2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-分段函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-分段函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練類型一：分段函數(shù)求值1.已知函數(shù)f(x)=log2x,(x>0)3?x,(x?0)A.?1 B.33 C.32.已知函數(shù)f(x)=(13)x,x≤1,logA.1 B.2 C.3 D.4類型二：分段函數(shù)給值求自變量3.已知fx=2x?1,x<1,x2A.1 B.4 C.1或4 D.24.已知函數(shù)f(x)=x?1x+1,x<?1,ln(x+2),x≥?1.若f(a)=1，則

類型三：分段函數(shù)的值域（最值）5.已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)=x?3a,x≤2,2+logax,x>2的最大值不超過1A.0,12 B.13,126.已知函數(shù)y=1?ax+14a,x<10lgx,x?10的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)aA.?∞,1 B.?94,+∞ C.?類型四：分段不等式7.已知函數(shù)fx=x?12,x≥12x?2,x<1，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)xA.(?∞,?34) B.(?∞,?34]類型五：分段函數(shù)的圖像8.函數(shù)f(x)=xx·2A. B.

C. D.類型六：分段函數(shù)的單調(diào)性9.已知函數(shù)f(x)=?x2?ax?5,(x≤1)ax(x10.（多選）已知函數(shù)f(x)=3x?3a+1,x<0logA.若a=54，則f(x)是增函數(shù)

B.若a=2，則方程f(x)=?3的解為x1=log32和x2=?158

C.若a=4類型七：分段函數(shù)的奇偶性11.若函數(shù)f(x)=x2+4x,x≤0,?x212.已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x<0?x2+2x,x≥0，則函數(shù)f(x)是

函數(shù)(填奇偶性)；若f(f(a))<f(f(?3))類型八：分段函數(shù)的周期性13.已知函數(shù)f(x)=x2+1x?1,x≤0,A.?52 B.?2 C.?5類型九：分段函數(shù)的零點(diǎn)14.已知函數(shù)f(x)=?x2?4x+1,x≤0,|lnx|,x>0,關(guān)于x的方程A.[1,5) B.(0,1)∪{5} C.(0,1] D.(0,1)15.已知函數(shù)f(x)=2+log12x,A.22 B.12 C.16.已知函數(shù)f(x)=?x2?2x,x?0|lgx|,????x>0，若a<b<c<d，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)A.(3,20110) B.(1,18110)17.已知函數(shù)f(x)=ex+1,x?0x+4x?3,x>0，函數(shù)y=fx?a有四個(gè)不同零點(diǎn)，從小到大依次為x1類型十：分段函數(shù)的新定義18.對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在x0，使f(x0)=?f(?x0)，則稱點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(?x0A.[2?22,0) B.(?∞,2?22]19.“肝膽兩相照，然諾安能忘。”(《承左虞燕京惠詩(shī)卻寄卻寄》，明·朱察卿)若A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P1,1成中心對(duì)稱，則稱A,B為一對(duì)“然諾點(diǎn)”，同時(shí)把A,B和B,A視為同一對(duì)“然諾點(diǎn)”.已知a∈Z，函數(shù)fx=x?2e?xA.4 B.3 C.5 D.2類型十一：分段函數(shù)的嵌套問題20.函數(shù)f(x)=x2?2x,x?02xex,x>A.[1,e+2e) B.(1,e2+221.已知f(x)=|lgx|,x>02|x|,x?0，則函數(shù)類型十二：分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用22.一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為xx∈N?件.當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為33x?x2萬元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬元(1)求y(萬元)與

x?(件)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？類型十三：分段函數(shù)的綜合應(yīng)用23.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x?3)=f(x+1)，且f(x)=1?x2,x∈(?1,1]2?2|x?2|,x∈(1,3]，則下列說法中正確的是A.f(x)的值域?yàn)閇0,1]

B.f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=4k(k∈Z)

C.當(dāng)x∈(?3,?2)時(shí)，f(x)=2x+6

D.方程3f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解24.（多選）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷(1805?1859)在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y是x的函數(shù)．”這個(gè)定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個(gè)法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個(gè)x，都有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示．他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)D(x)，即：當(dāng)自變量x取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1，當(dāng)自變量x取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)家們對(duì)“函數(shù)是連續(xù)的”的認(rèn)識(shí)，也使數(shù)學(xué)家們更加認(rèn)可函數(shù)的對(duì)應(yīng)說定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)D(x)的性質(zhì)表述正確的是(

)A.D(π)=0 B.D(x)是奇函數(shù)

C.D(x)的值域是{0,1} D.D(x+1)=D(x)參考答案與解析類型一：分段函數(shù)求值1.已知函數(shù)f(x)=log2x,(x>0)3A.?1 B.33 C.3【答案】D

解：由已知，f12=log22.已知函數(shù)f(x)=(13)xA.1 B.2 C.3 D.4【答案】C

解：因?yàn)閒(?2)=(13)?2=9，所以類型二：分段函數(shù)給值求自變量3.已知fx=2x?1,x<1,A.1 B.4 C.1或4 D.2【答案】B

