專題03 代數(shù)式及整式的加減（知識(shí)串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）（原卷版）2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)歸納滿分攻略講練（人教版2024）

專題03代數(shù)式及整式的加減【考點(diǎn)01代數(shù)式的定義及書(shū)寫(xiě)】【考點(diǎn)02列代數(shù)式】

【考點(diǎn)03代數(shù)式求值】【考點(diǎn)04單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)】【考點(diǎn)05多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)】【考點(diǎn)06規(guī)律探究】（與數(shù)有關(guān)/與式有關(guān)/與圖形排列有關(guān)的律探索）【考點(diǎn)07同類項(xiàng)的定義】【考點(diǎn)08合并同類型】【考點(diǎn)09添括號(hào)與去括號(hào)】【考點(diǎn)10整式的加減】【考點(diǎn)11整式加減的應(yīng)用】【考點(diǎn)12整式的化簡(jiǎn)求值】

【考點(diǎn)13不含無(wú)關(guān)】知識(shí)點(diǎn)1代數(shù)式1.定義：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。注意：①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外，還可以有括號(hào)；②代數(shù)式中不含有“=、>、<、≠”等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號(hào)和不等號(hào)兩邊的式子一般都是代數(shù)式；③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式有意義，是實(shí)際問(wèn)題的要符合實(shí)際問(wèn)題的意義。2.代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)格式：①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)，通常省略不寫(xiě)，如vt；②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在字母前面，如4a；③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，如應(yīng)寫(xiě)作；④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號(hào)，即“×”號(hào)不省略；⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，如4÷（a-4）應(yīng)寫(xiě)作；注意：分?jǐn)?shù)線具有“÷”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。⑥在表示和（或）差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來(lái)，再將單位名稱寫(xiě)在式子的后面，如平方米。知識(shí)點(diǎn)2：?jiǎn)雾?xiàng)式1.單項(xiàng)式定義（1）定義：由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式。說(shuō)明：?jiǎn)为?dú)的一個(gè)數(shù)或者單獨(dú)的一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).說(shuō)明：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)可以是整數(shù)，也可能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。如的系數(shù)是3；的系數(shù)是；的系數(shù)是4.8；（2）單項(xiàng)式的系數(shù)有正有負(fù)，確定一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，要注意包含在它前面的符號(hào)如的系數(shù)是；的系數(shù)是；（3）對(duì)于只含有字母因數(shù)的單項(xiàng)式，其系數(shù)是1或-1，不能認(rèn)為是0，如的系數(shù)是-1；的系數(shù)是1；（4）表示圓周率的π，在數(shù)學(xué)中是一個(gè)固定的常數(shù)，當(dāng)它出現(xiàn)在單項(xiàng)式中時(shí)，應(yīng)將其作為系數(shù)的一部分，而不能當(dāng)成字母。如2πxy的系數(shù)就是2.3、單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).說(shuō)明：（1）計(jì)算單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，應(yīng)注意是所有字母的指數(shù)和，不要漏掉字母指數(shù)是1的情況。如單項(xiàng)式的次數(shù)是字母z，y，x的指數(shù)和，即4＋3＋1=8，而不是7次，應(yīng)注意字母的指數(shù)是1而不是0；（2）單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無(wú)關(guān)。如單項(xiàng)式的次數(shù)是2＋3＋4=9而不是13次；（3）單項(xiàng)式是一個(gè)單獨(dú)字母時(shí)，它的指數(shù)是1，如單項(xiàng)式m的指數(shù)是1，單項(xiàng)式是單獨(dú)的一個(gè)常數(shù)時(shí)，一般不討論它的次數(shù)；4、在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號(hào)，通常將乘號(hào)寫(xiě)作“”或者省略不寫(xiě)。例如：可以寫(xiě)成或5、在書(shū)寫(xiě)單項(xiàng)式時(shí)，數(shù)字因數(shù)寫(xiě)在字母因數(shù)的前面，數(shù)字因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù).知識(shí)點(diǎn)3：多項(xiàng)式1、定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式.2、多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).3、多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù).4、多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù).5、常數(shù)項(xiàng)：多項(xiàng)式里，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)4：整式（1）單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。（2）單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式。（3）整式不一定是單項(xiàng)式。（4）整式不一定是多項(xiàng)式。（5）分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。知識(shí)點(diǎn)5：同類項(xiàng)1.定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。2.合并同類項(xiàng)：（1）合并同類項(xiàng)的概念：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。（2）合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。（3）合并同類項(xiàng)步驟：a．準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng)。b．逆用分配律，把同類項(xiàng)的系數(shù)加在一起（用小括號(hào)），字母和字母的指數(shù)不變。c．寫(xiě)出合并后的結(jié)果。（4）在掌握合并同類項(xiàng)時(shí)注意：a.如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0.b.不要漏掉不能合并的項(xiàng)。c.只要不再有同類項(xiàng)，就是結(jié)果（可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式）。說(shuō)明：合并同類項(xiàng)的關(guān)鍵是正確判斷同類項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)6：去括號(hào)（1）如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；（2）如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。知識(shí)點(diǎn)7：整式的加減幾個(gè)整式相加減的一般步驟：（1）列出代數(shù)式：用括號(hào)把每個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接。（2）按去括號(hào)法則去括號(hào)。（3）合并同類項(xiàng)?！究键c(diǎn)01代數(shù)式的定義及書(shū)寫(xiě)】

