專題06：三角形求角度模型之三角形內(nèi)外角平分線交角-2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練(一)

專題06:第2章三角形求角度模型之三角形內(nèi)外角平分線交角

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.如圖，在^A8C中，/A=70°,如果NA8C與NAC5的平分線交于點(diǎn)。，那么

度.

2.如圖，在AABC中，ZABC=80°,ZACB=50°,BP平分NABC,C尸平分Z4C8,貝I」ZBPC=,

3.(2018育才單元考)如圖，在AABC中，NA8C和NACD的角平分線交于點(diǎn)力一得乙"，NA|BC和

4c。的角平分線交于點(diǎn)A?,得4h，........ZA“T8C和ZA,iC￡＞的角平分線交于點(diǎn)A“，得NA”

(1)若ZA=80°,則NA=，/4=，/4=

(2)若ZA-nf,貝!JZA2O15=

BD

4.如圖，在△ABC中，NA=60。，BD、CD分別平分NABC、ZACB,M、N、Q分別在DB、DC、BC的

延長(zhǎng)線上，BE、CE分別平分/MBC、ZBCN,BF、CF分別平分NEBC、ZECQ,則NF=.

二、解答題

5.在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度是另外一個(gè)內(nèi)角角度的n倍(n為大于1的正整數(shù))，則稱△ABC為

n倍角三角形.例如，在△ABC中，/A=80。，/B=75。，ZC=25°,可知/B=3/C,所以△ABC為3

倍角三角形.

(1)在△ABC中，ZA=80°,NB=60。，則△ABC為倍角三角形；

(2)若銳角三角形MNP是3倍角三角形，且最小內(nèi)角為a,請(qǐng)直接寫出a的取值范圍為.

(3)如圖，直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)0,點(diǎn)A在射線0P上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)A不與點(diǎn)0重合)，點(diǎn)B在

射線0M上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合).延長(zhǎng)BA至G,已知NBA。、/0AG的角平分線與/B0Q的角平

分線所在的直線分別相交于E、F,若△AEF為4倍角三角形，求NAB0的度數(shù).

6.在AABC中，已知NA=a.

（1）如圖1,NABC、N4CB的平分線相交于點(diǎn)￡>.求NBDC的大?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,若NA8C的平分線與/ACE的平分線交于點(diǎn)E求N2FC的大小（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）的條件下，將APBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到AGBC,/GBC的平分線與NGCB的平分

線交于點(diǎn)M（如圖3）,求/BMC的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

7.如圖1,△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F.

（1）若/A=40。，則NF的度數(shù)為；

（2）如圖2,過點(diǎn)F作直線MN〃BC,交AB,AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,N,若設(shè)/MFB=a,ZNFC=p,則/A

與a+P的數(shù)量關(guān)系是:

（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng).

①如圖3,當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索/A與a,|3之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問①中/A與a,。之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明

理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

8.（1）如圖1所示，BD,CD分別是△ABC的內(nèi)角NABC,/ACB的平分線，試說明：ZD=90°+—ZA.

2

D

B,

D

（2）探究，請(qǐng)直接寫出下列兩種情況的結(jié)果，并任選一種情況說明理由：

①如圖2所示，BD,CD分別是△ABC兩個(gè)外角NEBC和NFCB的平分線，試探究NA與ND之間的等量

關(guān)系；

②如圖3所示，BD,CD分別是△ABC一個(gè)內(nèi)角/ABC和一個(gè)外角/ACE的平分線，試探究/A與/D之

間的等量關(guān)系.

9.如圖①，在△ABC中，/ABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)P.

（1）如果NA=80。，求NBPC的度數(shù);

（2）如圖②，作AABC外角/MBC、NNCB的平分線交于點(diǎn)Q,試探索NQ、/A之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E,ABQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫出

NA的度數(shù).

