河北省滄州市2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試含答案

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第三章第1節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.【詳解】由，得∵，，∴，解得故選：D2.過點(diǎn)，且在軸上的截距為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線的斜截式方程，聯(lián)立方程組即可解得.【詳解】顯然斜率存在，可設(shè)直線方程為，則，所以，所以直線方程為，即.故選：C3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可求得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得，可求橢圓方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，所以，解得，所以橢圓方程為，又點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.4.已知點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先方程需要滿足才是圓的方程，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)到圓心距離大于半徑，即帶點(diǎn)到圓的方程坐標(biāo)，結(jié)果會(huì)大于0【詳解】由題意可知，解得或.故選：C5.兩平行直線與之間的距離為（

）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由兩直線平行求出，再代入兩平行直線間距離公式求解即可；【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．6.已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的定義知，利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)槭菣E圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.即的最小值為1.故選：A7.已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.若，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓心和半徑以及切線性質(zhì)可知為正三角形，即可得.【詳解】易知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，連接，如下圖所示：利用對(duì)稱性由可知，又易知，所以可得，即，又，所以為正三角形，即可得；故選：B8.在四面體中，平面，，點(diǎn)分別為棱上的點(diǎn)，且，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以，，為空間向量的基底，表示出和，利用空間向量的數(shù)量積，求異面直線的夾角.【詳解】如圖：因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又平面，平面，所以，，即，又，所以所以，，，所以，則直線與直線夾角的余弦值為．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：以，，為空間向量的基底，表示出和，利用空間向量的數(shù)量積，求異面直線的夾角.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于曲線性質(zhì)的描述正確的是（）A.關(guān)于軸對(duì)稱 B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.所圍成的圖形的面積小于12【答案】ABD【解析】【分析】把曲線中的同時(shí)換成判斷A，把曲線中的同時(shí)換成判斷B，把曲線中的同時(shí)換成判斷C，根據(jù)判斷D【詳解】把曲線中的同時(shí)換成，方程變?nèi)詾?，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A對(duì)；把曲線中的，同時(shí)換成，方程變?nèi)詾椋郧€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B對(duì)；把曲線中的，同時(shí)換成，方程變?yōu)椋?，所以曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)；由可得，，所以所圍成的圖形的面積小于12，故D對(duì)，故選：ABD10.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，若，的中點(diǎn)分別為，，則（）A. B.平面平面C. D.點(diǎn)到平面距離為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理判斷B，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷線線關(guān)系判斷AC，根據(jù)點(diǎn)面距離的向量公式求解距離判斷D.【詳解】因?yàn)椤危?，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因?yàn)椤危?，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正確；如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A錯(cuò)誤，C正確；設(shè)平面的法向量，，則，令，則，即，又，所以，故點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：BCD11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對(duì)值的商恒為定值（），則（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線經(jīng)過點(diǎn)，其方程為C.曲線圍成的圖形面積小于D.存在，使得曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件求出曲線方程，再運(yùn)用曲線的對(duì)稱性、放縮解決曲線所圍圖形面積以及整點(diǎn)的概念，分別分析每個(gè)選項(xiàng).詳解】對(duì)于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點(diǎn)（），由已知，即.若點(diǎn)在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B，將代入曲線方程，得，即，，此時(shí)方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，由于，所以，由曲線的對(duì)稱性可知，要使曲線上有5個(gè)整點(diǎn)，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)都在曲線上，其有3個(gè)整點(diǎn)，不滿足題意;當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)均在曲線上，且均不曲線上，其有5個(gè)整點(diǎn)，滿足題意，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是找準(zhǔn)圖形的信息，求出曲線方程，后運(yùn)用性質(zhì)，如對(duì)稱性，整點(diǎn)，面積借助放縮成半圓即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件可解.【詳解】若，則，解得．故答案為：13.圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則_________．【答案】4【解析】【分析】先求出相交弦所在直線的方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法求解即可.【詳解】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.故答案為：4.14.設(shè)，分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則橢圓【答案】【解析】【分析】設(shè)，將直線和橢圓聯(lián)立消元得，由可得，再結(jié)合化簡(jiǎn)可得.【詳解】由題意，直線過且斜率為，所以直線為：，與橢圓：聯(lián)立消去，得，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，可得，代入上式得，消去并化?jiǎn)整理得：，將代入化簡(jiǎn)得：，解得，因此，該雙曲線的離心率.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，.（1）判斷的形狀，并證明；（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）直角三角形，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求得，，以及，，可得結(jié)論；（2）利用兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，求得邊上的高所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程可求結(jié)論.【小問1詳解】是直角三角形，理由如下：因?yàn)椋?，，所以，，所以，所以，所以是直角三角形，又，，所以，所以是直角三角形；【小?詳解】因?yàn)椋赃吷系母咚谥本€的斜率為，又邊上的高所在直線過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得邊上的高所在直線的方程為，即.16.已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負(fù)半軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出圓心,再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;（2）根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng),再結(jié)合面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系得到，借助數(shù)量積公式計(jì)算即可;（2）利用向量法求出平面與平面的法向量，求出二面角的余弦值即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因?yàn)?，?所以．因?yàn)椋?，即．【小?詳解】由（1）得．設(shè)是平面一個(gè)法向量，則，令，得，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)?，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．18.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A?2,0與點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于異于的，兩點(diǎn)，且.①證明：直線過定點(diǎn)；②求的面積的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；（2）①設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，利用條件，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出直線方程即可得到結(jié)果；②由①的結(jié)論，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出的面積，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】設(shè)橢圓為x2m因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)A?2,0與點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】①由（1）知，橢圓的方程為，設(shè)，不妨令在軸上方，則，假設(shè)直線斜率不存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直線方程為；假設(shè)斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直線方程為或，所以直線恒過或（舍去），綜上，直線恒過定點(diǎn).②由上述可知，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，則，所以；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，則設(shè)方程為，聯(lián)立得，則，，所以，設(shè)，則，所以，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故的面積的最大值為.19.已知點(diǎn)是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且，則點(diǎn)的軌跡是以有序點(diǎn)對(duì)為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，.（1）若以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓的方程為，求的值；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)在以為“穩(wěn)點(diǎn)”的5-卡西尼卵形線上，求（為原點(diǎn)）的取值范圍；（3）卡西尼卵形線是中心對(duì)稱圖形，且只有1個(gè)對(duì)稱中心，若，求證：不存在實(shí)數(shù)，使得以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由新定義得到，結(jié)合為常數(shù)，即可求解；（2）設(shè)，由定義得到，從而有，求得，再由，即可求解；（3）由及定義得到以為“穩(wěn)點(diǎn)”的一阿波羅尼斯圓的方程：，再結(jié)合對(duì)稱性及得到—卡西尼卵形線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而得到推出矛盾，即可解決問題.【小問1詳解】因?yàn)橐詾椤胺€(wěn)點(diǎn)”的一阿波羅尼斯圓的方程為，設(shè)Px,