解：∵函數(shù)f(x)=2x?1,x<1x2,x?1，且f(a)=1，

當(dāng)a<1時(shí)，f(a)=2a?1=1，即a?1=0，∴a=1(舍去)；

當(dāng)a≥1時(shí)，f(a)=a2=1，即4.已知函數(shù)f(x)=x?1x+1,x<?1,ln(x+2),x≥?1.若【答案】e?2

解：當(dāng)a<?1時(shí)，

f(a)=a?1a+1=1，解得a無解，

當(dāng)a≥?1時(shí)，

f(a)=lna+2=1類型三：分段函數(shù)的值域（最值）5.已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)=x?3a,x≤2,2+logax,x>2A.0,12 B.13,12【答案】C

解：由題意知，函數(shù)y=f(x)在(?∞,2]上單調(diào)遞增，且f(2)=2?3a≤1，函數(shù)f(x)=2+logax在(2,+∞)上單調(diào)遞減且2+loga2≤1，則6.已知函數(shù)y=1?ax+14a,x<10lgx,x?10的值域?yàn)镽A.?∞,1 B.?94,+∞ C.?【答案】D

解：當(dāng)x?10時(shí)，y=lgx?lg10=1，

又函數(shù)y=1?ax+14a,x<10lgx,x?10類型四：分段不等式7.已知函數(shù)fx=x?12,x≥12x?2,x<1A.(?∞,?34) B.(?∞,?34]【答案】D

解：由題設(shè)可作fx=x?12,x≥12x?2,x<1的圖象，如下圖所示：

所以f(x)在R上單調(diào)遞增，

則由f(x?a)≤f(x2+1)，得x?a≤x2+1在R類型五：分段函數(shù)的圖像8.函數(shù)f(x)=xxA. B.

C. D.【答案】B

解：∵y=x.2xx=2x,x>0?2x,x<0

，當(dāng)x>0時(shí)，其圖象是指數(shù)函數(shù)y=2x在y軸右側(cè)的部分，因?yàn)?>1，所以函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<0時(shí)，其圖象是函數(shù)y=?2類型六：分段函數(shù)的單調(diào)性9.已知函數(shù)f(x)=?x2?ax?5,(x≤1)a【答案】[?3,?2]

解：由題意可得?a2≥1a<0?1?a?5≤a，

解得?3≤a≤?210.（多選）已知函數(shù)f(x)=3xA.若a=54，則f(x)是增函數(shù)

B.若a=2，則方程f(x)=?3的解為x1=log32和x2=?158

C.若a=4【答案】AD

【解答】

解：A選項(xiàng)，a=54時(shí)，f(x)=3x?114,x<0log54(x+54),x?0,

因?yàn)閤<0時(shí)，fx=3x?114單調(diào)遞增，

x>0時(shí)，fx=log54x+54單調(diào)遞增，且30?114=?74<log5454=1，

所以f(x)是增函數(shù)，故A正確；

B選項(xiàng)，a=2時(shí)，f(x)=3x?5,x<0log2(x+2),x?0,

當(dāng)x<0時(shí)，fx=3x?5=?3，解得x=log32>0，舍去；

當(dāng)x?0時(shí)，fx=log2類型七：分段函數(shù)的奇偶性11.若函數(shù)f(x)=x2+4x,x≤0,?【答案】3

解：設(shè)x<0，?x>0，f(x)是奇函數(shù)，

∴f(?x)=?x2?ax，f(x)=x2+4x，f(?x)=?f(x)，

∴?x212.已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x<0?x2+2x,x≥0，則函數(shù)f(x)是

函數(shù)(填奇偶性)【答案】奇；?∞,?3解：當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，所以f(?x)=??x2?2x=?x2+2x=?fx，

當(dāng)x>0時(shí)，?x<0，所以f(?x)=?x2?2x=??x2+2x=?fx，且f(0)=0，

所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

又因?yàn)楹瘮?shù)在?∞,?1,1,+∞類型八：分段函數(shù)的周期性13.已知函數(shù)f(x)=x2+1A.?52 B.?2 C.?5【答案】D

解：依題意得f(2024)=f(2022+2)=f(674×3+2)=f(2)=f(?1)，

而f(?1)=?1，故f(2024)=?1．類型九：分段函數(shù)的零點(diǎn)14.已知函數(shù)f(x)=?x2?4x+1,x≤0,|lnx|,x>0,關(guān)于A.[1,5) B.(0,1)∪{5} C.(0,1] D.(0,1)【答案】B

解：作出函數(shù)的圖象，如圖：

f(x)=?x2?4x+1,x?0的圖象與y軸的交點(diǎn)為0,1，又f(x)=|ln?x|,x>0的圖象在0,1單調(diào)遞減，且圖象與y軸無限接近，在1,+∞單調(diào)遞增．

關(guān)于x的方程f(x)=a(a∈R)有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=a有3個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：a15.已知函數(shù)f(x)=2+log12A.22 B.12 C.【答案】B

解：函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示，

(1)設(shè)f(a)=f(b)=k，則k∈(2,4]．

由2+log12a=k，2b=k，

得a=(12)k?2，b=log2k.