10.（問題背景）

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說明/A+/B=/C+ND；

（簡(jiǎn)單應(yīng)用）

(2)如圖2,AP、CP分別平分/BAD.ZBCD,若NABC=46。，ZADC=26°,求NP的度數(shù)；

(問題探究)

(3)如圖3,直線AP平分/BAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角/BCE,若NABC=36。，ZADC=16°,

請(qǐng)猜想/P的度數(shù)，并說明理由.

(拓展延伸)

(4)①在圖4中，若設(shè)NC=a,ZB=B,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,試問NP與NC、NB之

33

間的數(shù)量關(guān)系為：(用a、B表示/P);

②在圖5中，AP平分/BAD,CP平分NBCD的外角NBCE,猜想NP與NB、ND的關(guān)系，直接寫出結(jié)

論.

B

D

ED

圖5

參考答案

1.125

【解析】

【分析】

先利用二角形內(nèi)角和定理求出NA5C+NACB的度數(shù)，進(jìn)而可求NDBC+/DCB的度數(shù)，最后再利用■

角形內(nèi)角和定理即可求出答案.

【詳解】

vZA=70°,

Z/WC+ZACB=180°-ZA=110°.

BD平分ZABC,CD平分ZACB,

ZDBC+ZDCB=1(ZABC+ZACB)=55°,

ZBDC=180°—(NDBC+NDCB)=125°.

故答案為：125.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，掌握角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理是

解題的關(guān)鍵.

2.115°

【解析】

【分析】

先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出ZP8C+NPC8的度數(shù)，再利用;角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】

解：平分NA3C,C尸平分N4C3,

，ZPBC+NPCB=1(80°+50°)=65°,

ZfiPC=180°—65°=115°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

3.40。20。10。（棄）。

【解析】

【分析】

（1）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證/A尸L/A,進(jìn)而可求NAi,同理易證/A2=^NAI,

22

ZA3=—ZA2,進(jìn)而可求NA2和NA3；

2

（2）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證NAkL/A,進(jìn)而可求/A”同理易證NA2=1/AI,

22

ZA=-ZA.........以此類推可知NA2O15即可求得.

322

【詳解】

解：（1）；NA=NACD—NABC,ZAI=ZAICD-ZA,BC

???NABC和NACD的角平分線交于點(diǎn)A-ZA=80°

.,.ZAiCD=-ZACD,ZAiBC=-ZABC

22

Z.ZAi=ZAiCD-ZAiBC

=-ZACD--ZABC

22

=-（ZACD-ZABC）

2

=40°

同理可證：ZA2=—ZAI=20°,ZAa=-ZA2=10O

22

故答案為：40°；20°；10°.

(2)VZA=ZACD-ZABC,ZAi=ZAiCD-ZAiBC

???448。和44。。的角平分線交于點(diǎn)丁，ZA=m0

???NAiCD」NACD,ZAiBC="ZABC

22

AZAi=ZAiCD-ZAiBC

11

二一NACD--NABC

22

」(ZACD-ZABC)

2

4ZA

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出/Ai='/A,并依此找出規(guī)律.

2

4.15°

【解析】

【分析】

先由BD、CD分別平分/ABC、ZACB得到NDBC=^/ABC,ZDCB=—ZACB,在^ABC中根據(jù)三

22

角形內(nèi)角和定理得NDBC+/DCB=，(ZABC+ZACB)=—(180°-ZA)=60°,則根據(jù)平角定理得到

22

/MBC+NNCB=300。：再由BE、CE分別平分NMBC、NBCN得N5+/6=工NMBC,Zl=-ZNCB,

22

兩式相加得到/5+N6+Nl=!(ZNCB+ZNCB)=150°,在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出

2

NE=30。：再由BF、CF分別平分NEBC、/ECQ得到N5=/6,N2=N3+N4,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到

Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,利用等量代換得到/2=N5+NF,2Z2=2Z5+ZE,再進(jìn)

行等量代換可得到/F=NE.

