中國民航物理學(xué)波動(dòng)

波動(dòng)的一般定義：振動(dòng)(或擾動(dòng))在空間的傳播。簡稱波。波的傳播指的是振動(dòng)相位、能量的傳播。電磁波還包括電磁場物質(zhì)、所加載的信號(hào)的傳播

本章重點(diǎn)：機(jī)械波中的簡諧波波的疊加

機(jī)械波只能在彈性媒質(zhì)中傳播。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度研究機(jī)械波，就是研究媒質(zhì)中眾多質(zhì)元振動(dòng)的相互關(guān)系。常見的種類有:機(jī)械波，電磁波，…§7-1機(jī)械波行波§7-2波函數(shù)§7-3物體的彈性形變§7-4波的能量§7-5波動(dòng)方程和波速§7-6惠更斯原理波的反射與折射§7-7波的疊加干涉駐波§7-8聲波§7-1機(jī)械波行波(MechanicalWaveandTravellingWave)軟繩波的傳播方向1.機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播

彈性介質(zhì)中質(zhì)元受外界擾動(dòng)而發(fā)生振動(dòng)時(shí)，因質(zhì)元之間的彈性聯(lián)系，會(huì)使振動(dòng)傳播開去，這就形成了波動(dòng)—機(jī)械波（mechanicalwave）1.機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播

機(jī)械波——機(jī)械振動(dòng)的傳播。

機(jī)械波產(chǎn)生和傳播的條件：波源

彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)——質(zhì)量連續(xù)分布、在內(nèi)部發(fā)生形變時(shí)能產(chǎn)生彈性力（保守力）的物質(zhì)。

固體：鐵軌長繩彈簧；流體：水空氣

波源——引起媒質(zhì)振動(dòng)，即產(chǎn)生形變和位移的振(擾)動(dòng)系統(tǒng)。鑼鼓琴弦聲帶揚(yáng)聲器紙膜抖繩的手

2.橫波與縱波橫波——媒質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向與振動(dòng)的傳播方向垂直的波。（僅在固體中傳播）

特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.2.橫波與縱波

幾何表示：傳播方向振動(dòng)方向2.橫波與縱波縱波——媒質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行的波。（可在固體、液體和氣體中傳播）

特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.縱波是靠介質(zhì)疏密部變化傳播的，如聲波，彈簧波為縱波

幾何表示：傳播方向振動(dòng)方向2.橫波與縱波軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向注意：1、有些波既不是橫波也不是縱波。如：水表面的波既非橫波又非縱波。水波中的質(zhì)元是做圓（或橢圓）運(yùn)動(dòng)的。3.波的幾何描述波線（waveline）:表示波的傳播方向的射線（波射線）波面（wavesurface）:介質(zhì)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面（同相面）球面波平面波波線波面波傳播方向l波速u4.波的特征量1、波長（wavelength）

波線上相鄰的振動(dòng)狀態(tài)相同的兩質(zhì)元間的距離。它由波源和介質(zhì)共同決定;波長表示波的空間周期性2、周期（period）T：振動(dòng)狀態(tài)向前傳播一個(gè)波長所需要的時(shí)間。它由波源決定（波源、觀測者均不動(dòng)時(shí)）3、波速u：振動(dòng)狀態(tài)（位相）傳播的速度。它由介質(zhì)的性質(zhì)決定，與波源情況無關(guān)。5.行波

行波——單向傳播的振動(dòng)。駐波

行波的特點(diǎn)“上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng)；某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)（相位）將在較晚時(shí)刻于“下游”某處出現(xiàn)——波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播；沿波的傳播方向各質(zhì)元的相位依次落后

在傳播方向上有多個(gè)同相點(diǎn)——相位相差2

的整數(shù)倍；波傳播過程中，每個(gè)質(zhì)元在各自的平衡位置附近振動(dòng)；質(zhì)元并未“隨波逐流”