例題1-1：下列各式中，不屬于代數(shù)式的是（

）A．3 B．x(x+1) C．m+n=n+m D．1例題1-2：下列式子，符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)格式的是（

）A．a(chǎn)2 B．283b C．m×7【變式1-1】下列代數(shù)式書(shū)寫(xiě)正確的是（）A．2a×b B．a(chǎn)b÷c C．mn2 D．1【變式1-2】下列式子：①3m；②1x；③1x>1；④1x2A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-3】在2x2，1?2x=0，ab，a>0，0，1aA．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【考點(diǎn)02列代數(shù)式】

例題2：某學(xué)校組織學(xué)生乘車赴紅色教育基地——紅旗渠參觀，若全部租用7座的車需要x輛，且最后一輛車還差2人未坐滿，則該校學(xué)生一共有（）人．A．7x?1+2 B．7x+2 C．7x?2 【變式2-1】用代數(shù)式表示“x的3倍與y的平方的差”正確的是（

）．A．3x?y2 B．(3x)2?y2 【變式2-2】近幾年智能手機(jī)已成為人們生活中不可缺少的一部分，智能手機(jī)價(jià)格也不斷地降低．某品牌智能手機(jī)原售價(jià)為m元，現(xiàn)打九折，再讓利n元，那么該手機(jī)現(xiàn)在的售價(jià)為（

）A．109m?n元 B．C．9m?n元 D．9n?m元【變式2-3】如圖，在一塊長(zhǎng)方形的鋼板上鉆了4個(gè)圓孔，如果每個(gè)圓孔的半徑為3cm，則鋼板的長(zhǎng)為（

A．5x?12cm B．5x+12cm C．5x+24cm【變式2-4】一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字8，十位數(shù)的數(shù)字b，百位上的數(shù)字是a，表示這個(gè)三位數(shù)的式子是．

【考點(diǎn)03代數(shù)式求值】

例題3-1：已知整式x+2y+1的值是4，那么整式2x+4y+1的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例題3-2：已知x=8，y=3，x+y=x+yA．±11 B．±5 C．?11或?5 D．11或5例題3-3：按如圖所示的程序流程計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值為x=2，則最后輸出的結(jié)果是（

）A．231 B．156 C．21 D．3【變式3-1】按如圖所示的運(yùn)算程序，當(dāng)x=2，y=?3時(shí)輸出的結(jié)果為．【變式3-2】若a2?3a+1=0，則3【變式3-3】若a+32+b?2=0【考點(diǎn)04單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)】

例題4：下列關(guān)于單項(xiàng)式?5xy3A．系數(shù)是?52，次數(shù)是4 B．系數(shù)是C．系數(shù)是?5，次數(shù)是4 D．系數(shù)是?5，次數(shù)是3【變式4-1】單項(xiàng)式?x3yA．13，6 B．?13，6 C．13，5 【變式4-2】單項(xiàng)式?2x3y2【考點(diǎn)05多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)】

例題5：對(duì)于多項(xiàng)式a3+3aA．多項(xiàng)式的次數(shù)是3 B．二次項(xiàng)的系數(shù)為3C．一次項(xiàng)系數(shù)為0 D．常數(shù)項(xiàng)為1【變式5-1】多項(xiàng)式1?y+2xy?3xy2的次數(shù)及最高次項(xiàng)的系數(shù)分別是（A．3，3 B．3,?3 C．5,?3 D．2，3【變式5-2】若多項(xiàng)式12xa+1?a?1x+7是關(guān)于【考點(diǎn)06規(guī)律探究】（與數(shù)有關(guān)/與式有關(guān)/與圖形排列有關(guān)的律探索）

例題6：將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣如下，按照以上排列的規(guī)律，第23行第12個(gè)數(shù)是（