2

【詳解】

解：；BD、CD分別平分NABC、ZACB,ZA=60°,

二/DBC」/ABC,ZDCB=-ZACB,

22

.,.ZDBC+ZDCB=—(ZABC+ZACB)=—(180°-ZA)=-x(180°-60°)=60°,

222

，ZMBC+ZNCB=360°-60°=300°,

：BE、CE分別平分NMBC、ZBCN,

/.Z5+Z6=—ZMBC,Zl=—ZNCB,

22

.*.Z5+Z6+Z1=—(ZNCB+ZNCB)=150°,

2

/.ZE=180°-(Z5+Z6+Z1)=180°-l50°=30°,

VBF>CF分別平分NEBC、ZECQ,

AZ5=Z6,Z2=Z3+Z4,

Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

即N2=N5+NF,2Z2=2Z5+ZE,

A2ZF=ZE,

/.ZF=—ZE=—x30°=15°.

22

故答案為：15。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.也考查了三角形外角性質(zhì).

5.(1)2；(2)22.5°<a<30°；(3)45°或36°

【解析】

【分析】

(1)由NA=80。，NB=60。，可求NC的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角之間的倍數(shù)關(guān)系，得出答案，

(2)ADEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情

況進(jìn)行解答，

(3)首先證明/EAF=90。，分兩種情形分別求出即可.

【詳解】

解：(1)VZA=80°,NB=60°,

.*.ZC=180°-ZA-ZB=40°,

.?./A=2NC,

.?.△ABC為2倍角三角形，

故答案為：2；

(2)???最小內(nèi)角為a,

???3倍角為3a,

由題意可得：

3a<90°,且180°-4a<90°,

...最小內(nèi)角的取值范圍是22.5。<01<3()。.

故答案為22.5°<a<30°.

(3)：AE平分NBAO,AF平分NAOG,

.,.ZEAB=ZEAO,ZOAF=ZFAG,

/.ZEAF=ZEAO+ZOAF=—(ZBAO+ZOAG)=90°,

2

?.?△EAF是4倍角三角形，

1,、1

.?.NE=-x90?；蛞粁90。，

45

：AE平分/BAO,OE平分NBOQ,

AZE=—ZABO,

2

AZABO=2ZE,

，/ABO=45°或36°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應(yīng)用等知識(shí)，讀懂新定義n倍

角三角形的意義和分類討論是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.

OCCL0L

6.(I)ZBDC=90°+—；(2)NBFC=—；(3)ZBMC=90°+—.

224

【解析】

【分析】

(1)由?:角形內(nèi)角和可求NA8C+NACB=18()o-a,由角平分線的性質(zhì)可求/￡>8C+NBCQ=工

2

a

(NA8C+NAC8)=90。-一，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；

2

(2)由角平分線的性質(zhì)可得ZFCE^-ZACE,由三角形的外角性質(zhì)可求解；

22

(3)由折疊的性質(zhì)可得NG=/BFC=巴，方法同(1)可求/BMC=9(F+J,即可求解.

22

【詳解】

解：(1)VZA=a,

???NABC+NAC8=180。-a,

???/?。平分NA3C,CD平分NACB,

???ZDBC=-NA8C,NBCD=-ZACB,

22

1a

：.ZDBC+ZBCD=—(NA8C+NAC8)=90°——，

22

a

，N6OC=180°-(NDBC+NBCD)=90°+—；

2

(2)VZABC的平分線與/4CE的平分線交于點(diǎn)F,

：.ZFBC=-AABC,NFCE=LNACE,

22

■:ZACE=NA+NA8C,NFCE=/BFC+NFBC,

1a

：.ZBFC=-ZA=—；

22

(3)：NG8C的平分線與NGCB的平分線交于點(diǎn)M,

，方法同(1)可得NBMC=9(r+——，

2

?將△FBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△GBC,

a

：.ZG=ZBFC=—,

2

a

ZBMC=90°+—.

4

【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，角平分線的性質(zhì)

定理，折疊的性質(zhì).

