián)考期中）如圖，每個小正方形的邊長均為1，若點，，都在格點上，則的值為（

）

A． B． C． D．6．（2016·湖北荊州·中考真題）如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′O′B．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，則k的值為（）A．3 B．4 C．6 D．87．（2020上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，則竹竿AD與AB的長度之比為（）A． B． C． D．8．（2019上·九年級單元測試）如圖，一棵大樹被臺風攔腰刮斷，樹根A到刮斷點P的長度是4m，折斷部分PB與地面成40°的夾角，那么原來樹的長度是（

）.A．4＋米 B．4＋米 C．4＋4sin40°米 D．4＋4cot40°米9．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，對角線交于點O，交延長線于點M，若，，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2023上·山西長治·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，第24屆國際數(shù)學家大會會徽的設(shè)計是1700多年前的中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若每個直角三角形的兩條直角邊長分別為5，12，直角三角形的較小的銳角為，則的值是（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2019下·重慶·八年級重慶市鳳鳴山中學?？计谥校┯嬎悖?12．（2020·四川自貢·校考一模）在中，若，，都是銳角，則是三角形．13．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚波中學校考期中）如圖，在平行四邊形中，，垂足為E，如果，，，那么．

14．（2022·遼寧沈陽·沈陽市外國語學校校考一模）如圖，在斜坡AB上有一棵樹BD，由于受臺風影響而傾斜，恰好與坡面垂直，在地面上C點處測得樹頂部D的仰角為60°，測得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．則樹高BD=．15．（2023上·上海閔行·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，邊的垂直平分線交邊于點D，交邊于點E，連結(jié)，那么的值是．16．（2019·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬AD是6米，壩高4米，背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1:0.5，那么壩底寬BC是米.17．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=．18．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）如圖，矩形的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，對角線軸，交y軸于點D．若矩形的面積是6，，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·山東泰安·九年級統(tǒng)考期中）計算（1） （2）20．（8分）（2023上·上海閔行·九年級校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，，，是邊上的中線．

（1）求的面積；（2）求的余切值．21．（10分）（2021·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）在“綜合與實踐”活動中，某校九年級數(shù)學小組采用無人機輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋AB是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控無人機飛到橋AB的上方100m的點C處懸停，此時測得橋兩端A，B兩點的俯角分別為30°和45°，求橋AB的長度．（結(jié)果保留根號）22．（10分）（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為點B．（1）求m的值；（2）點M是函數(shù)圖象上一動點，過點M作于點D，若，求點M的坐標．23．（10分）（2022·浙江·九年級專題練習）把矩形紙片ABCD，先沿AE折疊使點B落在AD邊上的B'，再沿AC折疊，恰好點E也落到AD上，記為E'．（1）求∠B'EE'的度數(shù)；（2）求∠DAC的正切值．24．（12分）（2018下·四川成都·九年級成都外國語學校階段練習）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=；AC=；（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船在C處測得釣魚島A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時漁政船距釣魚島A的距離AB．參考答案：1．B解：=.故選B．2．A【分析】根據(jù)cosA=，代入數(shù)值即可得出.解：在Rt△ABC中，∵∴cosA==.【點撥】此題主要考查三角函數(shù)的定義.3．D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，，繼而得到，即可求解．解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D【點撥】本題主要考查了解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】過點C作AB的垂線于點D，利用網(wǎng)格圖表示出AD和CD，再利用銳角三角函數(shù)的定義求出，然后利用圓周角定理求解．解：過點C作AB的垂線于點D，如下圖.∴，，∴．∵點P在格點△ABC的外接圓上，∴，∴．故選：A．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理．作出輔助線，求出是解答關(guān)鍵．5．A【分析】連接，得到，再利用勾股定理求出，的長，即可求出最后結(jié)果．解：如圖，連接，