）A．527 B．529 C．531 D．533【變式6-1】把有理數(shù)a代入a+4?10得到a1，稱為第一次操作，再將a1作為a的值代入得到aA．?2 B．?6 C．?8 D．?10【變式6-2】云南少數(shù)民族服飾以其精美的花紋和艷麗的色彩越來(lái)越受到追求獨(dú)立與個(gè)性的設(shè)計(jì)師的喜愛(ài)．某民族服飾的花邊均是由若干個(gè)平移形成的有規(guī)律的圖案，如圖，第①個(gè)圖案由4個(gè)組成，第②個(gè)圖案由7個(gè)中組成，第③個(gè)圖案由10個(gè)中組成，，按此規(guī)律排列下去，第100個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為（

）A．303 B．299 C．300 D．301【變式6-3】將一些相同的棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有4個(gè)棋子，第2個(gè)圖形有8個(gè)棋子，第3個(gè)圖形有12個(gè)棋子，第4個(gè)圖形有16個(gè)棋子，……，依此規(guī)律，第6個(gè)圖形個(gè)棋子．【變式6-4】烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是．【考點(diǎn)07同類項(xiàng)的定義】

例題7：下列各組代數(shù)式中，同類項(xiàng)是（

）．A．5x2y與2xy B．5ax2與15yx2 【變式7-1】下列各組代數(shù)式中，是同類項(xiàng)的是（）A．?23x2y3與2x3y2 B．x2y【變式7-2】如果單項(xiàng)式?x4ym與1【變式7-3】若2xm+1y2與?3【考點(diǎn)08合并同類項(xiàng)】

例題8：合并同類項(xiàng)：(1)?4x?2y?x+7y?1；(2)2a(3)3mn?5m(4)7x+4x【變式8-1】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)：(1)(2m?3)+m?(3m?2)；(2)4x?2(?5x+3x?6)．【變式8-2】合并同類項(xiàng)：(1)?5x(2)?4(3)2a+7b?5a?b；(4)x(5)3x?4x(6)32【變式8-3】合并同類項(xiàng)：(1)7a+3a(2)a2【考點(diǎn)09添括號(hào)與去括號(hào)】

例題9：下列去括號(hào)與添括號(hào)變形中，正確的是（）A．2a?3b?c=2a?3b?c C．a(chǎn)+2b?3c=a+2b?3c D．m?n+a?b=m?【變式9-1】下列添括號(hào)正確的是（）A．a(chǎn)?b+c=a?b+c B．C．a(chǎn)?b+c=a?b?c D．【變式9-2】下列變形正確的是()A．3a+4=3a+4 C．?a+b?c=?a+b+c D．【變式9-3】下列去括號(hào)正確的是（

）A．a(chǎn)?b+x?y=a?b+x?y C．???a+b=?a+b【考點(diǎn)10整式的加減】

例題10：化簡(jiǎn)：(1)24x?12?31?【變式10-1】化簡(jiǎn)：(1)9a?4a+3b?5a?2b；(2)5a【變式10-2】計(jì)算：(1)8a?7b?25a?6b；(2)【變式10-3】化簡(jiǎn)：(1)4x2y?5xy2【考點(diǎn)11整式加減的應(yīng)用】

