黑龍江省佳木斯市富錦市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

2024-2025學(xué)年度高一學(xué)年上學(xué)期期中考試試卷數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由補(bǔ)集運(yùn)算得出集合，再由元素與集合的關(guān)系判斷．【詳解】因?yàn)槿?，所以，根?jù)元素與集合的關(guān)系可知，ABD錯(cuò)誤，C正確．故選：C．2.命題，，則命題的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結(jié)論．【詳解】命題，，為全稱量詞命題，則該命題的否定為：，.故選：C．3.下列命題中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，成立，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，則，又，所以，D選項(xiàng)正確；故選：D.4.已知是冪函數(shù)，則“是正偶數(shù)”是“的值域?yàn)椤钡模ǎ〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，顯然，即其值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋皇钦紨?shù)．故“是正偶數(shù)”是“的值域?yàn)椤钡某浞植槐匾獥l件．故選：A5.已知是定義在上的奇函數(shù)，若，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求出.【詳解】由是定義在上的奇函數(shù)，得，即，令，則，而，所以.故選：C6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，即求，利用基本不等式，可解得，進(jìn)而得到，進(jìn)而可求解.【詳解】至少存在一組使得成立，即，又由兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，故有，解得，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.7.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)確認(rèn)函數(shù)零點(diǎn)，再根據(jù)已知單調(diào)性可以求出函數(shù)在各個(gè)區(qū)間符號(hào)，由不等式性質(zhì)可得解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，且又因，所以，又因在為增函數(shù)，在上，在上，又因在為減函數(shù)，所以上，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，則，不等式可化簡變形為，綜上所述可知當(dāng)時(shí)，.故選：D8.若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t稱為“函數(shù)”．已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義確定的值域?yàn)?，結(jié)合每段上的函數(shù)的取值范圍列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)是“函數(shù)”，故其值域?yàn)?；而，則值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故由函數(shù)是“函數(shù)”可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)锽.表示同一個(gè)函數(shù)C.函數(shù)值域?yàn)镈.函數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求解判斷A；利用同一函數(shù)得定義判斷B；利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得其值域，判斷C；利用方程組法判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則，解得，即的定義域?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，定義域?yàn)椋x域?yàn)椋皇峭缓瘮?shù)，故B不正確；對(duì)于C，令，則，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔆正確；對(duì)于D，，，化簡得，兩式相加得，解得，故D正確．故選：ACD．10.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A.B.點(diǎn)在第二象限C.的最小值為2D.關(guān)于的不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由原不等式的解集可得，，即可判斷ABD，然后再由基本不等式即可判斷C.【詳解】原不等式等價(jià)于，因?yàn)槠浣饧癁?，所以且，，故A正確；因?yàn)?，則點(diǎn)在第一象限，故B錯(cuò)誤；由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，故C正確；由可得，不等式即為，化簡可得，則其解集為，故D正確；故選：ACD11.已知函數(shù)，的圖象分別如圖1，2所示，方程，的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為，則（）A B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)圖象，確定，，的值，代入驗(yàn)證即可．【詳解】由圖，方程，，此時(shí)對(duì)應(yīng)4個(gè)解，故；方程，得或者，此時(shí)有2個(gè)解，故；方程，取到4個(gè)值，如圖所示：即或或或，則對(duì)應(yīng)的的解，有6個(gè)，故.

根據(jù)選項(xiàng)，可得A，B成立.