各質(zhì)元的振動(dòng)頻率相同。§7-2波函數(shù)(wavefunction)1.波函數(shù)原點(diǎn)O在t時(shí)刻的振動(dòng)：任意點(diǎn)P（坐標(biāo)為x）在t時(shí)刻的振動(dòng)：等于原點(diǎn)O在t-x/u時(shí)刻的振動(dòng)，即yxPOuxx“－”表示沿x軸正方向傳播“＋”表示沿x軸負(fù)方向傳播2．平面簡諧波的波函數(shù)O點(diǎn)的振動(dòng)：波函數(shù)：PuxxyO

3．波函數(shù)的物理意義ytOTyxO

yxO

t0

t0+Δt

uΔtu解：如圖，在下列情況下試求波函數(shù)：(3)若u沿x

軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？例(1)以A為原點(diǎn)；(2)以B為原點(diǎn)；已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為：BA

在x軸上任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)振動(dòng)方程為：波函數(shù)為：解P

BA

(2)B點(diǎn)振動(dòng)方程為：(3)以A為原點(diǎn)：以B為原點(diǎn)：波函數(shù)為:一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為 比較法(與標(biāo)準(zhǔn)形式比較）標(biāo)準(zhǔn)形式波函數(shù)為比較可得例解(1)波的振幅、波長、周期及波速；

(2)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的最大速度。求(1)(2)

[例]設(shè)波源位于

x軸的原點(diǎn)處，波源的振動(dòng)曲線如圖所示，已知波速為

u=5

m/s

，波向

x正向傳播。（1）畫出距波源15

m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線；（2）畫出t

=3

s時(shí)的波形曲線。于是，波函數(shù)為即解：由圖可知故O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（1）令x

=15

mx

=15

m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線：（2）令t

=3

st

=3

s

時(shí)的波形曲線：隨堂小議（1）A點(diǎn)的速度大于零；（2）B點(diǎn)靜止不動(dòng)；（3）C點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)；（4）D點(diǎn)的振動(dòng)速度小于零。結(jié)束選擇請?jiān)谶x擇你認(rèn)為是對的答案

以波速u沿X

軸逆向傳播的簡諧波t

時(shí)刻的波形如下圖隨堂小議OXYuABCD§7-3物體的彈性形變ElasticDeformationofaBody物體的彈性形變彈性形變的分類：線變

楊氏模量E

切變

切變模量G

體變

體變模量K

彈性媒質(zhì)(無論是固體還是流體)在受力時(shí)都會(huì)產(chǎn)生形變。在其彈性限度內(nèi)形變是可恢復(fù)的，稱這種形變?yōu)閺椥孕巫儭?1)定義：一段固體棒，當(dāng)在兩端沿軸的方向加以方向相反大小相等的外力時(shí)，其長度會(huì)發(fā)生改變，稱為線變。ll+

l

(2)應(yīng)力及線應(yīng)變以F表示力的大小，以S表示棒的橫截面積，則F/S叫應(yīng)力。以表示棒原來的長度，以表示在外力F作用下的長度變化，則相對變化叫線應(yīng)變。

線變（長變）(3)胡克定律：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和線應(yīng)變成正比，這一關(guān)系叫胡克定律。式中E為關(guān)于線變的比例系數(shù)，它隨材料的不同而不同，叫楊氏模量。當(dāng)外力不太大時(shí)，較小，S基本不變，因此基本不變，稱為勁度系數(shù)，用k表示。彈性勢能：單位體積的彈性勢能:(1)定義：一塊矩形材料，當(dāng)它的兩側(cè)面受到與側(cè)面平行的大小相等方向相反的力作用時(shí)，其形狀發(fā)生變化，稱為切變。(2)切應(yīng)力及切應(yīng)變以F表示力的大小，以S表示施力面積，則F/S叫切應(yīng)力。施力面積相互錯(cuò)開而引起的材料角度變化叫切應(yīng)變。