當(dāng)k=4時(shí)，a=14，b=2，ab=12．

考慮ab?12=(12)16.已知函數(shù)f(x)=?x2?2x,x?0|lgx|,????x>0，若a<b<c<d，且A.(3,20110) B.(1,18110)【答案】B

解：作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示：

不妨設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=k，

則a，b，c，d為f(x)=k的四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且k∈(0,1)，

于是a，b為方程x2+2x+k=0的不同實(shí)根，

所以a+b=?2，

由|lgc|=|lgd|，知cd=1，且由于0<lgd<1，知1<d<10，

于是c+2d=2d+1d，

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知y=2d+1d的值隨d在(1,10)內(nèi)的增大而增大，

所以c+2d∈3,2011017.已知函數(shù)f(x)=ex+1,x?0x+4x?3,x>0，函數(shù)y=fx?a有四個(gè)不同零點(diǎn)，從小到大依次為x【答案】(1,e]

解：函數(shù)y=f(x)?a有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即兩函數(shù)y=f(x)與y=a圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示，

由圖象可知，1<a≤e，

x1，x2是方程e|x+1|=a的兩根，而圖像關(guān)于x=?1對(duì)稱，

∴x1+x2=?2，且x2∈(?1,0]，

∴x1?x2=(?2?x2)?x2類型十：分段函數(shù)的新定義18.對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在x0，使f(x0)=?f(?x0)，則稱點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(?A.[2?22,0) B.(?∞,2?22]【答案】B

解：由“優(yōu)美點(diǎn)”的定義，可知若點(diǎn)x0則點(diǎn)?x0,?f作出函數(shù)y=x其解析式為y=?x設(shè)過定點(diǎn)0,2的直線y=m1x+2與曲線y=?如圖所示，則m1解得x1=±2(由圖可知，若fx存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則m?2?22．

19.“肝膽兩相照，然諾安能忘。”(《承左虞燕京惠詩(shī)卻寄卻寄》，明·朱察卿)若A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P1,1成中心對(duì)稱，則稱A,B為一對(duì)“然諾點(diǎn)”，同時(shí)把A,B和B,A視為同一對(duì)“然諾點(diǎn)”.已知a∈Z，函數(shù)fx=x?2A.4 B.3 C.5 D.2【答案】A

解：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=ax?2，其關(guān)于點(diǎn)P(1,1)對(duì)稱的函數(shù)為y=ax?2a+4(x<1)，

由題知y=ax?2a+4與y=(x?2)e?x在x∈(?∞,1)上有兩個(gè)交點(diǎn)，

由y=ax?2a+4y=(x?2)e?x，消y得到ax?2a+4=(x?2)e?x，

又x<1，得到4x?2+a=e?x，

令?(x)=4x?2+a，g(x)=e?x，則?(x)=4x?2+a和g(x)=e?x在(?∞,1)上有兩個(gè)交點(diǎn)，

在同一坐標(biāo)系中，作出g(x)=e?x和?(x)=4x?2類型十一：分段函數(shù)的嵌套問題20.函數(shù)f(x)=x2?2x,x?02xexA.[1,e+2e) B.(1,e2+2【答案】D

解：因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)=2xex，f'(x)=2(1?x)ex，

若f'(x)>0,0<x<1,若f'(x)<0，則x>1，

所以f(x)=2xex在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

x=1時(shí)y=2e，x=0時(shí)y=0，

x→+∞時(shí)y→0，可面出f(x)的大致圖象，

令f(x)=t，g(t)=t2?at+a?1，先解關(guān)于t的方程g(t)=21.已知f(x)=|lgx|,x>02|x|【答案】5

解：根據(jù)題意，令2f2(x)?3f(x)+1=0，

解得：f(x)=1或fx=12，

作出y=f(x)的圖象：

由圖象可得，函數(shù)y=f(x)的圖象與y=1的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

函數(shù)y=f(x)的圖象與y=12的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)類型十二：分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用22.一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為xx∈N?件.當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為33x?x2萬元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y(1)求y(萬元)與

x?(件)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【答案】解：(1)由題意，當(dāng)0<x≤20時(shí)，y=33x?x2?x?100=?x2+32x?100，

當(dāng)x>20時(shí)，y=260?x?100=?x+160，

∴y=?x2+32x?100,0<x≤20,?x+160,x>20(x∈N?),

(2)當(dāng)0<x≤20時(shí)，y=?x2類型十三：分段函數(shù)的綜合應(yīng)用23.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x?3)=f(x+1)，且f(x)=1?x2,x∈(?1,1]A.f(x)的值域?yàn)閇0,1]

B.f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=4k(k∈Z)

C.當(dāng)x∈(?3,?2)時(shí)，f(x)=2x+6

D.方程3f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】C

解：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x?3)=f(x+1)，

則f(x)=f(x+4)，函數(shù)的周期為4，

f(x)=1?x2由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)閇0,2]，所以A錯(cuò)