2023屆廣西桂林崇左市高三上學期聯(lián)合調研考試（一調）數(shù)學（文）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE12023年高考桂林、崇左市聯(lián)合調研考試數(shù)學（文科）注意事項：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡指定位置上.3.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.4.請按題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解出中不等式，根據(jù)交集含義即可得到〖答案〗.〖詳析〗，解得，故.故選：C.2.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復數(shù)除法運算解決即可.〖詳析〗由題知，，所以，故選：B3.在區(qū)間〖－2,2〗內隨機取一個數(shù)x，使得不等式成立的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由可得,再根據(jù)幾何概型的計算方法求解即可.〖詳析〗解：由可得，由幾何概型的定義可得使不等式成立的概率為：.故選：B.4.已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為，則C的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)焦點坐標與漸近線方程，列出方程組，求出，得到C的方程.〖詳析〗由題意得：，解得：，故C的方程為：.故選：D5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三視圖可得，該幾何體是以個正方體內挖去一個底面直徑為正方體棱長且等高的圓錐，代入體積計算公式即可求解.〖詳析〗由三視圖可知：該幾何體是一個棱長為的正方體內挖去一個底面半徑為，高為的圓錐，由正方體和圓錐的體積計算公式可得：，故選：.6.已知正項等比數(shù)列}滿足為與的等比中項，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等比中項定義和等比數(shù)列通項公式得，解得，化簡.〖詳析〗設等比數(shù)列公比為，由題意得，即，，，，故選：B.7.圓上一點P到直線的最大距離為（）A.2 B.4 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圓的一般方程寫出圓心坐標和半徑，則點P到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求得結果.〖詳析〗由圓化為標準方程可知，圓心坐標為，半徑；則圓心到直線的距離為，所以，圓上一點P到直線的最大距離為.故選：D.8.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一條對稱軸為B.的一個對稱中心為C.在上的值域為D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗化簡可得，利用代入檢驗法可判斷AB的正誤，利用正弦函數(shù)的性質可判斷C的正誤，求出平移后的〖解析〗式可判斷D的正誤.〖詳析〗，因為，故不是對稱軸，故A錯誤.，不是的一個對稱中心，故B錯誤.當時，，故，所以，即在上的值域為，故C正確.的圖象向右平移后對應的〖解析〗式為，當時，此時函數(shù)對應的函數(shù)值為，而，故與不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：C.9.是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A.－1 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由奇函數(shù)定義得，及即可求值〖詳析〗是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.故選：A10.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度.若，現(xiàn)有一杯80°C的熱水降至75°C大約用時1分鐘，那么此杯熱水水溫從75°C降至45°C大約還需要（參考數(shù)據(jù)：）（）A.10分鐘 B.9分鐘 C.8分鐘 D.7分鐘〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題目所給的函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)可計算得出的值，利用參考數(shù)據(jù)即可計算得出結果.〖詳析〗將所給數(shù)據(jù)代入得，，即，所以當水溫從75°C降至45°C時，滿足，可得，即分鐘.故選：A.11.已知拋物線）的焦點為，準線為l，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線l交于點D，若，則p=（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用拋物線的定義，以及幾何關系可知，再利用數(shù)形結合可求的值.〖詳析〗如圖，設準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知,,又，所以，設，因為，所以，則.所以,，又,可得,所以，所以,可得,即.故選：.12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗變換，，，構造，確定函數(shù)的單調區(qū)間得到，得到〖答案〗.