7.(1)70°(2)?+/7-|zA=9O0(3)①見解析②不成立；—g/A=90°或

a—，-g/A=90°

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到/F的度數(shù);

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到/BFC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得

到NA與a+B的數(shù)量關(guān)系；

（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論/BFC=90。-；NA,以及平角的定義，即可得到NA與a,p之間的數(shù)量關(guān)系;

②分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論NBFC=90。-工/A,以及平角的定義，即可得到/A與a,

2

P之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】

解：（1）如圖1,；NA=40。，

/.ZABC+ZACB=140°,

二ZDBC+ZECB=360°-140°=220°,

又「△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F,

.,.ZFBC+ZFCB=—（ZDBC+ZECB）=—x220°=110°,

22

.?.△BCF中，ZF=180°-110°=70°,

故答案為：70°；

(2)如圖2,VZABC+ZACB=180°-ZA,

，NDBC+NECB=360°-(180°-ZA)=180°+NA,

又???△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F,

?,.ZFBC+ZFCB=—(ZDBC+ZECB)=-x(180°+ZA)=90°+—ZA,

222

.?.△BCF中，NBFC=180。-(90°+—ZA)=90°-—ZA,

22

又,.,/MFB=a,/NFC=|3,MN〃BC,

；./FBC=a,ZFCB=p,

「△BCF中，ZFBC+ZFCB+ZBFC=180°,

/.a+p+90o-4/A=180。，

即a+p-yZA=90°,

故答案為：a+p-；ZA=90°；

(3)@a+p-ZA=90°,理由如下：

如圖3,由(2)可得，ZBFC=90°-—ZA,

2

圖3

■:ZMFB+ZNFC+ZBFC=180°,

/.a+p+90°-[NA=180°,

即a+p-gNA=90。，

②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中/A與a,。之間的數(shù)量關(guān)系不成立.

分兩種情況：

如圖4,當(dāng)M在線段AB上，N在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，

圖4

由（2）可得，ZBFC=90°-—ZA,

2

ZBFC-ZMFB+ZNFC=180°,

，90°-yZA-a+p=180°,

即0-a--ZA=90°；

2

如圖5,當(dāng)M在AB的延長(zhǎng)線上，N在線段AC上時(shí),

圖5

由(2)可得，NBFC=90。--ZA,

2

VZBFC-ZNFC+ZMFB=180°,

.*.90°-ZA-p+a=180°,

即a-p--ZA=90°；

2

綜上所述，NA與a,「之間的數(shù)量關(guān)系為B-a-g/A=90?；騛-0-；/A=90。.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖.

8.(1)證明見解析；(2)①NA=180o-2/D,理由見解析；②/A=2/D,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)首先利用角平分線性質(zhì)得出/DBC=4/ABC,ZDCB=^ZACB,再利用三角形內(nèi)角和定理得出

22

NA+/ABC+NACB=180。以及NDBC+NDCB+/D=180。，據(jù)此進(jìn)一步加以變形求證即可；

(2)①首先理由角平分線性質(zhì)得出ZEBC=2NDBC,ZFCB-2ZDCB,然后再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)進(jìn)一

步整理得出NA-2(NDBC+NDCB)=-180。，據(jù)此進(jìn)一步加以分析證明即可：②利用三角形外角性質(zhì)可知

ZDCE=ZDBC+ZD,然后再利用角平分線性質(zhì)得出2/DBC=NABC,2ZDCE=ZACE,最后再結(jié)合

ZA+ZABC=ZACE進(jìn)一步證明即可.