故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式、根式以及零次方的意義列式求解即可.【詳解】令，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13.“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根據(jù)充分不必要性，列出不等式，則問題得解.【詳解】由，解得；由，即，解得x>2或；又“”是“”的充分不必要條件，故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由命題之間的充分性和必要性求參數(shù)范圍，屬基礎(chǔ)題.14.定義：對(duì)于非空集合，若元素，則必有，則稱集合為“和集合”.已知集合，則集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____個(gè).【答案】15【解析】【分析】由新定義可得集合的子集中，、、、一定成組出現(xiàn)，再由子集的概念即可得解.【詳解】由題意，集合的子集中，、、、一定成組出現(xiàn)，當(dāng)集合的子集中只有1個(gè)元素時(shí)，即為，共1個(gè)；當(dāng)集合的子集中有2個(gè)元素時(shí)，即為，共3個(gè)；當(dāng)集合的子集中有3個(gè)元素時(shí)，即為，共3個(gè)；當(dāng)集合的子集中有4個(gè)元素時(shí)，即為，共3個(gè)；當(dāng)集合的子集中有5個(gè)元素時(shí)，即為，共3個(gè)；當(dāng)集合的子集中有6個(gè)元素時(shí)，即為，共1個(gè).當(dāng)集合的子集中有7個(gè)元素時(shí)，即為，共1個(gè).則集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15個(gè).故答案為：15.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）求集合；（2）求，．【答案】（1）（2）或，或【解析】【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合即可；（2）由集合的交集與補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以解不等式可得：，故集合【小?詳解】由（1）可知：，又，所以，所以或.或，或.16.已知命題：“，使等式成立”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的必要條件，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將方程有解問題轉(zhuǎn)化為在值域內(nèi)，求得二次函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為，然后分，與討論，即可求解.【小問1詳解】由題意，方程在?1,1上有解，令，只需在的值域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以值域?yàn)?，的取值集合為；【小?詳解】由題意，，顯然不為空集.①當(dāng)，即時(shí)，，，；②當(dāng)，即時(shí)，，不合題意舍去；③當(dāng)，即時(shí)，.，；綜上可得或.17.某奶茶店今年年初花費(fèi)16萬元購買了一臺(tái)制作冰淇淋的設(shè)備，經(jīng)估算，該設(shè)備每年可為該奶茶店提供12萬元的總收入.已知使用x年（x為正整數(shù)）所需的各種維護(hù)費(fèi)用總計(jì)為萬元（今年為第一年）.（1）試問：該奶茶店第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？（2）該奶茶店在若干年后要賣出該冰淇淋設(shè)備，有以下兩種方案：①當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以1萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備；②當(dāng)年均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以2萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備.試問哪一種方案較為劃算？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）從第三年開始盈利.（2）兩種方案盈利總數(shù)一樣，但方案②時(shí)間短，較為劃算.【解析】【分析】（1）列出純收入的函數(shù)表達(dá)式，解純收入大于0的不等式即可.（2）分別計(jì)算兩種方案盈利和時(shí)間，比較后得結(jié)論.【小問1詳解】由題意可知，總收入扣除支出后的純收入，，解得，由，所以從第三年開始盈利.【小問2詳解】方案①：純收入，則5年后盈利總額達(dá)到最大值9萬元，以1萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備，共盈利10萬元；方案②：年均盈利，由，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)4年后年均盈利達(dá)到最大值2萬元時(shí)，以2萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備，共盈利萬元.兩種方案盈利總數(shù)一樣，但方案②時(shí)間短，較為劃算.18.已知函數(shù)經(jīng)過，兩點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明；（3）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞減，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組求解即可；（2）利用單調(diào)性定義證明即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性求解最值即可得解.【小問1詳解】，，，解得，.【小問2詳解】在0,1上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，，且，，，∴，，即，所以函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由對(duì)任意恒成立得，由（2）知在0,1上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值為，，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.若函數(shù)y=fx與y=gx滿足：對(duì)任意，，都有，則稱函數(shù)y=fx是函數(shù)y=gx在集合上的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)y=fx是函數(shù)y=gx（1）若，，判斷函數(shù)y=gx的奇偶性，并說明理由；（2）若，，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)，理由見解析（2）【解析】【分析】對(duì)于（1），先分析得到，然后根據(jù)得到，的關(guān)系，由此完成證明；對(duì)于（2）根據(jù)題設(shè)條件將問題轉(zhuǎn)化為“時(shí)，”，然后構(gòu)造并進(jìn)行