〖詳析〗，，，設，則，當時，，函數(shù)單調遞增，故，即故選：A〖『點石成金』〗思路『點石成金』：構造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結構特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內在聯(lián)系，合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性是解題的關鍵.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，若，則m=___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量垂直的坐標表示，列式求的值.〖詳析〗由題意可知，，因為，所以，得.故〖答案〗為：14.近年來，“考研熱”持續(xù)升溫，2022年考研報考人數(shù)官方公布數(shù)據(jù)為457萬，相比于2021年增長了80萬之多，增長率達到21%以上.考研人數(shù)急劇攀升原因較多，其中，本科畢業(yè)生人數(shù)增多、在職人士考研比例增大，是兩大主要因素.據(jù)統(tǒng)計，某市各大高校近幾年的考研報考總人數(shù)如下表：年份20182019202020212022年份序號x12345報考人數(shù)y（萬人）1.11.622.5m根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可求得y關于x的線性回歸方程為，則m的值為___________.〖答案〗2.8〖解析〗〖祥解〗求出的值，以及用表示出，代入線性回歸方程得到關于的方程，解出即可.〖詳析〗，，，，解得.故〖答案〗為：2.8.15.記為等差數(shù)列的前n項和.若，則=___________.〖答案〗144〖解析〗〖祥解〗利用等差數(shù)列的前n項和公式求解即可.〖詳析〗設等差數(shù)列的公差為，則解得，所以，故〖答案〗為:144.16.已知棱長為8的正方體中，點E為棱BC上一點，滿足，以點E為球心，為半徑的球面與對角面的交線長為___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗過點作于，確定的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，計算得到〖答案〗.〖詳析〗如圖所示：過點作于，為球面與對角面的交線上一點，平面，平面，故，，且，平面，故平面，，故，，則，故軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，如圖所示：，，故，交線長為：.故〖答案〗為：三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.4月23日是“世界讀書日”，讀書可以陶冶情操，提高人的思想境界，豐富人的精神世界，為了豐富校園生活，展示學生風采，某中學在全校學生中開展了“閱讀半馬比賽”活動.活動要求每位學生在規(guī)定時間內閱讀給定書目，并完成在線閱讀檢測.通過隨機抽樣，得到100名學生的檢測得分（滿分：100分）如下：〖40，50）〖50，60）〖60，70）〖70，80）〖80，90）〖90，100〗男生235151812女生051010713（1）若檢測得分不低于70分的學生稱為“閱讀愛好者”，若得分低于70分的學生稱為“非閱讀愛好者”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)①完成下列列聯(lián)表閱讀愛好者非閱讀愛好者總計男生女生總計""②請根據(jù)所學知識判斷是否有95%的把握認為“閱讀愛好者”與性別有關；（2）若檢測得分不低于80分的人稱為“閱讀達人”.現(xiàn)從這100名學生中的男生“閱讀達人”中，按分層抽樣的方式抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人，求這3人中至少有1人得分在〖90，100〗內的概率.附：，其中.0.050.02500100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)100名學生的檢測得分表，即可完成列聯(lián)表，利用計算出的值，查表即可得出結論；（2）根據(jù)分層抽樣方法分別計算出不同成績區(qū)間的人數(shù)，再利用“正難則反”的思想計算出不合題意的概率，即可得出結果.〖小問1詳析〗根據(jù)題意可知，100名學生中男生55人，女生45人；男生中“閱讀愛好者”為人，“非閱讀愛好者”10人；同理，女生中“閱讀愛好者”為30人，“非閱讀愛好者”15人；所以，列聯(lián)表如下：閱讀愛好者非閱讀愛好者總計男生451055女生301545總計7525100利用表中數(shù)據(jù)可得，所以，沒有95%的把握認為“閱讀愛好者”與性別有關；〖小問2詳析〗由表可知，男生中“閱讀達人”共30人，若按分層抽樣的方式抽取5人，則得分在〖80，90）內的人數(shù)為人，得分在〖90，100〗內的人數(shù)為人；則再從這5人中隨機抽取3人共有種，其中沒有人得分在〖90，100〗內的情況為種；所以這3人中至少有1人得分在〖90，100〗內的概率為；故這3人中至少有1人得分在〖90，100〗內的概率為.18.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求.（2）若點D在邊AC上，且，求.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理進行角換邊得，結合余弦定理即可求出的值；（2）利用轉化法得，兩邊同平方得，結合（1）中整理的式子即可解出的值.〖小問1詳析〗據(jù)已知條件及正弦定理得整理得，又據(jù)余弦定理，則有，因為則；〖小問2詳析〗因為，所以，故,即所以,整理得故,化解得，因為，故，則.19.