專題02 有理數(shù)運(yùn)算（知識(shí)串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）（原卷版）2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)歸納滿分攻略講練（人教版2024）

專題02有理數(shù)運(yùn)算【考點(diǎn)01】有理數(shù)的加法運(yùn)算

【考點(diǎn)02】有理數(shù)的減法運(yùn)算

【考點(diǎn)03】有理數(shù)的加減運(yùn)算

【考點(diǎn)04】有理數(shù)乘法運(yùn)算

【考點(diǎn)05】有理數(shù)除法運(yùn)算

【考點(diǎn)06】有理數(shù)乘除法運(yùn)算

【考點(diǎn)07】有理數(shù)的乘方【考點(diǎn)08】有理數(shù)混合運(yùn)算【考點(diǎn)09】算“24”點(diǎn)

【考點(diǎn)10】科學(xué)計(jì)數(shù)法【考點(diǎn)11】近似數(shù)的表示

【考點(diǎn)12】有理數(shù)實(shí)際應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1：加法法則⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。⑶一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)2：加法運(yùn)算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知識(shí)點(diǎn)2：減法法則減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b知識(shí)點(diǎn)2：乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個(gè)不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，即先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘，絕對(duì)值的積就是積的絕對(duì)值。（4）多個(gè)數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個(gè)因數(shù)是0。知識(shí)點(diǎn)3：乘法運(yùn)算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。

（3）乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知識(shí)點(diǎn)4：倒數(shù)（1）定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.知識(shí)點(diǎn)5：除法法則（1）除以一個(gè)（不等于0）的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。（3）0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。知識(shí)點(diǎn)6：乘方法則運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0知識(shí)點(diǎn)7：混合運(yùn)算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。（3）如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要分兩步走：先確定符號(hào)，再求值。知識(shí)點(diǎn)8：科學(xué)計(jì)數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個(gè)n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點(diǎn)后某位。（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字注：對(duì)于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6×1053.有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)。注：（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號(hào)前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5?！究键c(diǎn)01】有理數(shù)的加法運(yùn)算【典例1】計(jì)算：?7+?15；(2)+213+?31(5)?12+?1【變式1-1】計(jì)算：(1)?1+?2+?4+?8(3)?112+1.25+?8.5+10【變式1-2】定義“※”運(yùn)算，觀察下列運(yùn)算：(+2)※(+13)=15，(?10)※(?12)=22；(?5)※(+13)=?18，+8※0※(+13)=?13，(?10)※0=10．(1)請(qǐng)你認(rèn)真思考上述運(yùn)算，歸納“※”運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行“※”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得，異號(hào)得，并把絕對(duì)值；特別的，0與任何數(shù)進(jìn)行“※”運(yùn)算或任何數(shù)與0進(jìn)行“※”運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)的．(2)計(jì)算：+3※(3)計(jì)算：?14※【考點(diǎn)02】有理數(shù)的減法運(yùn)算

【典例2】計(jì)算：(1)5.6??3.2；(2)?1.24(3)+12??2?【變式2-1】計(jì)算．(1)0??3．(2)?16(3)23?36??76??105；(5)2.75??8.5?1.5?2.75．(6)(7)|?23|??15【變式2-3】計(jì)算?38??36(2)?0.6+0.2+?11.4+0.8(5)0??

【考點(diǎn)03】有理數(shù)的加減運(yùn)算

【典例3】計(jì)算：(1)0??2+?7(3)?0.5?537?1+3【變式3-1】計(jì)算下列各題：?3?+6+3+?1；(3)?323??23【變式3-2】利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題：(1)6.6+?4.5??3.4?+15.5(3)?32【變式3-3】計(jì)算下列各式：?327?(3)?0.5+?15??17

【考點(diǎn)04】有理數(shù)乘法運(yùn)算

【典例4】計(jì)算：?2×7×(?4)×(?2.5)．(2)23(3)(?4)×499.7×5【變式4-1】用乘法運(yùn)算律，將下列各式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：?112×?7?48×?34+(5)?392324×?12【變式4-2】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)?7.5×+25×?0.04；【變式4-3】計(jì)算下列各式：?8×9×?1.25×?1?0.25×?79×4×(5)37×?45

【考點(diǎn)05】有理數(shù)除法運(yùn)算

【典例5】計(jì)算：?23÷?8(3)?6.5÷【變式5-1】計(jì)算：(1)(?47)÷(?314【變式5-2】【閱讀材料】計(jì)算：120分析：利用倒數(shù)的意義，可以先求原式的倒數(shù)，再得出計(jì)算的結(jié)果．解：由于25所以120【問題解決】根據(jù)上述方法，計(jì)算：?1