【詳解】

(1)VBD,CD分別是/ABC,/ACB的平分線，

/.ZDBC=—ZABC,ZDCB=—ZACB,

22

NA+NABC+NACB=I8O°,

二ZABC+ZACB=180°-ZA,

又：ZDBC+ZDCB+ZD=180°,

???ZD=180°-(ZDBC+ZDCB)

=180°-g(NABC+ZACB)

=180°--1-(180o-ZA)

=180°-90o+—ZA

2

=90°+—ZA,

2

即：ZD=90°+—ZA；

2

(2)①NA=180°—2ND,理由如下：

VBD,CD分別是NEBC和NFCB的平分線，

???NEBC=2NDBC,ZFCB=2ZDCB,

VZA+ZABC+ZACB=180°,

.?.ZABC=180°-(ZA+ZACB)=180°-2ZDBC,

ZACB=180°-(ZA+ZABC)=180°-2ZDCB,

JZA+l80°-2ZDBC+180°-2ZDCB=180°,

???ZA-2(ZDBC+ZDCB)=-180°,

XVZDBC+ZDCB+ZD=180°,

/.ZDBC+ZDCB=180°-ZD,

.?.ZA-2(ZDBC+ZDCB)=ZA-2(180°-ZD)=-180°,

叩：ZA-360°+2ZD=-180°,

.\2ZD=180o-ZA,

即：ZA=1800-2ZD；

②NA=2/D,理由如下：

?.?/DCE是△ABC的一個(gè)外角，

.*.ZDCE=ZDBC+ZD,

VBD,CD分別是NABC和NACE的平分線，

.\2ZDBC=ZABC,2ZDCE=ZACE,

VZA+ZABC=ZACE,

.,.ZA+2ZDBC=2ZDCE,

ZA+2ZDBC=2ZDBC+2ZD,

.?.NA=2ND.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與三角形外角性質(zhì)及角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)

方法是解題關(guān)鍵.

9.(1)130°；(2)NQ=90°—g/A；(3)60°或120?；?5°或135°

【解析】

【分析】

(1)運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出/ABC+/ACB,進(jìn)而求出NBPC即可解決問

題；

(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出/MBC與NBCN,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得NCBQ+NBCQ,

最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)在4BQE中，由于NQ=90。-g/A,求出/E=^NA,ZEBQ=90°,所以如果△BQE中，存在

一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進(jìn)行討論:①NEBQ=3NE=90。；②/EBQ=3NQ=90。；

③NQ=3NE；@ZE=3ZQ；分別列出方程，求解即可.

【詳解】

⑴解:VZA=80°.

，NABC+NACB=1(X)°,

?點(diǎn)P是/ABC和NACB的平分線的交點(diǎn)，

?,.ZP=180°--(ZABC+ZACB)=180°--xl00°=130°,

22

(2):外角/MBC,/NCB的角平分線交于點(diǎn)Q,

.\ZQBC+ZQCB=y(ZMBC+ZNCB)

(360°-ZABC-ZACB)

2

=—(1800+ZA)

2

=90°+—ZA

2

.,.ZQ=180°-(90°+^-ZA)=90°-yZA；

(3)延長(zhǎng)BC至F,

VCQ為4ABC的外角NNCB的角平分線，

ACE是4ABC的外角/ACF的平分線，

.?.NACF=2NECF,

：BE平分NABC,

AZABC=2ZEBC,

VZECF=ZEBC+ZE,

???2NECF=2NEBC+2NE,

即NACF=NABC+2NE,

又VZACF=ZABC+ZA,

/.ZA=2ZE,即NE=L/A；

2

ZEBQ=ZEBC+ZCBQ

=—ZABC+—ZMBC

22

(ZABC+ZA+ZACB)=90。.

2

如果ABQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況:

①NEBQ=3/E=90°,則NE=30°,ZA=2ZE=60°；

②NEBQ=3/Q=90°,則NQ=30°,NE=60°,NA=2NE=120°；

③NQ=3NE,則NE=22.5。，解得NA=45。；

?ZE=3ZQ,則NE=67.5。,解得NA=135。.

綜上所述，/A的度數(shù)是60。或120。或45?；?35。.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用

三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

10.(1)見解析；(2)36°；(3)26°,理由見解析：(4)①/P="②NP」')