在三棱錐中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在底面ABC上的射影為棱BC的中點O，且PB與底面ABC所成角為，點M為線段PO上一動點.（1）證明：；（2）若，求點M到平面PAB的距離.〖答案〗（1）見〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由三線合一得，再根據(jù)線面垂直的性質定理得，最后根據(jù)線面垂直的判定定理得到面，則；（2）設點到平面的距離為,點到面的距離為，利用等體積法有，即，代入相關數(shù)據(jù)求出，則.〖小問1詳析〗分別連接，，為中點，為等邊三角形，點在底面上的投影為點，平面，平面，，又平面平面，面，面，.〖小問2詳析〗設點到平面的距離為,點到面的距離為，，為在底面上的投影,為與面所成角，，垂直平分，，為正三角形，，Rt中，易得，，到的距離為，，又，由，，，，點到平面的距離為20.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的最大值；（2）若關于x的方1有兩個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其單調性后可得函數(shù)的最大值.（2）利用同構可將原方程轉化為有兩個不同的正數(shù)根，利用導數(shù)結合零點存在定理可求參數(shù)的取值范圍.〖小問1詳析〗當時，，故，當時，，故在上為增函數(shù)，當時，，故在上為減函數(shù)，故.〖小問2詳析〗方程即為，整理得到：，令，故，因為均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而，故的解為，因為方程有兩個不同的實數(shù)根，故有兩個不同的正數(shù)根，設，則，若，則，故在上為增函數(shù)，在上至多一個零點，與題設矛盾；若，則時，；時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由有兩個不同的零點可得，故.當時，，而，故在有且只有一個零點，又，設，令，，則，故在上為減函數(shù)，故，故，故在有且只有一個零點，綜上.〖『點石成金』〗思路『點石成金』：導數(shù)背景下的函數(shù)的零點問題，注意根據(jù)〖解析〗式的同構特征合理構建新函數(shù)，后者可利用導數(shù)討論其單調性，并結合零點存在定理檢驗零點的存在性.21.已知橢圓的離心率為，依次連接橢圓E的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）設點F為E的右焦點，，直線l交E于P，Q（均不與點A重合）兩點，直線的斜率分別為，若，求△FPQ的周長〖答案〗（1）；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由題設可得基本量的方程組，求出其解后可得橢圓的方程；（2）設直線，由題設條件可證明該直線過定點，根據(jù)橢圓的定義可求周長.〖小問1詳析〗因為橢圓的離心率為，故，故，因為依次連接橢圓E的四個頂點構成的四邊形面積為，故，所以，故，故橢圓方程為：.〖小問2詳析〗設直線，，則，，故，故，由可得，故，整理得到，又，故，故或，此時均滿足若，則直線，此時直線恒過，與題設矛盾，若，則直線，此時直線恒過，而為橢圓的左焦點，設為，故的周長為.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題計分.〖選修4-4：坐標系與參數(shù)方程〗（本小題10分）22.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）對曲線C的極坐標方程變形后，利用求出〖答案〗；（2）將直線的參數(shù)方程化為，聯(lián)立橢圓方程后，利用的幾何意義求弦長.〖小問1詳析〗變形為，即，因為，故，即；〖小問2詳析〗變形為，與聯(lián)立得：，故，故.〖選修4-5：不等式選講〗23.已知函數(shù)（1）當時，求的最小值；（2）若對，不等式恒成立，求a的取值范圍.〖答案〗（1）2；（2）或.〖解析〗〖祥解〗（1）首先化簡得，利用絕對值不等式即可求出的最小值；（2）利用三元基本不等式求出，再根據(jù)絕對值不等式得，則有，解出即可.〖小問1詳析〗化簡得，當時,,當時等號成立,所以的最小值為2;〖小問2詳析〗由基本不等式得,當且僅當,即時,等號成立.又因為,當且僅當時,等號成立.所以,或或.高考模擬試題PAGEPAGE12023年高考桂林、崇左市聯(lián)合調研考試數(shù)學（文科）注意事項：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡指定位置上.3.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.4.請按題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解出中不等式，根據(jù)交集含義即可得到〖答案〗.〖詳析〗，解得，故.故選：C.2.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復數(shù)除法運算解決即可.〖詳析〗由題知，，所以，故選：B3.在區(qū)間〖－2,2〗內隨機取一個數(shù)x，使得不等式成立的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由可得,再根據(jù)幾何概型的計算方法求解即可.〖詳析〗解：由可得，由幾何概型的定義可得使不等式成立的概率為：.故選：B.4.已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為，則C的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)焦點坐標與漸近線方程，列出方程組，求出，得到C的方程.