【考點(diǎn)06】有理數(shù)乘除法運(yùn)算

【典例6】計(jì)算．(1)123×?4(3)213×?1【變式6-1】計(jì)算：(1)?825×1.25×?8；【變式6-2】計(jì)算：?412÷7(3)?15×?0.1【考點(diǎn)07】有理數(shù)的乘方

【典例7】下列各組式子中，運(yùn)算結(jié)果相同的是（

）A．?23和?23 B．??22與22 C．?22【變式7-1】1mA．112m B．132m C．【變式7-2】下列各組中的兩個(gè)數(shù)，運(yùn)算后的結(jié)果相等的是（

）A．?23和?32 B．?53和?53 C．?【變式7-3】我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，采取滿七進(jìn)一的方式，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．如圖1，孩子出生后的天數(shù)=4×71+2×A．520 B．515 C．513 D．500【考點(diǎn)08】有理數(shù)混合運(yùn)算

【典例8】計(jì)算：?5+10?2+?1；(2)(3)?112+13【變式8-1】計(jì)算：(1)112×57(3)?22÷43【變式8-2】計(jì)算：(1)16??42÷?2(3)?12?3×?2+15【變式8-3】計(jì)算：?3+40+?32+?8；(?3)2×?23?12+34【考點(diǎn)09】算“24”點(diǎn)

【典例9】“二十四點(diǎn)游戲”的規(guī)則為：給出4個(gè)有理數(shù)，用加、減、乘、除（可加括號(hào)）把給出的4個(gè)有理數(shù)算成24，每個(gè)數(shù)必須用一次且只能用一次（不考慮順序），先算出結(jié)果獲勝，現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)3，4，?6，?10，發(fā)揮你的聰明才智，運(yùn)用“二十四點(diǎn)”游戲的規(guī)則，寫出一種運(yùn)算式，使其結(jié)果等于24，你的運(yùn)算式是．【變式9-1】有一種“二十四點(diǎn)”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個(gè)自然數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次，可以加括號(hào)）進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算，使其結(jié)果等于24．現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)1,2,2,3，請(qǐng)仿照“二十四點(diǎn)”游戲規(guī)則寫出一個(gè)算式，使其結(jié)果等于24．【變式9-2】如果一個(gè)整數(shù)與1，2，3這三個(gè)數(shù)，通過加、減、乘，除運(yùn)算(可以添加括號(hào))組成算式，能使結(jié)果等于24，那么這個(gè)整數(shù)就稱為可用的．在4，7，9，11，17，20，22，25，31，34這十個(gè)數(shù)中，可用的數(shù)有個(gè)．【變式9-3】有一種“二十四點(diǎn)”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個(gè)自然數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次，可以加括號(hào)）進(jìn)行加減乘除混合運(yùn)算，使其結(jié)果等于24．現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)?6，3，4，10，請(qǐng)仿照“二十四點(diǎn)”游戲規(guī)則寫出一個(gè)算式：，使其結(jié)果等于24．【考點(diǎn)10】科學(xué)計(jì)數(shù)法【典例10】據(jù)科學(xué)家估計(jì)，地球的直徑大約是12700000米，將數(shù)據(jù)12700000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A．12.7×106 B．0.127×108 C．【變式10-1】第一宇宙速度，也稱為環(huán)繞速度，是指一個(gè)物體在地球表面附近以一定的速度水平拋出，使其能夠繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)而不會(huì)落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具體數(shù)值是7900米/秒，7900用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．0.79×104 B．7.9×104 C．【變式10-2】截至目前中國(guó)森林面積達(dá)到175000000公頃，森林覆蓋率為18.21%，人工林面積居世界首位，其中數(shù)字175000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．17.5×107 B．1.75×108 C．【考點(diǎn)11】近似數(shù)的表示

【典例11】用四舍五入法將34.945取近似數(shù)精確到十分位是．【變式11-1】用四舍五入法對(duì)3.14159分別取近似值，其中錯(cuò)誤的是（

）A．3.14（精確到0.01） B．3.141（精確到千分位）C．3.1（精確到十分位） D．3.1416（精確到0.0001）【變式11-2】78.9823億，保留整數(shù)是億．【考點(diǎn)12】有理數(shù)實(shí)際應(yīng)用