則，，，故選：A．【點撥】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，利用勾股定理求出邊長是解答本題的關(guān)鍵．6．C解：設(shè)點C坐標為（x，y），作CD⊥BO′交邊BO′于點D，∵tan∠BAO=2，∴，∵S△ABO=?AO?BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵點C為斜邊A′B的中點，CD⊥BO′，∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，∴x=BO－CD=4－1=3，y=BD=2，∴k=x?y=3×2=6．故選C．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意，作出合適的輔助線，求出點C的坐標，然后根據(jù)點C的橫縱坐標之積等于k值求解即可．7．C【分析】先在Rt△ABC和Rt△ADC中，求出AB＝、AD＝，再求長度之比即可．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故選：C．【點撥】本題考查銳角的三角函數(shù)、解直角三角形的應(yīng)用，借助中間參數(shù)AC，利用正弦函數(shù)的定義求解是解答的關(guān)鍵．8．B【分析】原來樹的長度是（PB＋PA）的長．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根據(jù)∠PBA的度數(shù)，通過解直角三角形求出PB的長．解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4；∴PB＝PA÷sin40°＝；∴PA＋PB＝4＋．故選：B．【點撥】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，能夠熟練運用三角形的邊角關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】先利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出長，然后推導出，則有，可以求出和長，然后在中秋出余弦值即可．解：∵是矩形，∴，，，，∴，∴又∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，，∴，∴，故選D．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，然后再根據(jù)正弦的定義即可解答；運用勾股定理求得斜邊是解題的關(guān)鍵．解：∵每個直角三角形的兩條直角邊長分別為5，12，∴每個直角三角形的斜邊長為，∵直角三角形的較小的銳角為，∴，故選：C．11．【分析】先化簡二次根式，計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值，再計算加減可得．解：＝，故答案為：．【點撥】本題主要考查實數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)的混合運算順序和運算法則等知識點．12．等邊【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷的形狀．解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等邊三角形．故答案為：等邊．【點撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．13．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四邊形的性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊證得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，則，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案為：．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證明是解答的關(guān)鍵．14．（2+4）米/（4+）米【分析】過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等邊三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的長；然后解Rt△DMN求得DN的長即可解答.解：如圖，過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等邊三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°，∴DN=MN?tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案為：（+4）米.【點撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．15．/【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，設(shè)，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出，由勾股定理得到，求出，因此，根據(jù)即可求出．解：設(shè)，則，垂直平分，∴，，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．16．10【分析】直接利用坡比的定義得出BE，F(xiàn)C的長，進而求出答案．解：過點A作AE⊥BC，DF⊥BC，由題意可得：AD=EF=6m，AE=DF=4m，∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，∴BE=FC=2m，∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m）．故答案為10．【點撥】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出BE，F(xiàn)C的長是解題關(guān)鍵．17．【分析】過B點作BE//AD交AC于點E，證明，得到再證明利用設(shè)利用三角形的面積公式可得答案．解：過B點作BE//AD交AC于點E，BE⊥AD，，∴∴由，∴設(shè)則故答案為：18．//【分析】過A作軸于M，、則

，先根據(jù)矩形性質(zhì)求得，，再根據(jù)余弦定義得到，證明求得，利用求解k值即可．解：過A作軸于M，、則

，

∵四邊形是矩形，面積是6，∴，，∵，∴，∵軸，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)求得的面積是解答的關(guān)鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計算可得到結(jié)果；（2）利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的運算法則即可計算得到結(jié)果．解：（1）；（2）．【點撥】本題考查實數(shù)的運算以及特殊三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．20．（1）42；（2）【分析】本題考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，三角形中位線定理．（1）作，垂足為點H．先由，可設(shè)，那么，根據(jù)勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根據(jù)，列出關(guān)于x的方程，解方程求出，得到，然后根據(jù)的面積即可求解；（2）作，垂足為點M．先由，得到，由D為中點，得出M為的中點，由三角形中位線定理得出，則，然后在直角中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出的余切值．（1）解：過點C作，點H為垂足，在中，，

是等腰直角三角形，，在中，，，，設(shè)，則，，，，解得，，；（2）解：過點D作，點M為垂足，

，，，D為中點，，由（1）知：，，，在中，，．21．【分析】過C地點作交AB于D點，根據(jù)橋兩端A，B兩點的俯角分別為30°和45°，可得，，利用特殊角的三角函數(shù)求解即可．解：如圖示：過C點作交AB于D點，∵EF∥AB，∴，，在Rt△ADC中，∴m，在Rt△BDC中，∴m，∴m．【點撥】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．22．（1）24；（2）M點的坐標為【分析】（1）根據(jù)交點坐標的意義，求得點P的橫坐標，利用k=xy計算m即可；（2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.解：（1）∵點P縱坐標為4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，設(shè)，則，當M點在P點右側(cè)，∴M點的坐標為，∴（6+2t）（4t）=24，解得：，（舍去），當時，，∴M點的坐標為，當M點在P點的左側(cè)，∴M點的坐標為，∴（62t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．綜上，M點的坐標為．【點撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點的意義，靈活運用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準確解答是解題的關(guān)鍵．23．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可證明四邊形ABEB'為正方形．△AEE'為等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，進而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；（2）設(shè)正方形ABEB'的邊長為a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．（1）解：由折疊性質(zhì)可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAB'＝90°，∴四邊形ABEB'為矩形，又∵AB＝AB'，∴四邊形ABEB'為正方形，∴