〖詳析〗由題意得：，解得：，故C的方程為：.故選：D5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三視圖可得，該幾何體是以個正方體內挖去一個底面直徑為正方體棱長且等高的圓錐，代入體積計算公式即可求解.〖詳析〗由三視圖可知：該幾何體是一個棱長為的正方體內挖去一個底面半徑為，高為的圓錐，由正方體和圓錐的體積計算公式可得：，故選：.6.已知正項等比數(shù)列}滿足為與的等比中項，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等比中項定義和等比數(shù)列通項公式得，解得，化簡.〖詳析〗設等比數(shù)列公比為，由題意得，即，，，，故選：B.7.圓上一點P到直線的最大距離為（）A.2 B.4 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圓的一般方程寫出圓心坐標和半徑，則點P到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求得結果.〖詳析〗由圓化為標準方程可知，圓心坐標為，半徑；則圓心到直線的距離為，所以，圓上一點P到直線的最大距離為.故選：D.8.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一條對稱軸為B.的一個對稱中心為C.在上的值域為D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗化簡可得，利用代入檢驗法可判斷AB的正誤，利用正弦函數(shù)的性質可判斷C的正誤，求出平移后的〖解析〗式可判斷D的正誤.〖詳析〗，因為，故不是對稱軸，故A錯誤.，不是的一個對稱中心，故B錯誤.當時，，故，所以，即在上的值域為，故C正確.的圖象向右平移后對應的〖解析〗式為，當時，此時函數(shù)對應的函數(shù)值為，而，故與不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：C.9.是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A.－1 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由奇函數(shù)定義得，及即可求值〖詳析〗是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.故選：A10.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度.若，現(xiàn)有一杯80°C的熱水降至75°C大約用時1分鐘，那么此杯熱水水溫從75°C降至45°C大約還需要（參考數(shù)據(jù)：）（）A.10分鐘 B.9分鐘 C.8分鐘 D.7分鐘〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題目所給的函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)可計算得出的值，利用參考數(shù)據(jù)即可計算得出結果.〖詳析〗將所給數(shù)據(jù)代入得，，即，所以當水溫從75°C降至45°C時，滿足，可得，即分鐘.故選：A.11.已知拋物線）的焦點為，準線為l，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線l交于點D，若，則p=（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用拋物線的定義，以及幾何關系可知，再利用數(shù)形結合可求的值.〖詳析〗如圖，設準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知,,又，所以，設，因為，所以，則.所以,，又,可得,所以，所以,可得,即.故選：.12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗變換，，，構造，確定函數(shù)的單調區(qū)間得到，得到〖答案〗.〖詳析〗，，，設，則，當時，，函數(shù)單調遞增，故，即故選：A〖『點石成金』〗思路『點石成金』：構造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結構特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內在聯(lián)系，合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性是解題的關鍵.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，若，則m=___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量垂直的坐標表示，列式求的值.〖詳析〗由題意可知，，因為，所以，得.故〖答案〗為：14.近年來，“考研熱”持續(xù)升溫，2022年考研報考人數(shù)官方公布數(shù)據(jù)為457萬，相比于2021年增長了80萬之多，增長率達到21%以上.考研人數(shù)急劇攀升原因較多，其中，本科畢業(yè)生人數(shù)增多、在職人士考研比例增大，是兩大主要因素.據(jù)統(tǒng)計，某市各大高校近幾年的考研報考總人數(shù)如下表：年份20182019202020212022年份序號x12345報考人數(shù)y（萬人）1.11.622.5m根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可求得y關于x的線性回歸方程為，則m的值為___________.