【典例12】“滴滴”司機(jī)沈師傅從上午8：00～(1)將最后一批乘客送到目的地時(shí)，沈師傅距離第一批乘客出發(fā)地的東面還是西面？距離出發(fā)地多少千米？(2)若汽車每千米耗油0.4升，則8：(3)若“滴滴”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)11元（不超過3千米），超過3千米，超過部分每千米2元．則沈師傅在上午8：【變式12-1】金秋十月，秋高氣爽，正是賞菊好時(shí)節(jié)！白馬湖景區(qū)舉辦了第六屆《百年榮光·菊世無雙主題菊花展》．景區(qū)預(yù)計(jì)每天接待游客約10000人，實(shí)際接待人數(shù)情況如下：（超出預(yù)計(jì)的人數(shù)記為正數(shù)，不足的人數(shù)記為負(fù)數(shù)）星期一二三四五六日超出或不足+600?300+800+1100?600+500?700(1)周六接待游客人數(shù)為_____________人；(2)游客人數(shù)最多的一天比最少的一天多_____________人；(3)本周共接待游客多少人？【變式12-2】陶山甘蔗是瑞安的特產(chǎn)，每年十月是其盛產(chǎn)期．小瑞同學(xué)打算從瑞安寄10箱甘蔗到杭州，以每箱2.5千克為標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)際重量統(tǒng)計(jì)如下表，記錄如下：小瑞同學(xué)選擇了某快遞公司，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：首重1千克以內(nèi)7元（含1千克），續(xù)重（超過1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克計(jì)．每箱的重量（單位：千克）2.42.652.32.7箱數(shù)2215(1)求這10箱甘蔗的總重量．(2)現(xiàn)快遞公司提供兩種寄件方式：方案一：分10箱，每箱一個(gè)包裹．方案二：10箱打包進(jìn)一個(gè)大箱子，大箱子重2千克，10元一個(gè)．請(qǐng)通過計(jì)算說明哪種方案更省錢？省多少錢？【變式12-3】某食堂購(gòu)進(jìn)30袋大米，每袋以50千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為正，不足的記為負(fù)，稱重記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)重量偏差（單位：千克）?2?10123袋數(shù)5103156(1)這30袋大米最重的為多少千克？最輕的為多少千克？(2)這30袋大米的總重量比標(biāo)準(zhǔn)總重量多或少了多少千克？(3)大米的單價(jià)是每千克5元，食堂購(gòu)進(jìn)大米總共花了多少錢？【變式12-4】為了增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，激發(fā)學(xué)生體育鍛煉熱情，某校七年級(jí)8班學(xué)生在體育課上進(jìn)行了一次跳繩比賽．以1分鐘跳180個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)，超過的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負(fù)數(shù)．某小組10名同學(xué)1分鐘跳繩個(gè)數(shù)記錄如下：+2，?5，+3，0，?10，+7，?7，?4，+1，?7（單位：個(gè)）．(1)求這個(gè)小組1分鐘每人平均跳繩的個(gè)數(shù)？(2)為增強(qiáng)學(xué)生競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，及時(shí)評(píng)出優(yōu)勝小組進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，本次活動(dòng)采取積分制，每超過標(biāo)準(zhǔn)1個(gè)記“+2”分，每不足1個(gè)記“?1”分，剛好達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)記“0”分，積分最高的小組獲得最終獎(jiǎng)勵(lì)，求這個(gè)小組的總積分？【變式12-5】股民曹先生上星期五買進(jìn)某公司股票1000股，每股31元，下表為本周每日該股票的漲跌情況（單位：元）星期一二三四五每股漲跌+2+1.5?1?0.5+1注：正數(shù)表示比前一天上漲，負(fù)數(shù)表示比前一天下跌(1)星期三收盤時(shí)，每股是多少元？（列式計(jì)算）(2)本周內(nèi)最高股價(jià)是每股多少元？最低價(jià)是每股多少元？(3)如果曹先生在星期五收盤前將全部股票賣出，他的收益情況如何？如果曹先生賣出時(shí)需付成交額0.15%的手續(xù)費(fèi)和0.1一、單選題1．下列計(jì)算正確的是（

）A．?1?1=0 B．3÷?13=?1 C．2．把7??3+?5A．7?3?5?2 B．7+3?5?2 C．7+3+5?2 D．7+3?5+23．地球與月球平均距離約為384400千米，將數(shù)字384400用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.844×106 B．3.844×105 C．4．用四舍五入法按要求對(duì)0.05019分別取近似值，其中錯(cuò)誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.5（精確到十分位） D．0.0502（精確到0.0001）5．某種食品保存的溫度是?10±2℃A．?6℃ B．?8℃ C．?10℃ D．?12℃6．七月杏樹果熟開始采摘.圖中每筐杏以5千克為基準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，記錄如下，則這4筐中，質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（）A．

B．

C．

D．

7．在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)從?4開始，先向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)終點(diǎn)，這個(gè)終點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A．?1 B．1 C．5 D．?58．小強(qiáng)根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式