切變(3)實(shí)驗(yàn)表明：在彈性限度內(nèi)，切應(yīng)力

正比于切應(yīng)變，即其中G——切變模量

當(dāng)材料發(fā)生切變時(shí)，單位體積的彈性勢能

體變

定義：一塊物質(zhì)受到的壓強(qiáng)改變時(shí)，其體積也會(huì)發(fā)生改變，稱為體應(yīng)變。實(shí)驗(yàn)表明：在彈性限度內(nèi)，壓強(qiáng)增量

正比于體應(yīng)變

，即其中K——體變模量

E,G,和K決定于材料的特性單位體積彈性勢能：§7-4波動(dòng)方程與波速WaveEquationandVelocityofWave波動(dòng)方程由知(2)不僅適用于機(jī)械波，也廣泛地適用于電磁波、熱傳導(dǎo)、化學(xué)中的擴(kuò)散等過程；(1)上式是一切平面波所滿足的微分方程（正、反傳播）；(3)若物理量是在三維空間中以波的形式傳播，波動(dòng)方程為右式說明典型波速公式固體流體縱縱橫

均勻細(xì)棒嚴(yán)格，

“無限大”介質(zhì)內(nèi)近似“無限大”介質(zhì)內(nèi)

細(xì)繩中

任意液體和氣體內(nèi)

理想氣體中波速由彈性媒質(zhì)特性決定。*震中

家中的震感思考：如果發(fā)生地震，你在家中會(huì)有怎樣的震感?在同一種介質(zhì)中，橫波的波速比縱波的要小§7-5波的能量(energyofwave)一波動(dòng)能量的傳播

波的傳播是能量的傳播，傳播過程中，介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，具有動(dòng)能，介質(zhì)形變具有勢能

.pWkW1波的能量本節(jié)以細(xì)棒中的平面簡諧撗波為例，討論波的能量問題，由此得出的結(jié)論具一定的普遍意義?，F(xiàn)象：若將細(xì)棒（彈性媒質(zhì)）劃分為多個(gè)小單元（體積元）上下抖動(dòng)振速最小v振速最大v形變最小形變最大t時(shí)刻波形t+dt在波動(dòng)中，各體積元產(chǎn)生不同程度的彈性形變，具有彈性勢能pEr未起振的體積元各體積元以變化的振動(dòng)速率上下振動(dòng)，具有振動(dòng)動(dòng)能vEkryx0yx

y=Acos

(t-x/u)0uxx+dxydxFFyS勢能：動(dòng)能：

波動(dòng)質(zhì)元的能量

波動(dòng)質(zhì)元的能量總機(jī)械能為：波動(dòng)質(zhì)元：每個(gè)質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。振動(dòng)系統(tǒng)：系統(tǒng)與外界無能量交換。能量密度:單位體積介質(zhì)中的波動(dòng)能量平均能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值適用于各種彈性波。

波的能量密度討論：(2)體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢能和總機(jī)械能均最大.體積元的位移最大時(shí)，三者均為零.

(1)在波動(dòng)傳播的介質(zhì)中，任一體積元的動(dòng)能、勢能、總機(jī)械能均隨作周期性變化，且變化是同相

位的.速度最小形變最小速度最大形變最大(3)

任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機(jī)械能不守恒.波動(dòng)是能量傳遞的一種方式.討論：

波的能量與振動(dòng)能量

波的強(qiáng)度→能流波的傳播→能量傳播能流密度S—單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波線

方向單位面積波的能量。波的強(qiáng)度

I（平均能流密度）能流密度：

利用和能量守恒，可以證明，對無吸收介質(zhì)，有：平面波球面波

r

場點(diǎn)到波源的距離

波的強(qiáng)度§7-6Huygens原理波的反射與折射(HuygensPrinciple,reflectionandrefractionofwave)