例題11-1：按照“雙減”政策，豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學(xué)校準(zhǔn)備訂購(gòu)一批籃球和跳繩，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個(gè)定價(jià)120元，跳繩每條定價(jià)20元．某體育用品商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案：A方案：買一個(gè)籃球送一條跳繩；B方案：籃球和跳繩都按定價(jià)的90%已知要購(gòu)買籃球50個(gè)，跳繩x條（x>50）．(1)若按A方案購(gòu)買，一共需付款元；（用含x的代數(shù)式表示），若按B方案購(gòu)買，一共需付款元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)x=150時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)用哪種方案購(gòu)買較為合算？(3)當(dāng)x=150時(shí)，你能給出一種更為省錢(qián)的購(gòu)買方案嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的購(gòu)買方案，并計(jì)算需付款多少元？例題11-2：如圖，長(zhǎng)為50cm，寬為xcm的大長(zhǎng)方形被分割為8小塊，除陰影A，B外，其余6塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短一邊長(zhǎng)為(1)由圖可知，每個(gè)小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)是cm（用含a的式子表示），陰影部分B的較短的邊長(zhǎng)是cm（用含a、x的式子表示）(2)當(dāng)x=40時(shí)，求圖中兩塊陰影A，B的周長(zhǎng)和．【變式11-1】勞動(dòng)技術(shù)課程是基礎(chǔ)教育的重要課程之一，其根本使命是全面提高未來(lái)國(guó)民的基本勞動(dòng)技術(shù)素養(yǎng)，培養(yǎng)具有技術(shù)知識(shí)、創(chuàng)新思維、實(shí)踐能力的一代新人．我校初中部將利用學(xué)校善思樓二樓空地展開(kāi)一系列的勞動(dòng)實(shí)踐操作活動(dòng)．如圖所示，善思樓教學(xué)樓邊有塊長(zhǎng)為20米，寬為10米的長(zhǎng)方形空地，現(xiàn)在將其余三面留出寬都是x米的小路，中間余下的長(zhǎng)方形部分做菜地．(1)用含x的式子表示菜地的周長(zhǎng)；(2)當(dāng)x=1.23米時(shí)，求菜地的周長(zhǎng)．（精確到0.1）【變式11-2】小亮房間窗戶的窗簾如圖（1）所示，它是由兩個(gè)四分之一圓組成（半徑相同）．(1)如圖（1），請(qǐng)用代數(shù)式表示窗簾的面積：________；用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積：__________；（結(jié)果保留π）(2)小亮又設(shè)計(jì)了如圖（2）的窗簾（由一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓組成，半徑相同），請(qǐng)你用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積：________；（結(jié)果保留π）(3)當(dāng)a=3米，b=2米時(shí)，圖（2）中窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積與圖（1）中窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積的差為_(kāi)_______（π取3）【變式11-3】某超市在元旦期間對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定如下：一次性購(gòu)物優(yōu)惠辦法低于200元不予優(yōu)惠低于500元但不低于200元九折優(yōu)惠，折后可使用30元優(yōu)惠券不低于500元其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折優(yōu)惠，折后可使用40元優(yōu)惠券(1)王老師一次性購(gòu)物600元，他實(shí)際付款______元．(2)若顧客在該超市一次性購(gòu)物x元，當(dāng)x低于500元但不低于200元時(shí)，他實(shí)際付款______元，當(dāng)x不低于500元時(shí)，他實(shí)際付款______元．（用含x的代數(shù)式表示）(3)如果王老師兩次購(gòu)物貨款合計(jì)820元，第一次購(gòu)物的貨款為a元200<a<300，用含a的代數(shù)式表示；兩次購(gòu)物王老師實(shí)際共付款多少元？【考點(diǎn)12整式的化簡(jiǎn)求值】

例題12：先化簡(jiǎn)，再求值：13y2?4x【變式12-1】化簡(jiǎn)并求值：2ab2?2a【變式12-2】先化簡(jiǎn)、再求值：2xy?3x2y?xy【變式12-3】先化簡(jiǎn)，再求值：2a2b+ab?3a【變式12-4】先化簡(jiǎn)，再求值：(3x2+xy+2y)?2(5xy?4x2【考點(diǎn)13整式中無(wú)關(guān)型問(wèn)題】例題13：已知A=3x(1)化簡(jiǎn)A；(2)若B=x2+ax?1，且A與B的差不含x【變式13-1】已知多項(xiàng)式(2mx2+5(1)m的值；(2)多項(xiàng)式2m【變式13-2】已知多項(xiàng)式A=x2+2xy?3y(1)求2A?3B的值；(2)若2A?3B的值與y的取值無(wú)關(guān)，求x的值．【變式13-3】已知A=3x+xy?2y，小明在計(jì)算2A?B時(shí)，誤將其按2A+B計(jì)算，結(jié)果得到7x+4xy?y．(1)求2A?B的正確結(jié)果；(2)若2A+B的值與x無(wú)關(guān)，求2A+B的值．【變式13-4】已知A=3x(1)計(jì)算A+2B；(2)若A+2B的值與y的取值無(wú)關(guān)，求x的值．一、單選題1．若5x2ay和3A．0 B．1 C．2 D．32．單項(xiàng)式?xyA．2 B．3 C．?1 D．13．下列敘述正確的是（

）A．1÷a是整式 B．x2C．m?n3的各項(xiàng)系數(shù)都是13 D．?4．在式子0，3m，x3y2，13a，A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．下列運(yùn)算正確的是（）A．2ab?a=3b B．a(chǎn)+a=aC．7a2b?7a6．觀察21?1=1,22?1=3,A．1 B．3 C．7 D．57．若關(guān)于x、y的多項(xiàng)式x2?kxy?3y2+13A．3 B．0 C．13 D．二、填空題8．已知a?3b=1則2?3a+9b=．9．定義：a是不為1的有理數(shù)我們把11?a稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是11?2=?1，1的差倒數(shù)是11??1=12，已知a1=