〖答案〗2.8〖解析〗〖祥解〗求出的值，以及用表示出，代入線性回歸方程得到關于的方程，解出即可.〖詳析〗，，，，解得.故〖答案〗為：2.8.15.記為等差數(shù)列的前n項和.若，則=___________.〖答案〗144〖解析〗〖祥解〗利用等差數(shù)列的前n項和公式求解即可.〖詳析〗設等差數(shù)列的公差為，則解得，所以，故〖答案〗為:144.16.已知棱長為8的正方體中，點E為棱BC上一點，滿足，以點E為球心，為半徑的球面與對角面的交線長為___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗過點作于，確定的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，計算得到〖答案〗.〖詳析〗如圖所示：過點作于，為球面與對角面的交線上一點，平面，平面，故，，且，平面，故平面，，故，，則，故軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，如圖所示：，，故，交線長為：.故〖答案〗為：三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.4月23日是“世界讀書日”，讀書可以陶冶情操，提高人的思想境界，豐富人的精神世界，為了豐富校園生活，展示學生風采，某中學在全校學生中開展了“閱讀半馬比賽”活動.活動要求每位學生在規(guī)定時間內閱讀給定書目，并完成在線閱讀檢測.通過隨機抽樣，得到100名學生的檢測得分（滿分：100分）如下：〖40，50）〖50，60）〖60，70）〖70，80）〖80，90）〖90，100〗男生235151812女生051010713（1）若檢測得分不低于70分的學生稱為“閱讀愛好者”，若得分低于70分的學生稱為“非閱讀愛好者”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)①完成下列列聯(lián)表閱讀愛好者非閱讀愛好者總計男生女生總計""②請根據(jù)所學知識判斷是否有95%的把握認為“閱讀愛好者”與性別有關；（2）若檢測得分不低于80分的人稱為“閱讀達人”.現(xiàn)從這100名學生中的男生“閱讀達人”中，按分層抽樣的方式抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人，求這3人中至少有1人得分在〖90，100〗內的概率.附：，其中.0.050.02500100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)100名學生的檢測得分表，即可完成列聯(lián)表，利用計算出的值，查表即可得出結論；（2）根據(jù)分層抽樣方法分別計算出不同成績區(qū)間的人數(shù)，再利用“正難則反”的思想計算出不合題意的概率，即可得出結果.〖小問1詳析〗根據(jù)題意可知，100名學生中男生55人，女生45人；男生中“閱讀愛好者”為人，“非閱讀愛好者”10人；同理，女生中“閱讀愛好者”為30人，“非閱讀愛好者”15人；所以，列聯(lián)表如下：閱讀愛好者非閱讀愛好者總計男生451055女生301545總計7525100利用表中數(shù)據(jù)可得，所以，沒有95%的把握認為“閱讀愛好者”與性別有關；〖小問2詳析〗由表可知，男生中“閱讀達人”共30人，若按分層抽樣的方式抽取5人，則得分在〖80，90）內的人數(shù)為人，得分在〖90，100〗內的人數(shù)為人；則再從這5人中隨機抽取3人共有種，其中沒有人得分在〖90，100〗內的情況為種；所以這3人中至少有1人得分在〖90，100〗內的概率為；故這3人中至少有1人得分在〖90，100〗內的概率為.18.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求.（2）若點D在邊AC上，且，求.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理進行角換邊得，結合余弦定理即可求出的值；（2）利用轉化法得，兩邊同平方得，結合（1）中整理的式子即可解出的值.〖小問1詳析〗據(jù)已知條件及正弦定理得整理得，又據(jù)余弦定理，則有，因為則；〖小問2詳析〗因為，所以，故,即所以,整理得故,化解得，因為，故，則.19.在三棱錐中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在底面ABC上的射影為棱BC的中點O，且PB與底面ABC所成角為，點M為線段PO上一動點.（1）證明：；（2）若，求點M到平面PAB的距離.〖答案〗（1）見〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由三線合一得，再根據(jù)線面垂直的性質定理得，最后根據(jù)線面垂直的判定定理得到面，則；（2）設點到平面的距離為,點到面的距離為，利用等體積法有，即，代入相關數(shù)據(jù)求出，則.〖小問1詳析〗分別連接，，為中點，為等邊三角形，點在底面上的投影為點，平面，平面，，又平面平面，面，面，.〖小問2詳析〗設點到平面的距離為,點到面的距離為，，為在底面上的投影,為與面所成角，，垂直平分，，為正三角形，，Rt中，易得，，到的距離為，，又，由，，，，點到平面的距離為20.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的最大值；（2）若關于x的方1有兩個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其單調性后可得函數(shù)的最大值.（2）利用同構可將原方程轉化為有兩個不同的正數(shù)根，利用導數(shù)結合零點存在定理可求參數(shù)的取值范圍.〖小問1詳析〗當時，，故，當時，，故在上為增函數(shù)，當時，，故在上為減函數(shù)，故.〖小問