前面討論了波動(dòng)的基本概念，現(xiàn)在討論與波的傳播特性有關(guān)的現(xiàn)象、原理和規(guī)律。

惠更斯原理給出的方法（惠更斯作圖法），是一種處理波傳播方向的普遍方法。

由于某些原因，波在傳播中，其傳播方向、振幅都有可能改變?；莞乖恚℉uygensprinciple）1、原理的敘述2、原理的應(yīng)用已知

t時(shí)刻的波面

t+

t

時(shí)刻的波面，從而可進(jìn)一步給出波的傳播方向?；莞乖恚℉uygensprinciple）

波面上的各點(diǎn)，都可看作是發(fā)射子波（次級波）的波源（點(diǎn)源），其后的任一時(shí)刻，這些子波面的包絡(luò)面（包跡）就是波在該時(shí)刻的新的波面。t+

t時(shí)刻波面·····u

t波傳播方向t時(shí)刻波面平面波t+

t球面波例如，均勻各向同性介質(zhì)內(nèi)波的傳播：u···············t

1、波的衍射（wavediffraction）衍射：波傳播過程中，當(dāng)遇到障礙物時(shí)，能繞過障礙物邊緣而偏離直線傳播的現(xiàn)象?！と肷洳ㄑ苌洳ㄕ系K物···入射波衍射波障礙物a相對于波長而言，障礙物的線度越大衍射現(xiàn)象越不明顯，障礙物的線度越小衍射現(xiàn)象越明顯。60水波通過窄縫時(shí)的衍射廣播和電視哪個(gè)更容易收到?更容易聽到男的還是女的說話的聲音？障礙物（聲音強(qiáng)度相同的情況下）FM收音機(jī)的頻率范圍88-108MHz,室外電視接收天線，一頻率范圍：146-174/438-470MHZ2、波的反射和折射（reflection&refraction）

1.波的反射（看書）2.波的折射：用惠更斯作圖法導(dǎo)出折射定律u2

t媒質(zhì)1、折射率n1媒質(zhì)2、折射率n2i法線B入射波A··E·Cu1u1

t··FDu2折射波傳播方向r——折射定律光波得到光密介質(zhì)光疏介質(zhì)時(shí)，折射角r>入射角

i

。全反射的一個(gè)重要應(yīng)用是光導(dǎo)纖維（光纖），它是現(xiàn)代光通信技術(shù)的重要器件。irn1(大)n2(小)i=iC

r=90

n1(大)n2(小)當(dāng)入射i>臨界角iC

時(shí)，將無折射光—全反射。iC

—臨界角光導(dǎo)纖維光纜電纜

圖中的細(xì)光纜和粗電纜的通信容量相同而且損耗小。光纖通信容量大，我國電信的主干線可達(dá)300公里。也只有幾十公里。

在不加中繼站的情況下，光纜傳輸距離而同軸電纜只幾公里，微波早已全部為光纜?！?-7波的疊加干涉駐波(SuperpositionofWavesStandingWave)1．波的迭加原理1）兩列波在傳播過程中相遇，在相遇區(qū)域內(nèi)每一質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)所引起位移的和。2）兩列波相遇時(shí)仍保持各自原有的特性。細(xì)雨綿綿獨(dú)立傳播2.波的干涉一般情況下，各個(gè)波的振動(dòng)方向和頻率均不同，相位關(guān)系不確定，疊加的合成波較為復(fù)雜。當(dāng)兩列相干波疊加后，其合振幅A和合強(qiáng)度

I將在空間形成一種穩(wěn)定的分布，即某些點(diǎn)上的振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些點(diǎn)上的振動(dòng)始終減弱?！ǖ母缮娓缮娆F(xiàn)象?頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定。相干條件?相干波?滿足相干條件的波相干波源產(chǎn)生相干波的波源?根據(jù)疊加原理可知，P

點(diǎn)處振動(dòng)方程為?合振動(dòng)的振幅S1S2P?P點(diǎn)處波的強(qiáng)度S1S2Pr1r2

2.波的干涉相位差當(dāng)干涉相長當(dāng)干涉相消?空間點(diǎn)振動(dòng)的情況分析干涉相長(1)若干涉相消干涉相長干涉相消從能量上看，當(dāng)兩相干波發(fā)生干涉時(shí)，在兩波交疊的區(qū)域，合成波在空間各處的強(qiáng)度并不等于兩個(gè)分波強(qiáng)度之和，而是發(fā)生重新分布。這種新的強(qiáng)度分布是時(shí)間上穩(wěn)定的、空間上強(qiáng)弱相間具有周期性的一種分布。討論(2)若A、B為兩相干波源，距離為30m，振幅相同，

相同，初相差為

,u=400m/s,

f=100Hz。例A、B連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)位置。求解BAP30m（P在A左側(cè)）（P在B右側(cè)）(即在兩側(cè)干涉相長，不會(huì)出現(xiàn)靜止點(diǎn))r1r2P在A、B中間干涉相消(在A，B之間距離A點(diǎn)為r1=1,3,5,…,29m

處出現(xiàn)靜止點(diǎn))線性波的疊加可以產(chǎn)生許多獨(dú)特的現(xiàn)象：駐波、干涉等3、駐波駐波是指兩列波頻率相同、振幅相同、振動(dòng)方向相同、在同一直線上沿相反方向傳播，它們疊加所形成的合成波。設(shè)兩列波的表達(dá)式為疊加后得駐波表達(dá)式：這一結(jié)果表明：駐波不含波動(dòng)特有的相位因子，即不再具有波的特性（相位沿傳播方向依次落后等）。振幅最大的點(diǎn)稱為波腹；振幅為零的點(diǎn)稱為波節(jié)。駐波具有簡諧運(yùn)動(dòng)的特征。所有點(diǎn)的振動(dòng)圓頻率都為

，但各點(diǎn)的振幅不全相同，即為。波腹的位置：波節(jié)的位置：拉緊的繩中的駐波演示駐波的特點(diǎn)：通常將相鄰兩個(gè)波節(jié)的一段稱為一個(gè)駐波。

相鄰波節(jié)或相鄰波腹之間的距離為波長的一半。

一個(gè)駐波上所有點(diǎn)的振動(dòng)同相；兩個(gè)相鄰駐波上點(diǎn)的振動(dòng)反相。

任意時(shí)刻駐波的波形為余弦形式（與行波波形相同），但不沿傳播方向運(yùn)動(dòng)（與行波波形不同）。

駐波不再傳遞相位和能量。振幅：形成駐波的兩列傳播方向相反的行波，往往就是媒質(zhì)分界面一側(cè)的入射波和反射波。顯然，反射波與入射波的頻率、振動(dòng)方向和波速均相同；如果分界面對入射波完全反射，反射波與入射波的振幅也相同。4、半波損失半波損失[例]如圖所示，一波長為

的平面簡諧波沿

x軸正向傳播，在與原點(diǎn)O相距L的P點(diǎn)處有一波密媒質(zhì)的反射面，該反射面對波的吸收可以忽略。入射波在與O點(diǎn)相距l(xiāng)的Q點(diǎn)處振動(dòng)函數(shù)為。求：（1）入射波和反射波的波函數(shù)；（2）合成的駐波的波節(jié)位置。解：（1）考慮坐標(biāo)為x的任意點(diǎn)處的振動(dòng)，它比Q點(diǎn)的相位落后

，于是入射波的波函數(shù)為反射點(diǎn)P處的振動(dòng)函數(shù)為反射波在坐標(biāo)為x的任意點(diǎn)處的振動(dòng)相位比點(diǎn)落后

，考慮到反射點(diǎn)有半波損失，故反射波的波函數(shù)為（2）疊加波